Apostila de Cálculo I

Apostila de Cálculo I

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Continuidade

O básico conceito de continuidade representa a expressão da isenção de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamola sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação.

Definição

Para exprimir esse fato matematicamente, definimos a função contínua f(x) no ponto [a,f(a)], onde:

Estas três condições estão presentes apenas em funções que não possuem irregularidades nas tendências e valores que produzem. As funções contínuas são muito comuns dentro do universo que analisamos, a condição de continuidade é exigida sempre que temos avaliar tendências a valores minúsculos.

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Derivadas

Funções são criadas para refletir o comportamento de certos entes físicos ou estados de valores, porém existe outro meio para analisar o comportamento dos números, que não conhecemos; a derivação é um processo que se destina a analisar as variações no comportamento de um conjunto de números, ela é largamente utilizada hoje em dia.

Vamos criar os conceitos, desde o início, para entender como está fundamentada toda a base dos principios de derivação, com estes teremos meios de analisar vários problemas sob a ótica infinitesimal.

Introdução (coeficientes angulares)

Seja uma reta definida pelos pontos (x1,y1) e (x2,y2); existe uma relação entre a distância dos dois pontos que expressa a inclinação da reta;

Definimos como coeficiente angular de uma reta, a seguinte relação:

O resultado desta relação é um número que expressa quanto a reta está inclinada comparada com o eixo x (variável independente).

tivéssemos uma curvaEm uma função onde os pontos não

O coeficiente m é constante para qualquer segmento de uma reta, este é visivelmente igual à tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x. Agora imagine o que teríamos se ao invés de uma reta acompanham um padrão linear, sempre temos diferentes valores de m para cada par de pontos que tomamos para fazer o seu cálculo, isso se deve ao fato de que a inclinação varia de acordo com o contorno da curva, o que nos sugere que cada pequeno segmento da curva possui um m diferente.

Considerando a função f(x), teríamos os pontos:

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Wikilivros, livre pensar e aprender podemos fazer:

x2 = x1 + Δx e teríamos:

Esta relação nos dá a inclinação de cada segmento de reta formado por um ponto: (x,f(x)) e outro estabelecido pela distância Δx, que nos fornece: (x + Δx,f(x + Δx)). Podemos, a partir desta equação, encontrar os valores de m e verificar qual a inclinação aproximada da curva para cada ponto; note que quando diminuimos o Δx a equação se torna mais precisa, pois cada segmento da curva que é analisado se torna menor, logo temos condições de analizar mais segmentos da curva.

Definição

Imaginemos que para cada par de pontos tenhamos uma reta, com seu respectivo "m", como vimos anteriormente existe uma maneira de relacionar a declividade a cada ponto da curva...

Vejamos o gráfico a seguir: 19Disponível sob Gnu Free Documentation license

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Figura 2

A função f(x), expressa pelo gráfico, apresenta uma sinuosidade no intervalo entre "(x0,y0)" e "(x3,y3)", a função não apresenta nenhuma ruptura ou salto neste intervalo. Traçamos as retas "r1", "r2" e "r3", entre um ponto fixo: "(x0,y0)" e "(x3,y3)", "(x2,y2)" , "(x1,y1)" respectivamente, desta forma, podemos observar que "r1" possui uma inclinação maior que "r2" e esta possui uma inclinação maior que "r3", porém observamos ainda, que a reta "r3" apresenta uma forma similar ao segmento inicial da função, entre os valores 0 e "x0" no seu domínio.

O que é importante saber é que os valores das inclinações das retas se aproximam de uma similaridade às inclinações nas regiões próximas ao ponto inicial "(x0,y0)" a medida que a distância entre os valores de "x" diminuem.

A maneira de levarmos o valor da inclinação da reta o mais próximo da inclinação da função é diminuir a distância entre os pontos até o limite de sua aproximação, ou seja, se fizermos com que a distância entre cada ponto, tomado para o cálculo de m, em relação ao próximo, seja tão pequena que cada ponto se torne quase idêntico ao próximo, então teremos um m para cada ponto da curva, desta forma:

Uma vez que temos um valor deste limite para cada valor de x, criamos uma nova função, que chamamos de , além disso a nova

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Wikilivros, livre pensar e aprender função é obtida através dos resultados de f(x), esse artifício de criar uma função que nos dá a declividade em cada ponto de uma outra função é chamado de derivação, uma vez que criamos uma função que é derivada da primeira.

A diferença entre os valores de x1 e x2, quando levada ao limite próximo de zero, também é chamada de diferencial "dx" e a diferença entre os valores de y1 e y2, quando levada ao limite diferencial "dx", é chamada de diferencial "dy":

Por este motivo, esta operação é chamada de diferenciação, pois se refere à criação de variáveis diferenciais, neste caso dy e dx.

Diferenciabilidade

Para que as diferenciais e por conseqüência, a derivada de uma função em um determinado ponto possa existir, certas condições devem ser observadas: Em primeiro lugar, o limite da função no ponto deve existir, depois, a função deve existir no ponto e seu valor ser igual ao limite; isso nos lembra a definição de continuidade e de fato, quando a função pode ser diferenciada ela é contínua no ponto.

O fato de funções derivadas serem contínuas se deve a existência do limite e do valor da função no ponto, uma vez que torna-se possível a existência do nestes casos.

Portanto devemos verificar a continuidade de uma função para sabermos se esta é diferenciável.

Regras básicas

Para simplificar os métodos de derivação algumas regras básicas são universalmente utilizadas, todas partem do princípio fundamental da

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Wikilivros, livre pensar e aprender definição e podem ser facilmente demonstradas através do limite da definição e teoremas de limites e funções.

T7 - Soma e subtração

Seja a função ; sua derivada é .

Demonstração: Pela definição temos:

e portanto:

T8 - Multiplicação

Seja a função , então sua derivada é .

Demonstração: Pela definição temos:

Somamos e subtraimos na equação anterior:

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