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Um radiano é o ângulo central que subentende um arco de circunferência de comprimento igual ao raio da mesma. É uma unidade suplementar do SI para ângulos planos.

2πR — 360º arco = R = raio(2.1)

Raio

Raio θ

Arco

Figura 2.1 - Representação de um arco de ângulo.

02 -REVISÃO MATEMÁTICA

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2.1.2.2 - UNIDADE SEXAGESIMAL Grau 1 grau = 1/360 da circunferência

grau °1° = (π /180) rad
minuto ’1’ = 1°/60= (π/10800) rad
segundos ”1” = 1°/3600= (π/648000) rad

2.1.2.3 - UNIDADE DECIMAL Grado 1 grado =1/400 da circunferência Um grado é dividido em 100’ e cada minuto tem 100”.

2.1.2.4 EXERCÍCIOS:

1) Transformação de ângulos:

Transforme os seguintes ângulos em graus, minutos e segundos para graus e frações decimais de grau.

a) 32º 28’ 59” = 32 = 32, 48305556º b) 17º 34’ 18,3” = 17 = 17,57175º c) 125º 59’ 57” = 125 = 125,9991667º d) 2) Soma e subtração de ângulos:

30º20’ + 20º 52’ = 51º12’ 28º41’ + 39°39’ = 68°20’ 42º30’ – 20°40’ = 21°50’

2.1) Utilizando a calculadora:

30,20 →DEG = 30,3 + 20,52 →DEG = 20,86666667 =

51,20000 2ndF →DEG = 51º 12’

2.2) Sem a utilização de calculadora:

⇒ 51º 12’

⇒ =09º28’

30º20'

20º52'50º72'+

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OBS: é comum, utilizando a calculadora, obter resultados com várias casas decimais, neste caso, recomenda-se o arredondamento. Por exemplo:

Já para a transformação de graus decimais para graus, minutos e segundos, é necessário manter um mínimo de 6 casas decimais para obter o décimo do segundo com segurança.

3) Cálculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora

Ao aplicar as funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente), com uma calculadora, o ângulo deve estar em graus e frações de graus ou radianos, sendo que neste último caso, a calculadora deve estar configurada para radianos. Por exemplo:

Para o ângulo 22º 09’ 04”, calcular o valor do seno, cosseno e tangente: 1º) transformar para graus decimais ou radianos: 2º 09’ 04” = 2,1511111º = 0.386609821864rad 2º) aplicar a função trigonométrica desejada: sen(2,1511111º) = sen(0.386609821864 rad) = 0,377050629 cos(2,1511111º) = cos(0.386609821864 rad) = 0,926192648 tg(2,1511111º) = tg(0.386609821864 rad) = 0,407097411

Ao aplicar-se a função sem a transformação do ângulo pode-se incorrer em erros nos cálculos futuros, como é possível observar no exemplo a seguir:

Para o ângulo citado acima: α = 22º 09’ 04”

Calculando-se o valor da função seno sem converter o valor do ângulo, obtém-se: sen 2,0904 = 0,376069016

Já transformando-o para graus decimais obtém-se: sen 2,1511111º = 0,377050629

Considerando uma distância de 300m, entre um vértice de uma poligonal e um ponto de detalhe qualquer, pode-se observar a seguinte diferença no valor de Δx calculado.

Δx = 300 . sen 2,0904 = 300 . 0,376069016 → Δx = 112,821m

Δx = 300 . sen 2,15111110 = 300 . 0,377050629 → Δx = 113,115m

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18 Logo, uma diferença de 29,4 cm.

2.2 - REVISÃO DE TRIGONOMETRIA PLANA

A trigonometria teve origem na Grécia, em virtude dos estudos das relações métricas entre os lados e os ângulos de um triângulo, provavelmente com o objetivo de resolver problemas de navegação, Agrimensura e Astronomia.

2.2.1 - RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. A partir da figura 2.2 podem ser estabelecidas as seguintes relações:

Figura 2.2 – Triângulo retângulo

Seno sen α = ) ( aHipotenusa cOpostoCateto

Cosseno cos α = ) ( aHipotenusa bAdjacenteCateto

Tangente tg α = ) ( bAdjecenteCateto cOpostoCateto

2.2.2 - TEOREMA DE PITÁGORAS

“O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”

AB C b

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a2 = b2 + c2(2.2)

2.3 - EXERCÍCIOS 1) No triângulo abaixo, determinar as relações solicitadas.

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