Matemática Básica Coleção Fundamental 8

Matemática Básica Coleção Fundamental 8

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Apostila de Matemática Básica

Assunto:

MATEMÁTICA BÁSICA Coleção Fundamental - volume 8/8

Unidade 3

Matrizes, um primeiro enfoque

3.1. Apresentação

Esta é a terceira unidade de um curso que temos ministrado no Instituto Politécnico da U- niversidade Estácio de Sá e vamos, inicialmente, justificar a expressão “um primeiro enfoque” do título do trabalho. Nesta oportunidade apresentaremos a parte básica das matrizes: conceitos fundamentais, tipos especiais e operações. No seguimento de nossos estudos as matrizes serão novamente abordadas, em associação com outros assuntos tais como determinantes e sistemas lineares.

Face a uma quase universalidade nas notações aij, bjk, cik, para elementos genéricos de matrizes, com preferência para a primeira, e por abordarmos também matrizes com números comple- xos, optamos pela notação j (em negrito e itálico) para representar a unidade imaginária, ou seja j

=1−, diferentemente dos textos de matemática pura, que preferem utilizar i =1−. A nossa notação é a mesma empregada pelo pessoal da área da eletricidade, onde tivemos nossa formação primordial, visto que em eletricidade a letra “i” é reservada para a corrente elétrica.

Os modernos aplicativos para PC’s tais como o MATLAB, por exemplo, já aceitam ambas as notações i =1− e j =1− para a unidade imaginária, a fim de atender sem “prioridades” a todos os usuários.

3.2. Introdução Histórica

Somente uma canalização de energia superior, totalmente intangível a nossa falha compreensão humana, pode ter inspirado Isaac Newton e Gottfried Wilhem Leibniz a “criarem” algo tão fantástico e poderoso para o desenvolvimento das ciências exatas quanto o Cálculo Diferencial e Integral, e o que é mais interessante: na mesma época, em lugares diferentes – Laibniz na Alemanha e Newton na Inglaterra e de forma independente, até porque os métodos de abordagem foram diferentes. Gerou-se então uma grande polêmica entre os discípulos desses dois sábios pela reivindicação da primazia na criação do Cálculo. Embora o lado de Newton tivesse levado vantagem na disputa, as conseqüências foram desastrosas para a ciência britânica pois, nos cem anos subseqüentes ao episódio, os matemáticos ingleses, fiéis ao seu mais eminente cientista, concentraram-se nos métodos geométricos puros, preferidos de Newton, ao invés de nos métodos analíticos, que são bem mais produtivos. Uma vez que os demais matemáticos da Europa Continental exploravam tais métodos de modo eficaz, a matemática inglesa acabou ficando para trás no citado período.

No entanto, terminou havendo uma reação e os ingleses acabaram voltando ao primeiro escalão no século 19, e um dos maiores responsáveis por esta reviravolta foi Arthur Cayley, que entre suas muitas criações originais consta a das matrizes em 1855. No século 20 acharam-se inúmeras aplicações para este poderosos e compactador instrumento matemático. Só para formar idéias perguntamos: você conseguiria imaginar o mundo atual sem energia elétrica? Pois bem, enquanto o desenvolvimento de fontes alternativas geradoras de energia elétrica não atingir um estágio de apli- cação mais ampla, continuaremos a depender dos atuais sistemas: usinas geradoras, subestações elevadores, linhas de transmissão, subestações abaixadoras e linhas de distribuição. E o que os engenheiros que cuidam da operacionabilidade e estabilidade de tais sistemas fariam sem as matrizes para mapeá-los? A resposta é uma só: nada! Face às dimensões de tais sistemas nos dias atuais seriam impossíveis os cálculos de fluxo de carga e de curto-circuito sem o emprego do Cálculo Matri- cial às matrizes do tipo impedância de barra []barraZ e admitância de barra []barraY.

Não, não é só em Engenharia Elétrica que esta ferramenta matemática é fundamental. Existem inúmeras aplicações em outros campos, como sistemas de referência em Mecânica, cálculos estruturais de grande porte, curvas de ajustamento em Estatística, etc. A propósito: as planilhas geradas no Excel também são exemplos de matrizes.

As matrizes são úteis porque elas nos permitem considerar uma tabela (quadro) de muitos números como sendo apenas um único objeto, denotado por um símbolo simples, e executar cálculos com estes símbolos de forma bem compacta.

3.3. Conceitos Fundamentais

O conceito de matriz surge associado às relações lineares tais como transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Consideremos, por exemplo, a transformação linear xaxay

onde a11, a12, a21 e a22 são números dados, enquanto que x1, x2, bem como y1, y2 são grandezas variá- veis. Por exemplo: as coordenadas de um ponto no plano xy em dois sistemas de referência distin- tos.

Dispondo os coeficientes da maneira pela qual eles ocorrem na transformação e encerrando-os entre colchetes, por exemplo, obtemos a tabela

que é um exemplo de matriz.

Ampliando a definição podemos dizer que denomina-se matriz retangular ou simplesmente matriz m × n toda aplicação f de I × J em C, ou seja, é uma correspondência em que associ- amos ao elemento (i, j) ∈ I × J um único elemento aij pertencente ao conjunto C dos números com- plexos5 , sendo que o número aij é denominado imagem do par (i, j).

Por exemplo:

a11 é uma imagem do par (1, 1) a12 é uma imagem do par (1, 2) M

amn é uma imagem do par (m, n)

(m, n) amn

Fig. 3.1 Assim sendo a imagem de aplicação6 f : I × J → C é o conjunto de números

pertencente ao corpo dos números complexos C, e os elementos deste conjunto são justamente os elementos da matriz.

Representamos então uma matriz[]A retangular, tamanho, tipo ou ordem7 m × n (lê-se m por n), por intermédio de uma tabela, com m × n elementos, onde os elementos aij são distribuídos por m linhas e n colunas, sendo que o elemento genérico aij situa-se na interseção da linha de ordem i (i-ésima linha) com a coluna de ordem j (j-ésima coluna).

A linha de ordem i é o conjunto dos elementos aij em que i é fixo e j varre todo o conjunto J = {1, 2, 3, … ,}n.

Por exemplo: a 2.ª linha da matriz é:

5 De um modo geral uma matriz é uma tabela formada por números complexos. Lembrando que o conjunto dos números reais está incluído no conjunto dos números complexos, podemos dizer que uma matriz é formada por números reais e/ou complexos 6 Para o conceito de aplicação volte à seção 1.1 da Unidade 1. 7 Os três termos são utilizados, porém, o mais freqüente é tipo.

A coluna de ordem j é o conjunto dos elementos aij em que j é fixo e i varre todo o conjunto I = {1, 2, 3, … ,}m.

Por exemplo: a 3.ª coluna da matriz é:

colunas linhas

mnmmm n n n m linhas n colunas

mnmmm n n n

Elemento Genérico:

ija

. até 1 de direita, a para esquerda da numeradas são colunas as elemento; o pertence qual à coluna da ordem . até 1 de baixo para cima numeradas são linhas as elemento; o pertence qual à linha da ordem j m

• Ilustração 3.1 Sejam as tabelas a seguir:

é matriz tipo 2 × 3.

j j j é matriz tipo 3 × 2, e j = 1− é o número imaginário puro.

j é matriz tipo 4 × 1.

f) []2 é matriz tipo 1 × 1, ou matriz de um único elemento, e trata-se de um caso bem particular.

• Ilustração 3.2

Uma tabela contendo informações sobre os moradores de uma determinada vila de casas do tipo

Número de

Número da Casa Residentes

Tempo de

Renda Familiar (R$)

Residência (anos)

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