Movimento Browniano

Movimento Browniano

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∂yi , já que não temos σ em função de yi. Mas a condição de minimização de

2 0=, pode ser derivada em relação a yi:

Pode-se então separar

. Mas o cálculo é longo.

Processo 2: (este processo, mais numérico, é mais frequentemente utilizado em programas de computador) A ref. [9] trata do ajuste por mínimos quadrados de funções lineares ou não nos parâmetros. Demonstra-se que o erro εi de um parâmetro aj é εαj 21=− onde αj é o elemento diagonal da matriz inversa usada na expressão:

i ij ik f xa f x

(Veja também a apostila do primeiro bimestre de Lab. Estrutura da Matéria I) No nosso caso, só ha um parâmetro, σ. Portanto:

f xi

A derivada ∂ ∂σ f é trivial. Este processo que dá valores exatos para uma função linear nos parâmetros, fornece bons valores se calculado na situação em que χ2 é mínimo em todos os parâmetros.

Processo 3: (estimativa utilizada em situações complicadas)

Quando o cálculo do erro se torna demasiadamente complexo, é comum em física experimental, se usar a seguinte regra (ref. [9]):

- achado o valor mínimo (σo) com χ2=χ2 o, procura-se o valor de σ tal que χ2 σ=χ2o+1. Em geral há dois valores, um inferior e um superior. Estes delimitam uma faixa de incerteza e pode-se estimar εσ como a metade deste intervalo.

Do mesmo modo que foi possível avaliar <x2>f a partir dos dados, existe a possibilidadede avaliar o erro de <x2>f. De fato, quando se faz uma medida repetidas vezes, espera-se que os valores se distribuam segundo uma gaussiana, com largura igual ao erro. É possível achar um “erro” do erro dado por:

onde σ é o erro da medida. Veja a semelhança com a experiência realizada. Tentar medir a posição da gota que sofre movimento Browniano leva a uma indeterminação grande da posição. Mas o interesse não está na posição, mas na flutuação da posição, ou seja no erro da posição, que seria dado por <x2>. então o erro de <x2>f nada mais é que o erro do erro e pode-se escrever:

εσ f xN f=

É claro que, do mesmo modo que σεσffx 2=〈〉, é uma primeira aproxi- mação que deve ser encarada como tal, como ponto de partida e ordem de grandeza.

Caso geral de uma função de vários parâmetros

Desde o início, foi imposto, como justificativa que a distribuição tinha média zero e área N. No entanto, pode acontecer que por alguma razão haja uma direção preferencial: vento, capacitor não nivelado etc. Além disso, a curva pode ter uma deformação e sua área não ser N mas um outro valor próximo (embora seja difícil aceitar que a área não seja o número de dados tomados!).

Mas para efeito de exemplo, vamos considerar que os três parâmetros não sejam determinados (embora seja necessário ter valores iniciais estimados). A ref. [9], cap. 1, trata de vários modos de determinar estes parâmetros. O processo mais simples é o da grade, descrito a seguir. A função que queremos ajustar é:

f x N ei

com valores iniciais σ=〈〉x2, N o número de dados e µ=<x>.

- fixa-se dois parâmetros (por exemplo σ e N)

- varia-se o parâmetro livre (no caso a posição µ) até achar o mínimo χ2 .

- fixa-se este parâmetro no valor correspondente ao mínimo χ2, µo e mantendo um dos outros fixos (p. ex. N), varia-se s até achar o novo χ2 mínimo.

- fixa-se σ em σo (no mínimo) e varia-se o terceiro parâmetro (N) até encon- trar o menor χ2 .

- volta-se ao início, recomeçando-se com o novo (e melhor) conjunto de parâmetros. O processo é repetido até que os parâmetros não variem significativamente de uma iteração para outra, assim como o valor de χ2 mínimo. Tem-se então, o melhor valor para os três parâmetros simultaneamente. Este método pode ser estendido a n parâmetros mas torna-se tedioso e de convergência lenta. Para avaliar o erro pode-se usar o processo 2, montando-se a matriz α no mínimo χ2 e invertendo-a. Ou então, o processo 3, para cada parâmetro, mantendo os outros fixos em seus pontos de mínimo. Caso os dados apresentem uma média significativamente não nula (em relação à largura da distribuição), deve-se minimizar o χ2 em σ e µ simultaneamente como descrito logo acima. No caso de µ=<x> ser desprezível em relação a σ, o processo de um parâmetro, σ, pode ser usado. No caso de µ ≠0, o que se usa na equação (1) para calcular NA, σ2 ou <x2>? Justifique.

I - Correção para o valor da viscosidade do ar

Tendo em vista que o diâmetro da gota é comparável com o livre caminho médio das moléculas no ar (L ~ 10-5 cm), não se pode desprezar a não homogeneidade do fluido. Desta maneira, requer-se efetuar uma correção no coeficiente de viscosidade do ar:

onde p é a pressão atmosférica, η0 o coeficiente de viscosidade à temperatura ambiente e b=6.17.10-4 (cm de Hg) cm, quando a pressão for medida em cm Hg.

Os valores de h0 em função da temperatura estão representados no gráfico seguinte.

Temperatura (C) Variação do coeficiente de viscosidade (νo) com a temperatura do ar.

I - Estimativa do raio da gota

Raio da gota m .

Representação do raio da gota em função do tempo de queda. O tempo representado na abcissa corresponde a um espaço percorrido de 1mm.

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