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Definicao 4.1. Seja um solido V no espaco tridimensional, por exemplo, um paralelepıpedo, um elipsoide, uma esfera etc, e i : V $ R uma funcao de tres variaveis definida sobre cada ponto de ({>|>}) 5 V definimos integral tripla (se existir) como sendoZZZ

4.2. Interpretacao geometrica da integral tripla

Para fixar as ideias vamos supor que o solido V e um paralelepıpedo. Uma particao desse paralelepıpedo e obtida seccionando-o com q planos paralelos aos eixos coordenados, conforme ilustra a figura 4.1

Figura 4.1:

O fracionamento de V obtido pela particaoe um conjunto de sub-parelelepıpedos chamados celulas da particao. Suponhamos que uma l celula tenha dimensoes {{l>{|l e {}l,E ntao, o volume dessa l celula e Yl = {{l{|l{{l.S eja ({Wl>| Wl >} Wl )u mp onto qualquer da l celula e seja i : V $ R a funcao densidade em cada ponto de V,e ntao uma estimativa da massa da l celula e pl = i ({Wl>| Wl>} Wl ){{l{|l{{l e, desse modo uma estimativa da massa do solido V sera pq = qP

Seja |Q| ac elula de maior diametro da particao de V entao a massa p do solido V serad adap or

Observacao 8. Se i ({>|>})= 1 entaoam assa p eov olume Y do solidot em om esmo valor numerico. Portanto, o volume do solido em termos de integrais triplas ed adop or

V g{g|g}

4.3. Calculo da integral tripla em coordenadas retangulares

({>|)conforme tabela de limites abaixo sobre a qual desejamos encontrar a integral tripla com respeito a funcao i ({>|>})d efinida em todoso sp ontosd e V.E ntao podemos enunciar as seguintes tabelas de limites

Tabela de limites Curvas equacoes

Curva ae squerda { = d Curva ad ireita { = e

Assim, a integral tripa tem formaZZZ

Solucao: vamos fazer um esboco do solido, conforme figura 4.2

Figura 4.2: volume delimitado

Agora, vamos escolher o plano {| (ver figura 4.3) para fazer a projecao (poderia ser outro)

Limites R1 ae squerda { =0

Figura 4.3: projecao no plano xy

Solucao: Vamos fazer o desenho do solido e escolher um dos planos coordenados para a projecao.

volume delimitado Comoos olido faz parte do I octante, temos os planos } =0 >| =0 e } =0 delimitando o solido. Limites R1 ae squerda { =0 ad ireita { =3 curva inf | =0

Logoov olumed os olido e Y =1 8xy

Solucao: O primeiro passo e determinar as curvas que limitam a regiao de

integracao sobre o plano {|. Para isso resolvemos o sistema de equacoes

Igualando as duas equacoes obtemos a parabola | = {2 4. Desse modo, no plano {|,a regiao de integracao e delimitada pelas curvas | = {2 4, | =0 e | =5 . Para diminuir o trabalho no processo de integracao e conveniente tomar | como variavel independente. Desse modo a tabela de limites ed adap or (V ejaog rafico ??)

Tabela de limites

Curvas equacoes Curva ae squerda | =0 Curva ad ireita | =5

x y

Ov olume ed adop or: 129

Como a superfıcie e simetrica em relacao ao eixo | podemos escrever=2 R 50

Vamos inicialmente identificar as superfıcies:; A?

} =1 0 plano Agora, vamos fazer uma projecao no plano {|, conforme figura 4.4

Figura 4.4: projecao no plano xy logo a massa e dada por P =p1+p2

4.4. Integrais triplas em coordenadas cilındricas

Uma integral tripla pode ser convertida em coordenadas cilındricas seguindo o processo descrito a seguir.

verdadeiro para todo valor de com 5 [ 1> 2]et odo 1 ( ) 2 ( ). Seja V os olido contituido por todos os pontos cujas coordenadas cilındricas satisfacam as condicoes

Tabela de limites Curvas equacoes

Figura 4.5: e escrita em coordenadas cilındricas como segue

projecao no plano xy 132

Figura 4.6:

Os olido esta limitado inferiormente pelo plano } = 0 e superiormente pelo paraboloide } = |2 + {2 +1

Fazendo a tabela, podemos observar que em coordenadas cilindricas em uito mais facil resolver esse problema

Tabela de limites em coordenadas retangulares Tabela de limites em coord. cilındricas Curvas equacoes

Curva ae squerda { = 1 Curva ad ireita { =1

Curvas equacoes

Superfıcie superior } = 2 +1 logo o Volume em coordenadas cilındricas ed adop or:

Z 2vhqw

Z 2vhqw

Exemplo 4.7. Represente graficamente o solido cujo volume ed adop ela integral:

Tabela de limites em coord. cilındricas Curvas equacoes

Considerando os arcos inferior e superior concluımosq ue ab ased os olido esta projetada sobre todos os quadrantes, pois temos 0 2 = Comoo0 2 o raio varia fixamente, portanto, lateralmente temos um cilindro centrado na origem {2 +|2 =4 = Inferiormente temos } = 0 e superiormente o cilindro parabolico } =4 {2 (observe que 2 cos2 = {2 ) Portanto, temos o solido, conforme ilustra a figura 4.7

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