Movimento Browniano

Movimento Browniano

(Parte 1 de 2)

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Instituto de Física

FNC-314 - Laboratório de Estrutura da Matéria I

FÍSICA EXPERIMENTAL - VI (Lab. de Estrutura da Matéria)

- Estudo do Movimento Browniano2
I. Introdução2
I. Experiência2
I. Referências Bibliográficas3
- Apêndice A4

ÍNDICE Determinação de <x2> pelo método de mínimos quadrados.. 4

5
Processo para avaliar o erro5
Caso geral de uma função com vários parâmetros7
Correção para o valor da viscosidade do ar9

I. Introdução

O movimento Browniano já deve ter sido observado na experiência de

Millikan: algumas gotas tinham movimento caótico, sem direção preferencial, que chegava a perturbar a medida dos tempos de percurso. A causa deste movimento está relacionada com a natureza discreta do gás atmosférico; o ar não e um fluido uniforme, mas e formado de moléculas. A gota está sujeita a choques com as moléculas em todas as direções. Se a gota for suficientemente pequena, o número de choques num dado intervalo de tempo, num dado sentido, pode não ser exatamente compensado pelo número de choques no sentido oposto, daí o deslocamento.

A frequência com que ocorrem as colisões, ou as distâncias percorridas entre colisões sucessivas estão relacionadas também com as características físicas do meio, que dão conta do movimento térmico das moléculas que o compõem. Consulte as referências bibliográficas (ref. [1 a 6]).

A teoria cinética dos gases também prevê uma distribuição de energia das moléculas; a energia média é proporcional ao produto kT (equipartição de energia). Assim, a energia cinética das moléculas aumenta com a temperatura e aumenta também a energia transferida num choque.

O movimento caótico da gotinha de óleo no ar está relacionado com a agitação das moléculas do ar e com o número de moléculas por unidade de volume. A medida do deslocamento médio da gotinha permite calcular o numero de Avogadro. Para uma análise estatística, consulte o apêndice A e as referências [3,8 e 9].

I.- Experiência

O instrumental é o mesmo que foi utilizado para a experiência de Millikan.

Uma gotinha de óleo de tamanho conveniente é equilibrada entre as placas do condensador e são observados seus movimentos numa dada direção. Os ajustes do aparelho e da iluminação devem ser feitos da maneira já conhecida.

A análise quantitativa do movimento da gotinha permite calcular o número de Avogadro através da expressão:

N RTt

Onde R e a constante dos gases perfeitos (=8.37x107 erg/mol K), T a temperatura absoluta do sistema (K), η o coeficiente de viscosidade do ar, a o raio da gota, t o intervalo de tempo em que são observados os deslocamentos e <x2> o deslocamento quadrático médio (veja por exemplo as referências [1 a 6]).

As questões a seguir devem ser usadas como orientação para a realização da experiência: - Qual a melhor direção a ser escolhida para observação do movimento Browniano (vertical ou horizontal)?

- Levando em conta o processo que produz esse movimento, faça uma estimativa do tamanho da gota escolhida. - Reportando-se a experiência de Millikan, qual a grandeza mensurável que pode fornecer o raio da gotinha? (veja apêndice B para estimativa inicial do raio da gota). Procure uma gotinha de modo que seu raio possa ser determinado com erro da ordem de 5%. - Observe o movimento da gota na direção escolhida e faça uma coleção de medidas de sua posição, tendo em vista obter <x2> (x o deslocamento em cada intervalo de tempo) com um erro menor que 10%. Faça pelo menos 200 medidas de deslocamento, usando intervalos de tempo de 10s.

- Construa histogramas de deslocamento para intervalos de 10s, 20s e 30s. Obtenha σ2 para os três histogramas, usando os métodos descritos no apêndice A.

- O numero de Avogadro NA deve ser calculado usando σ2 ou <x2>? Justifique sua resposta.

- Calcule o número de Avogadro NA e analise a necessidade de correção para o coeficiente de viscosidade. Ver apêndice B para obter a viscosidade.

- Calcule o erro associado à determinação de NA e discuta a influência dos fatores significativos.

- Faca uma introdução ao trabalho baseada na bibliografia citada e no desenvolvimento da parte experimental realizada. Procure justificar o método utilizado e o calculo do numero de Avogadro.

I. Referências Bibliográficas

1) A. Einstein - Brownian Motion 2) Tippler - Foundations of Modern Physics 3) Reif - Fundamentals of Statistical and Thermal Physics 4) Max Born - Fisica Atomica 6) Harnell e Livingood - Experimental Atomic Physics 7) Millikan - Electrons + and - 8) Evans - The Atomic Nucleus 9) Bevington - Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences. 10) Squires - Pratical Physics 1) Lavenda, B.H. - Brownian Motion - Sci. Amer. p. 56 (fev. 1985) 12) Schumacher, R.T. - Am. J. Phys. 54, 137 (1986) 13) Feder, J. - Fractals - Plenum Press N.Y. (1988) 14) Mandelbrot, B.B. - The Fractal Geometry of Nature, Freeman (1982) 15) Voss, R.F. - in: The Science of Fractal Images, ed. Heinz Otto - Peitgen, Springer Verlag (1988)

APÊNDICE A Determinação de <x2> pelo método dos mínimos quadrados.

Os métodos descritos abaixo não se restringem à experiência de movimento

Browniano, mas podem ser aplicados em geral, para ajuste de uma função arbitrária de n parâmetros.

Como foi visto acima, o número de Avogadro, cuja obtenção é um dos objetivos desta experiência, pode ser expresso como:

N RTt

Vamos tratar da avaliação de <x2>: <x2> ou o desvio quadrático médio, pode ser calculado diretamente da flutuação dos deslocamentos. De fato, lembrando a definição de variância:

σ f ix x e lembrando que a média <x> é nula (não há direção preferencial para o movi-mento), temos 〈〉=xf 2σ, calculado diretamente dos dados.

Esta é uma primeira estimativa e deve ser encarada como tal. Deve-se tratar o problema de um modo mais complexo, mas que pode ser generalizado para avaliação de parâmetros de uma curva qualquer. Os deslocamentos de distribuem de acordo com uma gaussiana de média zero e variância 〈〉=xf 2σ. A gaussiana normalizada é dada pela expressão:

O histograma dos deslocamentos tem ∆ como passo utilizado no eixo x dos deslocamentos, yi é o número de vezes que um deslocamento xi é observado e N é o número total de medidas (Nyi=∑). Supondo uma distribuição gaussiana para os deslocamentos e sabendo que a área sob o histograma experimental é N∆, o histograma experimental deve ser comparado com a gaussiana f(x) dada por:

f x N ei

O melhor ajuste dará σ, ou seja <x2>. O melhor valor de σ pode ser estimado pelo método dos mínimos quadrados, que consiste em minimizar a expressão:

i i

onde yi é o número de medidas no canal de histograma centrado em xi e f(xi) o valor da gaussiana no canal centrado em i (ver ref. [4]).

Neste caso, poder-se-ia colocar ∂χ

2 0= e resolver a equação em σ, mas esta é não linear e complicada. Este problema pode ser contornado da maneira descrita a seguir.

O uso de yi no denominador de (5) pressupõe que o erro associado ao valor do canal i seja yi, ou seja, que a contagem no canal yi se distribui segundo uma curva de Poisson. Esta aproximação é razoável, mas tende a superestimar o erro (a distribuição correta é a binomial).

Processo para minimizar o χ2 .

O método para minimizar o χ2 nos casos em que a equação ∂χ

ser resolvida sem grandes dificuldades é o seguinte: - calcula-se o χ2 para vários valores do parâmetro da curva teórica, no caso σ, em torno do valor de uma primeira estimativa (aqui a variância, σf). - faz-se um gráfico dos χ2‘s em função do parâmetro variado σ.

- localiza-se no gráfico o mínimo, e repete-se o procedimento em torno do mínimo, refinando o valor do parâmetro (σ).

Achado este valor (σo), deve-se determinar seu erro. Esta tarefa é bem mais complicada.

Processos para avaliar o erro.

São apresentados três métodos usualmente empregados para esta finalidade.

Processo 1: (Especificamente para o caso de curvas que dependem de apenas um parâmetro) Calcula-se o erro por propagação:

já que εi=yi no nosso caso. A dificuldade deste método, no presente caso, está em avaliar ∂σ

(Parte 1 de 2)

Comentários