topografia
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Geóide Elipsóide
P’ h h = altitude geométrica (P’ ) normal
TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion
O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível, sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado.
As linhas de força ou linhas verticais (em inglês “plumb line”) são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto (em inglês “direction of plumb line”) simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de vertical. A figura 1.10 ilustra este conceito.
Figura 1.10 - Vertical. 1.3.4 - MODELO PLANO
Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até aproximadamente 80 km.
Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia são:
a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção localizado no infinito. b) a superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfície terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimetrico o referido datum vertical brasileiro. c) as deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e a refração atmosférica têm as seguintes aproximadas:
Linha de força ou linha vertical
| (vertical) |
g : direção do vetor gravidade do ponto P
Superfície equipotencial ou superfície de nível S
Superfície equipotencial ou superfície de nível S´
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Δh (m) = +78,1 l2 (km) Δh(m) = +67 l2 (km) onde:
Δl = deformação planimetrica devida a curvatura da Terra, em m. Δh = deformação altimétrica devida a curvatura da Terra, em m.
Δh = deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração atmosférica, em m. l = distância considerada no terreno, em km.
d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1:35000 nesta dimensão e 1:15000 nas imediações da extremidade desta dimensão. e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do levantamento topográfico; f) o eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades do levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para uma direção notável do terreno, julgada como importante.
Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano é necessário estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação dos mesmos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma:
Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo); Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira); Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste).
A figura 1.1 ilustra este plano.
Figura 1.1 - Plano em Topografia.
PS Eixo Y Eixo X
Eixo Z
Plano de Projeção 90º 90º
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Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direção notável do terreno, como o alinhamento de uma rua, por exemplo (figura 1.12).
Figura 1.12 - Eixos definidos por uma direção notável. 1.3.4.1- EFEITO DA CURVATURA NA DISTÂNCIA E ALTIMETRIA
A seguir é demonstrado o efeito da curvatura nas distâncias e na altimetria. Na figura 1.13 tem-se que S é o valor de uma distância considerada sobre a Terra esférica e S´ a projeção desta distância sobre o plano topográfico.
Figura 1.13 - Efeito da curvatura para a distância. A diferença entre S´e S será dada por:
| ΔS = S´ – S | (1.3) |
Calculando S e Se substituindo na equação (1.3) tem-se:
| S’ = R tg θ | (1.4) |
R: raioaproximado da Terra (6370 km)
Eixo X Eixo Y
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| S = R θ | (1.5) |
| ΔS = R tgθ - R θ | (1.6) |
| ΔS = R (tg θ − θ) | (1.7) |
Desenvolvendo tg θ em série e utilizando somente os dois primeiros termos: (1.8) onde θ = S/R, logo: (1.10)
A tabela 1.1 apresenta valores de erros absolutos e relativos para um conjunto de distâncias.
Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distâncias.
S (km)Δs 1 0,008 m 10 8,2 m 25 12,8 cm 50 1,03 m 70 2,81 m
Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria, de acordo com a figura 1.1.
Figura 1.14 - Efeito da curvatura na altimetria.
3 tg
R: raio aproximado da Terra (6370 km)
Δh: diferença de nível entre os pontos B e B´, este último projeção de B no plano topográfico.
Δh
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12 Através da figura 1.1 é possível perceber que:
| Δ+=θcos | (1.12) |
hR R Isolando Δh na equação anterior:
| ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅=Δ1cos1θRh | (1.13) |
De acordo com CINTRA (1996), desenvolvendo em série 1/cos θ e considerando que:
| S=θ | (1.14) |
tem-se:
| 2Rhθ⋅=Δ | (1.15) |
| h⋅=Δ | (1.16) |
R2 S2 A tabela 1.2 apresenta o efeito da curvatura na altimetria para diferentes distâncias.
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