Integral Dupla

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(Parte 1 de 2)

Integral Dupla

Parte 1 e 2

Professor ISRAEL.

PARTE 1

Problema 01

Determinar o volume do sólido contido abaixo do parabolóide acima do retângulo

R = [-2, 2] x [-3, 3]

Problema 02

Determinar o volume do sólido limitado pela superfície

e pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0

Integral Dupla.

Vamos considerar R = [a, b] x [c, d] um retângulo no plano xy.

R = [a, b] x [c, d]

Seja agora uma função definida em R.

Queremos calcular o volume delimitado pelo retângulo R, pela superfície z = f(x, y) e

pelos planos perpendiculares ao retângulo R passando pela borda de R.

Para podermos encontrar o volume vamos fazer uma partição no retângulo R: teremos pequenos retângulos com os quais poderemos trabalhar.

Vamos olhar um sub retângulo. E calcular aproximadamente o volume do paralelepípedo sobre ele.

Temos

Temos

Temos então

Temos então

Temos dois erros:

A face superior do paralelepípedo não é plana, depende da superfície.

A escolha do (xi, yj) é aleatória.

Tomando o limite:

Assim definimos a INTEGRAL DUPLA

sobre um retângulo no plano xy:

desde que o limite exista.

Vejamos agora como calcular uma integral dupla.

É o que chamamos a integral iterada

Vamos olhar uma f(x, y) em R.

R = [a, b] x [c, d]

Para calcular o volume: vamos usar a área de uma região transversal.

Integrando f em relação a x temos a área:

Para obtermos o volume é suficiente integrar A em relação a y:

Como podemos também integrar em relação a y:

Para termos o volume é suficiente integrar a área B em relação a x:

Teorema de Fubini

Se f é contínua em R = [a, b] x [c, d] então

Guido Fubini (1879 + 64 =1943) provou uma versão geral para este teorema em 1907.

Uma versão para funções contínuas já era conhecida anteriormente desde o matemático francês Augustin-Louis Cauchy.

Exercícios 01

Calcule a integral:

Exercícios 02

Calcule a integral:

Exercícios 03

Calcule a integral:

Exercícios 04

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