Apostila de Cálculo I

Apostila de Cálculo I

(Parte 5 de 10)

22Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

e portanto:

. T9 - Razão

Seja a função , então sua derivada é

Demonstração: Pela definição temos:

Podemos lançar mão de mais um artifício algébrico e somar e subtrair , o que nos dá:

23Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender Depois que aplicamos os limites, resulta em:

T10 - Natureza algébrica das diferenciais Seja dy e dx as difenciais de f(x) quando sua derivada é

, Então:

Se existe, suas diferenciais podem ser tratadas como duas variáveis com características operacionais algébricas.

Demonstração: Pelo teorema da razão do limite:

. O que nos dá a possibilidade de fazer:

Desta forma, os operadores dy e dx são limites e podem ser operados como tal, de forma que, obedecendo às regras das operações algébricas dos limites, podem ser separados.

T11 - Regra da cadeia

A função composta nos dá a possibilidade de generalizar diversas funções, permitindo a sua simplificação, a sua derivada pode ser conseguida pela relação:

Que pode ser verificada quase que imediatamente através das propriedades algébricas das diferenciais, de qualquer forma podemos demonstrá-la como segue:

24Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

Para simplificar a interpretação do conteúdo, usaremos a notação de derivada em relação à variável dependente; nesta notação colocamos um D e um sobescrito da variável dependente, ou seja, o símbolo Dt(z) indica a derivada de z em relação a sua variável t.

Adotando esta notação para as derivadas, temos:

queremos Dx(y) e sabemos que , para isso teríamos:

Quando ocorre que , pois as duas funções são contínuas e u depende de x, logo:

então:

Derivadas Algébricas simples

Podemos deduzir, a partir das regras comuns e da definição, equações que determinam a derivada para as funções mais comuns, adiante temos uma amostra destas equações e suas demonstrações.

25Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

T12 - constante

Seja a função f(x) = c, onde c é constante e portanto, independente de x, é demonstrável que sua derivada é nula, pois não existe variação do valor da função;

Conforme constatamos:

T13 - fator

Seja a função , onde c é um fator constante e portanto, independente de x, é demonstrável que:

T14 - Variável com expoente constante

Seja a função f(x) = xn, onde n é uma constante positiva e , sua derivada é:

Demonstração: Temos pela definição:

26Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

Considerando o limite, temos:

Como única parte relevante, pois todas as outras terão valores nulos no limite, isto prova o teorema.

Diferenciação implícita

Considerando que as diferenciais podem ser tratadas separadamente e que temos meios para tratar ambas as variáveis de uma equação, a partir da regra da cadeia, temos instrumentos para diferenciar qualquer equação que represente uma função contínua. O método de diferenciação implícita é muito útil como meio de simplificar a resolução de diferenciais onde a variável dependente é de órdem superior.

A idéia mestra deste mecanismo é tornar implícito o conteúdo da variável, sem que seja necessária a sua substituição por equivalente algébrico antes da resolução; Vejamos um exemplo para simplificar a explanação:

A função y2 − 2y − 3 = x3 − 3x2 é realmente complicada para ser diferenciada pelos métodos que vimos até agora, porém podemos esquecer a resolução da equação e considerar que a diferenciação pode, implicitamente, ser operada diretamente na equação inteira, desta forma:

A partir desta equação podemos operar as diferenciais algebricamente para encontrar o valor da derivada .

27Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

A equação que representa a função apresenta dois valores possiveis para y:

O que nos dá duas derivadas, quando substituimos o valor de y na sua derivada:

(Parte 5 de 10)

Comentários