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Figura 4.7: volume delimitado

Exemplo 4.8. Escreva em coordenadas retangulares a integral

Solucao: Para melhor compreensao, primeiro devemos identificar a representacao geometrica do solido. Vamos estudar a tabela de limites

Tabela de limites em coord. cilindricas 135

Curvas equacoes

Considerando os arcos inferior e superior concluımosq ue ab ased os olido esta projetada sobre o primeiro quadrante, pois temos 0 2 . Agora vamos escrever ac urva =2 cos em coordenadas retangulares. Sabemos que { = cos ,d e modo

=2 cos donde vem

Vemos que em coordenadas retangulares a projecao do solido sobre o plano {| e delimitada pela circunferencia de equacao ({ 1)2 +|2 = 1. Desse modo, a tabela de limites, em coordenadas retangulares ed adap or:

Tabela de limites em coordenadas retangulares Curvas equacoes

Curva ae squerda { =0 Curva ad ireita { =2 Curva inferior | =0

Tambem devemos escrever de forma adequada a expressao 2g}g g .C omo g{g|g} = g}g g temos

Assim, a integral Z 2

sera dada por:

4.5. Integrais Triplas em Coordenadas Esfericas

As integrais triplas podem ser convertidas para coordenadas esfericas de acordo com o processo descrito a seguir (veja a figura 4.8)

Figura 4.8: coordenadas esfericas

Suponhamos que o solido V seja constituido por todos os pontos cujas coordenadas esfericas ( > >!)t aisq ue

Considerando os acrescimos atribuidos a cada variavel obtemos os pontos:

Tambem, podemos observar um paralelepıpedo infinitesimal curvilıneo com dimensoes SW , TU e ST cujo volume aproximado e

subentende um angulo correspondente a variacao de ! segue queST = g!= Como T e U pertencem ao cırculo de raio RX em que RX el adoo posto

e, desse modo obtemos TU = vhq!g Portanto,

Lembrando que em coordenadas retangulares tem-se gY = g{g|g} e, portanto, a equivalencia

Seja i ({>|>})u ma funcao definida em todos os pontos do solido V ec ada ponto S ({>|>}) pode ser escrito em coordenadas esfericas i ( > >!). Entao podemos

Exemplo 4.9. Mostre, usando coordenadas esfericas, que o volumed eu ma esfera de

0xy

Solucao: Primeiro vamos interpretar cada superfıcie. A equacao }2 = {2+|2 representa o cone inferior na figura abaixo, a equacao }2 =3 {2 +3 |2 representa o cone superior e a equacao {2 + |2 + }2 = 4 representa a esfera. O problema pede para

Figura 4.9: volume delimitado determinar o volume do solido dentro da esfera entre os dois cones. Veja a figura 4.9 no primeiro octante. Vamosd eterminara sc urvasd ei ntersecao e projetadas sobre o plano {|.

Resolvemos os sistemas de equacoes

em ambos os casos, substituindo }2 da primeira equacao na segunda equacao

Tabela de limites para os solidos Curvas um - equacoes dois - equacoes

Portanto, o volume serad adop or

g}g|g{

Como podemos perceber a resolucao da integrale trabalhosa. Vamos escrevela em coordenadas esfericas.

Ef acil ver que oa rco variad ez eroa2 . Vamos determinar a variacao do arco !. O cone de equacao }2 = {2 + |2 intercepta o plano }{ na da reta } = {.

Sendo o coefiente angular dessa reta wj =1 segue que = 4 ea ssim,t ambem tem-se

Sendooc oeficiente angular dessa reta wj = s

Portanto, a tabela de limites do solido em coordenadas esfericas e dada por:

Tabela de limites em coordenadas esfericas Curvas equacoes

Assim, o volume serad adop or

Exemplo 4.10. Escreva em coordenadas retangulares a integral4

Solucao: Osımbolo R

20 significa que a regiao de integracao esta situada no primeiro quadrante.

Osımbolo

6 indica que o solido de integracao e delimitado pelos raios cujas

retas tem coeficientes angulares wj 6 = I

Eos ımbolo R 4

0 indica que o solido et ambem delimitado pela esfera de raio

Do coeficiente angular wj 3 quais pertencem a intersecao do cone }2 =3 {2 +3|2 com os planos {} e |}, respectivamente.

Resolvendo os sistemas de equacoes

}2 =3 {2 +3 |2 obtemos as curvas que delimitam a regiao de integracao para o calculo da integral rela- tiva a parte da esfera que esta localizada dentro de cada um dos cones. Em ambos os casos, substituindo a segunda equacao na primeira temos

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