INTEGRAL_DUPLA

Integral Dupla
(Parte 1 de 2)
Integral Dupla
Parte 1 e 2
Professor ISRAEL.
PARTE 1
Problema 01
Determinar o volume do sólido contido abaixo do parabolóide acima do retângulo
R = [-2, 2] x [-3, 3]
Problema 02
Determinar o volume do sólido limitado pela superfície
e pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0
Integral Dupla.
Vamos considerar R = [a, b] x [c, d] um retângulo no plano xy.
R = [a, b] x [c, d]
Seja agora uma função definida em R.
Queremos calcular o volume delimitado pelo retângulo R, pela superfície z = f(x, y) e
pelos planos perpendiculares ao retângulo R passando pela borda de R.
Para podermos encontrar o volume vamos fazer uma partição no retângulo R: teremos pequenos retângulos com os quais poderemos trabalhar.
Vamos olhar um sub retângulo. E calcular aproximadamente o volume do paralelepípedo sobre ele.
Temos
Temos
Temos então
Temos então
Temos dois erros:
A face superior do paralelepípedo não é plana, depende da superfície.
A escolha do (xi, yj) é aleatória.
Tomando o limite:
Assim definimos a INTEGRAL DUPLA
sobre um retângulo no plano xy:
desde que o limite exista.
Vejamos agora como calcular uma integral dupla.
É o que chamamos a integral iterada
Vamos olhar uma f(x, y) em R.
R = [a, b] x [c, d]
Para calcular o volume: vamos usar a área de uma região transversal.
Integrando f em relação a x temos a área:
Para obtermos o volume é suficiente integrar A em relação a y:
Como podemos também integrar em relação a y:
Para termos o volume é suficiente integrar a área B em relação a x:
Teorema de Fubini
Se f é contínua em R = [a, b] x [c, d] então
Guido Fubini (1879 + 64 =1943) provou uma versão geral para este teorema em 1907.
Uma versão para funções contínuas já era conhecida anteriormente desde o matemático francês Augustin-Louis Cauchy.
Exercícios 01
Calcule a integral:
Exercícios 02
Calcule a integral:
Exercícios 03
Calcule a integral:
Exercícios 04
(Parte 1 de 2)