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Geóide Elipsóide

P’ h h = altitude geométrica (P’ ) normal

TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion

O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível, sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado.

As linhas de força ou linhas verticais (em inglês “plumb line”) são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto (em inglês “direction of plumb line”) simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de vertical. A figura 1.10 ilustra este conceito.

Figura 1.10 - Vertical. 1.3.4 - MODELO PLANO

Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até aproximadamente 80 km.

Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia são:

a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção localizado no infinito. b) a superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfície terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimetrico o referido datum vertical brasileiro. c) as deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e a refração atmosférica têm as seguintes aproximadas:

Linha de força ou linha vertical

(vertical)

g : direção do vetor gravidade do ponto P

Superfície equipotencial ou superfície de nível S

Superfície equipotencial ou superfície de nível S´

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Δh (m) = +78,1 l2 (km) Δh(m) = +67 l2 (km) onde:

Δl = deformação planimetrica devida a curvatura da Terra, em m. Δh = deformação altimétrica devida a curvatura da Terra, em m.

Δh = deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração atmosférica, em m. l = distância considerada no terreno, em km.

d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1:35000 nesta dimensão e 1:15000 nas imediações da extremidade desta dimensão. e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do levantamento topográfico; f) o eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades do levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para uma direção notável do terreno, julgada como importante.

Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano é necessário estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação dos mesmos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma:

Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo); Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira); Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste).

A figura 1.1 ilustra este plano.

Figura 1.1 - Plano em Topografia.

PS Eixo Y Eixo X

Eixo Z

Plano de Projeção 90º 90º

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Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direção notável do terreno, como o alinhamento de uma rua, por exemplo (figura 1.12).

Figura 1.12 - Eixos definidos por uma direção notável. 1.3.4.1- EFEITO DA CURVATURA NA DISTÂNCIA E ALTIMETRIA

A seguir é demonstrado o efeito da curvatura nas distâncias e na altimetria. Na figura 1.13 tem-se que S é o valor de uma distância considerada sobre a Terra esférica e S´ a projeção desta distância sobre o plano topográfico.

Figura 1.13 - Efeito da curvatura para a distância. A diferença entre S´e S será dada por:

ΔS = S´ – S(1.3)

Calculando S e Se substituindo na equação (1.3) tem-se:

S’ = R tg θ(1.4)

R: raioaproximado da Terra (6370 km)

Eixo X Eixo Y

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S = R θ(1.5)
ΔS = R tgθ - R θ(1.6)
ΔS = R (tg θ − θ)(1.7)

Desenvolvendo tg θ em série e utilizando somente os dois primeiros termos: (1.8) onde θ = S/R, logo: (1.10)

A tabela 1.1 apresenta valores de erros absolutos e relativos para um conjunto de distâncias.

Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distâncias.

S (km)Δs 1 0,008 m 10 8,2 m 25 12,8 cm 50 1,03 m 70 2,81 m

Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria, de acordo com a figura 1.1.

Figura 1.14 - Efeito da curvatura na altimetria.

3 tg

R: raio aproximado da Terra (6370 km)

Δh: diferença de nível entre os pontos B e B´, este último projeção de B no plano topográfico.

Δh

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12 Através da figura 1.1 é possível perceber que:

Δ+=θcos(1.12)

hR R Isolando Δh na equação anterior:

⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅=Δ1cos1θRh(1.13)

De acordo com CINTRA (1996), desenvolvendo em série 1/cos θ e considerando que:

S=θ(1.14)

tem-se:

2Rhθ⋅=Δ(1.15)
h⋅=Δ(1.16)

R2 S2 A tabela 1.2 apresenta o efeito da curvatura na altimetria para diferentes distâncias.

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