algebra linear 1 - modulo 3

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Transforma c~oes lineares M ODULO 3 - AULA 18

Aula 18 { Transforma c~oes lineares

Objetivos

De nir os conceitos de transforma c~ao matricial e linear; Apresentar v arios exemplos de transforma c~oes lineares.

Um dos conceitos centrais na Matem atica e o de fun c~ao. De modo geral usa-se os termos fun c~ao, aplica c~ao e transforma c~ao como sinonimos.

Uma fun c~ao e uma associa c~ao entre dois conjuntos A e B, envolvendo todos os elementos de A, mas n~ao necessariamente todos os elementos de B, e que associa cada elemento de A a somente um elemento de B. Esta maneira de ver uma fun c~ao somente como uma associa c~ao e uma vis~ao essencialmente est atica.

Uma outra meneira de ver o mesmo conceito, porem mais dinamica, e que uma fun c~ao e uma transforma c~ao, que leva elementos do conjunto A em elementos do conjunto B, ou seja, transforma elementos de A em elementos de B.

Na Algebra Linear, usa-se mais o termo transforma c~ao do que fun c~ao, especialmente no caso das transforma c~oes lineares, que de niremos nesta aula. Em resumo, uma transforma c~ao de um espa co vetorial V em um espa co vetorial W e simplesmente uma fun c~ao de V em W.

Como observamos, s~ao de interesse especial as transforma c~oes lineares. Comecaremos de nindo transforma c~oes matriciais e depois as lineares. Veremos que para transforma c~oes de Rn em Rm, os dois conceitos s~ao equivalentes.

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Álgebra Linear 1 Transforma c~oes lineares

Transforma c~oes matriciais

Uma transforma c~ao matricial e uma fun c~ao dada por T(x) = Ax, onde

A e uma matriz. Mais precisamente, seja A uma matriz m × n. Ent~ao a aplica c~ao T : Rn ! Rm dada por x ! Ax e uma transforma c~ao matricial.

Exemplo 1 Seja ent~ao A induz a transforma c~ao matricial T : R3 ! R2, dada por x ! Ax.

Por exemplo, se x =

Ax =

Ax =

Exemplo 2 Se

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Transforma c~oes lineares

Somando as duas equa c~oes, obtemos

Subtraindo as mesmas equa c~oes, obtemos forma c~ao matricial T = Ax.

Exemplo 3

e seja Tu = o que mostra que Ax = b tem solu c~ao quando 3a 2b + c = 0. Portanto, a aplica c~ao dada pela matriz A leva R2 no plano 3x 2y + z = 0.

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Álgebra Linear 1 Transforma c~oes lineares

Transforma c~oes lineares

Dada uma matrix m n A, vetores n 1 u e v, e um escalar c, segue-se das propriedades da multiplica c~ao de matrizes que

De maneira geral, quando uma fun c~ao possui as duas propriedades acima, dizemos que ela e linear. De niremos agora as transforma c~oes lineares.

Em outras palavras, podemos dizer que uma transforma c~ao e linear quando preserva a soma de vetores e o produto de vetores por escalares.

Preservar a soma de vetores quer dizer que se somarmos os vetores primeiro (u + v) e, em seguida, aplicarmos T, obtendo T(u + v), o resultado e o mesmo que aplicarmos T aos vetores e depois somarmos os resultados (Tu + Tv), isto e T(u + v) = Tu + Tv.

Se A e uma matriz, u e v s~ao vetores no dom nio de T = Ax e c e um escalar, ent~ao, a propriedade A(u + v) = Au + Av mostra que T preserva a soma de matrizes e a propriedade A(cu) = cA(u) mostra que T preserva o produto por escalar. Portanto, toda transforma c~ao matricial e linear.

Por outro lado, nem toda transforma c~ao linear de espa cos vetoriais e matricial. Veremos um exemplo deste tipo abaixo. Porem, transforma c~oes

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Transforma c~oes lineares M ODULO 3 - AULA 18 lineares de Rn em Rm s~ao sempre matriciais. Provaremos este fato na aula 23 onde tambem estudaremos em detalhes como obter a representa c~ao matricial de uma transforma c~ao linear.

Seja T : V → W uma transforma c~ao linear, onde V e W s~ao espa cos vetoriais, e seja v 2 V . Ent~ao onde 0V indica o vetor nulo do espa co vetorial v e 0W indica o vetor nulo do espa co vetoria W. Mostramos ent~ao que uma transforma c~ao linear T : V !

W, leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W.

Outra propriedade muito utilizada e a seguinte:

A dedu c~ao acima utiliza as duas propriedades que de nem linearidade. Observe que esta propriedade, sozinha, implica em linearidade.

Isto e, se uma transforma c~ao T satisfaz ent~ao ela e linear. Para ver isto, basta notar que fazendo c = d = 1 obtemos T(u+v) = Tu+Tv (preserva c~ao da soma de vetores) e fazendo c = 1 e d = 0, obtemos T(cu) = cT(u) (preserva c~ao do produto de vetores por escalares).

Aplicando sucessivamente o mesmo racioc nio acima, podemos mostrar que

Exemplo 4

A transforma c~ao T : V ! W dada por T(x) = 0W e linear. Esta transforma c~ao, chamada transforma c~ao nula, leva todo vetor de V no vetor nulo

Exemplo 5 Seja V um espa co vetorial qualquer, a transforma c~ao T : V ! V dada por T(u) = u e linear. Esta transforma c~ao e chamada indentidade. Se V = Rn, ent~ao a transforma c~ao linear dada pela matriz In, identidade de ordem n, e a transforma c~ao identidade de Rn.

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Álgebra Linear 1 Transforma c~oes lineares

Exemplo 6 Seja r ∈ R. Mostre que a transforma c~ao T : Rn ! Rn dada por T(x) = rx e uma transforma c~ao linear.

Solu c~ao: Sejam u;v 2 Rn e c;d escalares. Ent~ao

Portanto T e uma transforma c~ao linear.

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