FORÇA ENTRE CARGAS ELÉTRICAS E O CAMPO ELETROSTÁTICO, Notas de estudo de Física

Baixe FORÇA ENTRE CARGAS ELÉTRICAS E O CAMPO ELETROSTÁTICO e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 1 Os primeiros fenômenos de origem eletrostática foram observados pelos gregos, 5 séculos antes de Cristo. Eles observaram que pedaços de âmbar (elektra), quando atritados com tecidos adquiriam a capacidade de atraírem pequenas partículas de outros materiais. Como a ciência experimental e dedutiva ainda estava longe de ser desenvolvida, o interesse nesse fenômeno sempre permaneceu no campo da lógica e da filosofia. A interação entre objetos eletricamente carregados (força eletrostática) só foi quantificada e equacionada no século 18 (1746), por um cientista francês chamado C. Coulomb. FORÇA ENTRE CARGAS ELÉTRICAS E O CAMPO ELETROSTÁTICO 1 1.1 - FORÇA ENTRE CARGAS ELÉTRICAS - LEI DE COULOMB O trabalho de Coulomb consistiu em, usando uma balança de torção muito sensível, medir a força de atração (ou repulsão) entre dois corpos carregados, em função da distância que os separava. Conceito A intensidade da força entre dois objetos pequenos, separados pelo vácuo ou pelo espaço livre, sendo a distância entre eles muito maior que os seus raios, é diretamente proporcional ao produto entre as cargas, e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. F = k Q .Q R (N)1 22 (1.1) F (N) Força de origem eletrostática, de repulsão (cargas de mesmo sinal) ou atração (cargas de sinais opostos) Q1, Q2 (C) Cargas elétricas, positivas ou negativas R (m) Distância entre os centros das cargas k Constante de proporcionalidade A constante k vale: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = πε = 2 2 9 0 C Nm10.9 4 1k A constante ε0 é a permissividade elétrica do espaço livre. No S. I. (Sistema Internacional) seu valor é: )m/F( 36 1010x854,8 9 12 0 π ==ε − − A força eletrostática é uma grandeza vetorial: possui intensidade, direção e sentido. Ela age ao longo da linha que une as duas cargas. Também é uma força mútua. Cada uma das cargas sofre a ação de uma força de mesma magnitude, porém, de sentido contrário. A força será repulsiva, se as duas cargas forem de mesma natureza (mesmo sinal), ou atrativa, se de sinais contrários. Reescrevendo-a vetorialmente: UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 2 r r F = - Q .Q R (N)2 1 2 12 F ar1 0 2 12 1 4 = πε $ (1.2) $a R Rr12 12 12 = r (1.3) 1F v (N) Força exercida sobre a carga Q1 pela carga Q2. 2F v (N) Força exercida sobre a carga Q2 pela carga Q1. r R12 (m) Vetor que vai da carga Q1 à carga Q2 âr12 Vetor unitário, ou versor, indicando a direção do vetor r R12 Fig. 1.1- Força entre duas cargas: (a) -de mesmo sinal - (b) - de sinais contrários Exemplo 1.1 Uma carga Q1 = 3x10-4 C está colocada no ponto P1(1,2,3) m. Uma outra carga Q2 = -10-4 C está colocada no ponto P2(2,0,5) m. Encontrar a força r F sobre cada carga. Solução Vetor que vai da carga 1 à carga 2 1212 PPR rrr −= r R a ax y12 2 1 0 2 3= − + − + −( ). $ ( ). $ (5 ). $az r R a a ax y z12 2 2= − +$ . $ . $ R12 2 2 21 2 2= + − + =( ) 3 Vetor unitário com a direção de rR12 $ ( $ . $ . $ )a a a ar x y z12 1 3 2 2= − + Força sobre a carga 2: r F Q Q R ar2 0 1 2 12 2 12 1 4 = πε . . $ r F x a a ax y z2 0 4 41 4 3 10 10 9 1 3 2 2= − − − − − πε .( ) ( $ . $ . $ ) ( )N r F a a a Nx y z2 10 2 2= − − +( $ . $ . $ ) ( ) Força sobre a carga 1: r F a a ax y z1 10 2 2= − +( $ . $ . $ ) (N) Exemplo 1.2 Uma carga positiva Q1 de 2 µC encontra-se na posição P1(1,2,1) m, uma carga negativa Q2 de 4 µC encontra-se na posição P2(-1,0,2) m e uma carga negativa Q3 de 3 µC encontra-se na posição P3(2,1,3) m. Encontre a força sobre a carga Q3. Solução: ar12 Q1 r F1 Q2 r F2 r R12 x y (b) ar12 y r F1 Q1 Q2 r F2 r R12 (a) x UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 5 sistema de coordenadas esféricas. A expressão vetorial para o campo elétrico será: r E Q R a N Cr= 1 4 0 2πε . $ ( / ) O vetor unitário âr será simplesmente o vetor unitário na direção do raio R. Para o ponto (1,1,2), o módulo de R é: R = + + =1 1 2 62 2 2 portanto: r E ar= − × × 10 4 8 85 6 4 π , $ ( / )N C O exemplo que acabamos de resolver mostra que muitas vezes, ao tentarmos resolver um problema de uma maneira que julgamos ser a "mais fácil" (no caso, o uso de um sistema de coordenadas mais "conhecido"), estamos fazendo-o da maneira mais complicada. A exploração de simetrias, e o uso de sistemas de coordenadas adequados à cada caso são fortemente incentivados em eletromagnetismo. Exemplo 1.4 Uma carga Q1 = 4x10-9 C está localizada no ponto P1(1,1,3) m. Uma outra carga Q2 = 2x10 -9 C localizada no ponto P2(1,1,5) m. Calcule o valor da intensidade de campo elétrico no ponto P(4,-1,2) m. Solução Vetor que vai de P1 a P: zyx aaa ˆˆ2ˆ.3 −− Vetor unitário ar1: 14 ˆˆ2ˆ.3 1 zyx r aaa a −− = Vetor que vai de P2 a P: zyx aaa ˆ.3ˆ2ˆ.3 −− Vetor unitário ar2: 22 ˆ.3ˆ2ˆ.3 ˆ 2 zyx r aaa a −− = Campo elétrico em P: r E x a a a x a a a N C x y z x y z = − − + − − − − 4 10 4 1 14 3 2 14 2 10 4 1 22 3 2 3 22 9 0 9 0 πε πε . $ $ $ . $ $ . $ ( / ) )/()ˆ.134,0ˆ191,0ˆ.171,0(9 CNaaaE zyx −−= r A exemplo do que foi feito para se calcular forças em um sistema discreto de cargas, o campo elétrico devido a uma distribuição de cargas puntiformes é calculado somando-se a contribuição de cada carga individualmente, no ponto onde se deseja conhecer o valor do campo elétrico. Em sistemas de cargas pontuais o sistema de coordenadas mais indicado é sempre o sistema de coordenadas cartesianas. 1.3 - Distribuição Especial de Cargas Além de cargas pontuais, podem existir outras configurações (distribuições) de carga, a saber: distribuição linear de cargas, distribuição superficial de cargas e distribuição volumétrica de cargas. UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 6 1.3.1 - Distribuição linear de cargas - Uma distribuição linear de cargas possui uma densidade linear ρl C/m (fig. 1.3). ρl C/m Fig 1 .3 - Distribuição linear de cargas Vamos agora analisar o comportamento do campo elétrico produzido por uma distribuição linear infinita de cargas (sem ainda equacioná-lo). Vamos tomar duas cargas incrementais (ρldl), em uma distribuição linear de cargas, como mostrado na figura 1.4. dEz Fig. 1.4 - Arranjo para analisar o comportamento do campo elétrico produzido por uma distribuição linear infinita de cargas dE r P dEr dE dEz O campo elétrico em um ponto P situado a uma distância r, perpendicular à linha infinita de cargas provocado por cada carga incremental é dE, orientado na direção da linha que une o incremento de carga ao ponto P. Cada um desses campos pode ser decomposto em duas componentes: uma paralela à linha, dEz, e outra perpendicular a ela, dEr. Como as cargas incrementais são simétricas em relação à linha, as componentes dEz vão se anular, e o campo elétrico resultante será a soma das componentes dEr. Como se trata de uma linha infinita de cargas, para qualquer ponto z (considerando um sistema de coordenadas cilíndricas), será sempre possível escolher conjuntos de incrementos de cargas simétricos a ele, e o campo elétrico será sempre perpendicular à linha de cargas. Adicionalmente movendo-se o ponto P em um círculo em torno da linha de cargas, o campo elétrico se manterá com intensidade inalterada, e perpendicular à linha. Movendo-se o ponto P para cima e para baixo, mantendo-se a distância r inalterada, a intensidade do campo elétrico não apresentará alterações. Finalmente, se a distância r variar, o campo elétrico deverá variar também. Resumindo, o campo elétrico produzido por uma distribuição linear infinita de cargas: • Possui simetria cilíndrica, e deve ser equacionado utilizando-se um sistema de coordenadas cilíndricas. • Só varia com a componente radial. Como exemplo de distribuição de uma linha de cargas, podemos citar os elétrons em um condutor elétrico, que para efeitos de campo elétrico podem ser considerados como estáticos. A expressão para a intensidade de campo elétrico produzido por uma linha de cargas será obtida no próximo capítulo, que trata da lei de Gauss. 1.3.2 - Distribuição superficial infinita de cargas - Uma distribuição superficial de cargas possui uma densidade superficial ρs C/m2 (fig. 1.5). UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 7 ρs Fig 1.5 - Distribuição superficial de cargas Para analisar o comportamento do campo elétrico produzido por uma distribuição superficial infinita de cargas, vamos utilizar o arranjo mostrado na figura 1.6. Vamos considerar duas tiras infinitas de, de espessura dx, simetricamente escolhidas em relação a uma linha de referência (linha pontilhada). dEz dE r dExz x Fig. 1.6 - Campo elétrico produzido por um elemento de cargas em uma distribuição superficial Uma “fita” de carga pode ser considerada com sendo uma distribuição linear de cargas. Portanto, o campo elétrico produzido por ela terá o mesmo comportamento do campo elétrico produzido por uma distribuição linear de cargas. Assim, o campo elétrico dE, em um ponto qualquer z m acima da linha pontilhada, produzido por uma das fitas será orientado radialmente em relação à fita. Esse campo pode ser decomposto em duas componentes: dEx, paralelo à superfície de cargas, e dEz, perpendicular À mesma. Como as duas fitas estão simetricamente colocadas em relação ao ponto P, as componentes dEx deverão se anular, e o campo resultante será a soma das componentes dEz. Assim, podemos por enquanto concluir que o campo elétrico produzido por uma distribuição infinita de cargas será orientado perpendicularmente a este campo. Embora distribuições superficiais infinitas de cargas não existam de fato, podemos considerar como um exemplo prático o caso de um capacitor de placas paralelas. Embora as expressões para o campo elétrico produzido por distribuições linear e superficial de cargas possam ser obtidas por integração direta, partindo de raciocínios como os mostrados acima, não o faremos aqui, por existir um modo mais simples e fácil, através da lei de Gauss, que será vista no próximo capítulo. Distribuições volumétricas de cargas são bastante complicadas de serem analisadas, e praticamente inexistem. Portanto, não serão aqui analisadas. UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino