Livro de Mecanica clássica em espanhol

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Veamos ahora la propiedad de ortogonalidad de la matriz de cambio.

Para ello, comenzamos por expresar los vectores de la base antigua (ej) en la nueva base,

Si sustituimos esta expresion en (A.25) resulta e′i = AjiAjke′k (A.30)

(habiendo sustituido el ındice mudo i de (A.29) por k). De esta forma se deduce inmediatamente la condicion que deben cumplir las componentes del tensor de cambio de base,

Esta propiedad, obtenida basandose en la ortonormalidad de ambas bases, caracteriza la matriz de cambio de base como matriz ortogonal:

Veamos ahora la transformacion de coordenadas de un vector, al cambiar a la nueva base:

v = viei

luego

Aptdo. A.6. Operaciones y clases especiales de tensores A.7

A.6. Operaciones y clases especiales de tensores

Dado un tensor S definimos su traspuesto, ST, como otro tensor que verifica (S · u) · v = u · (ST · v) ∀u,v ∈ V. (A.36)

Decimos que un tensor S es simetrico si ST = S, mientras que sera hemisimetrico si ST = −S. Un tensor S admite inverso si existe otro tensor S−1 tal que

El tensor A que define un cambio entre bases ortonormales, teniendo en cuenta (A.31), es un tensor ortogonal:

Un tensor ortogonal A se denomina rotacion si en el cambio de base aso- ciado a partir de un triedro a derechas (es decir, que verifica e3 = e1 ∧ e2) se obtiene otro triedro a derechas. Mas abajo (apartado A.1) veremos que una condicion equivalente es que su determinante debe valer +1.

A.7. Cambio de coordenadas de un tensor

Sea un cambio de base definido por las expresiones tensoriales e′i = A·ei

(i = 1,...3), o de forma equivalente, por las expresiones algebraicas e′i = Ajiej. Un tensor T define una aplicacion lineal en V, que expresada en unas u otras coordenadas resulta en las siguientes expresiones matriciales:

Teniendo en cuenta las relaciones de cambio de coordenadas para los vectores, (A.34, A.35):

A.8 Apendice A. RESUMEN DE ALGEBRA VECTORIAL Y TENSORIAL

A.8. Coeficientes de permutacion

Se definen a partir de los vectores de una base ortonormal (e1,e2,e3) mediante la expresion general siguiente:

Desarrollando la expresion, comprobamos que su valor es +1, −1 o 0 segun el caso:

(A.45)

Se comprueba facilmente la propiedad de hemisimetrıa para los coeficientes,

A partir de (A.4) se deduce inmediatamente que ei ∧ ej = ijkek, por lo que el producto vectorial de dos vectores cualesquiera sera u ∧ v = ijk uivjek. (A.47) Analogamente, el producto mixto de tres vectores vale

Los coeficientes hemisimetricos ijk corresponden a las coordenadas de un tensor de orden tres, aunque no entraremos en mas detalles sobre este as- pecto.

A.9. Forma cuadratica asociada a un tensor

Un tensor de orden 2 cualquiera T define una forma cuadratica asociada, V ×V → R, de forma que

Esta forma cuadratica es bilineal, es decir, lineal en cada uno de sus dos argumentos. Decimos que el tensor T es definido positivo si la forma cuadratica asociada lo es, es decir,

Analogamente, cabrıa definir los conceptos de tensor definido negativo, semidefinido negativo, semidefinido positivo e indefinido.

Aptdo. A.10. Vector axial asociado a un tensor hemisimetrico A.9

A.10. Vector axial asociado a un tensor hemisimetrico

La forma cuadratica asociada a un tensor hemisimetrico es igualmente hemisimetrica:

Particularizando esta propiedad para los vectores de la base (u = ei, v = ej), deducimos que la matriz de coordenadas es tambien hemisimetrica:

Una propiedad importante de un tensor hemisimetrico es que existe siempre un vector axial asociado, que lo hace equivalente a un producto vectorial:

Wkixiek = ijkwixjek, (A.54) e igualando estas,

por lo que Wij = wk kji. (A.56)

Asimismo, se puede invertir esta relacion para obtener

El tensor hemisimetrico asociado a un vector w lo denominaremos tambienw, o w∧. La equivalencia es por tanto

A.10 Apendice A. RESUMEN DE ALGEBRA VECTORIAL Y TENSORIAL

A.1. Traza y determinante

La traza es una operacion tensorial lineal que asocia a un tensor de orden dos un escalar. Aplicada al producto tensorial de dos vectores, cumple tr(a ⊗ b) = a · b ∀a,b ∈ V. (A.60) Por tanto, para los vectores de la base —ortonormal—, tr(ei ⊗ ej) = δij, (A.61) y aplicando esta expresion en el desarrollo de un tensor T,

Conviene recalcar que, al tratarse de una operacion tensorial intrınseca, el resultado es independiente del sistema de coordenadas en el que se calcule. Por este motivo se dice que la traza es un invariante del tensor.

El determinante de un tensor es un escalar cuyo valor coincide con el determinante de la matriz de componentes asociada en una base dada.

detT = det[T]. (A.63) En funcion de los coeficientes de permutacion puede expresarse como

Se trata igualmente de una operacion tensorial intrınseca, por lo que el resultado es el mismo independientemente de la base empleada para calcular las coordenadas. Es por tanto otro invariante del tensor. El determinante tiene las propiedades siguientes.

1. Un tensor cuyo determinante es no nulo posee siempre inverso:

2. El determinante de un producto de tensores es el producto de los determinantes, det(A · B) = det(A)det(B) (A.6)

3. El determinante del tensor identidad vale 1, y el del inverso de un tensor es el inverso del determinante,

Aptdo. A.1. Traza y determinante A.1

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