Matemática Básica Coleção Fundamental 1

Matemática Básica Coleção Fundamental 1

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que é a conhecida fórmula da Bhaskara, onde

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é o discriminante da equação, e três casos podem ocorrer:

1º) 0>∆ ⇒ teremos duas raízes reais e desiguais. 2º) 0=∆ ⇒ teremos duas raízes reais e iguais.

3º) 0<∆ ⇒ não teremos raízes no conjunto dos números reais, e este caso será abordado na seção 1.14.

Exemplo 1.2 Resolver as seguintes equações do 2º grau:

ba z b z

ba z b z dupla raiz ba z e esta equação não admite raízes no campo real. Sua solução será apresentada na subseção 1.14.1 (321j+−=z e 322j−−=z são as suas raízes).

1.7 Progressão Aritmética (P.A.) 1.7.1 Definição

É uma sucessão de termos

finita ou infinita, sendo que, a partir do 2º termo inclusive, a diferença entre um termo qualquer e o seu antecedente é igual a uma quantidade constante r, denominada razão da progressão, ou seja:

raaaaaaaannnn=−=−==−=−+−112312K

As seguintes seqüências são exemplos de P.A.:

a) (2) 2 17, 12, 7, 2,1=⇒aK e 5=r
b) (xatxtxtxx=⇒+++1) 6 ,4 ,2 ,K e tr2=
c) (5) 5 ,5 ,5 ,5 ,51=⇒aK e 0=r
d) 79 ,

aK e

e) (8) 4 1, ,2 ,5 ,81=⇒−−aK e 3−=r

1.7.2 Classificação As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r:

⇒>0rP.A. crescente

⇒=0rP.A. constante ou estacionária

⇒<0rP.A. decrescente

1.7.3 Termo geral A partir da definição, podemos escrever os termos da P.A. da seguinte forma:

( ) ( ) ( )rnaraaraa rarraraaraa rarraraaraa raaraa

nnnn1

Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro um número de razões r igual à posição do termo menos uma unidade, ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )rnaa raraa raraa raraa

L O termo de ordem n da P.A. é dado, portanto, pela fórmula a seguir:

que pode também ser obtida da seguinte maneira:

( )rnaa raa raa raa raa

Somando membro a membro estas n – 1 igualdades obtemos a expressão do termo de ordem n.

que é a mesma equação anteriormente encontrada.

1.7.4 Propriedades

I) Numa P.A. cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética entre o termo precedente e o termo seguinte.

Com efeito, se

K, , 1+−na

são termos consecutivos de uma P.A., então podemos escrever:

I) Em qualquer P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é constante e igual à soma dos próprios extremos.

Seja pois a P.A. limitada, com n termos, razão r, e A e B os termos eqüidistantes dos extremos, conforme ilustrado a seguir:

termos1 termos 21 , , , , , , , , p nnp

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