Lista 2 de álgebra

Lista 2 de álgebra

Coordenadas e vetores

Respostas

1) Encontre as coordenadas dos vertices A e B e do centro P do retangulo e dos vertices C, D, E e F do paralelepıpedo (Observamos que os lados e as arestas das figuras sao paralelos aos eixos coordenados).

2) Encontre as coordenadas dos vertices do quadrado inscrito na circunferencia de raio dois centrada na origem, cujos lados sao paralelos aos eixos coordenados X e Y . Estes vertices determinam vetores u1, u2, u3 e u4. De- termine as coordenadas de u1 + u1, u1 + u2, u1 + u3 e u1 + u4. Os extremos destes novos vetores determinam um quadrado?

vetores formam um quadrado. Vemos isto fazendo produtos escalares: os lados sao paralelos aos vetores (0,1) e (1,0) (verifique este fato). Certamente, o produto escalar destes dois vetores e zero.

3) Determine as coordenadas:

• Do ponto de intersecao das diagonais de um paralelogramo. Faca o mesmo para um paralepıpedo.

• Dos vertices de um tetraedro regular disposto no espaco do jeito que voce quiser. Faca o mesmo para um cubo.

Resposta: Veremos primeiro o caso do paralelogramo. Sejam u e v os vetores paralelos aos lados do paralelogramo. Temos que os pontos de uma diagonal sao da forma x(u+v), x ∈ [0,1] (faca uma figura para verificar). Os da outra diagonal sao v − y(v − u), y ∈ [0,1]. A intersecao portanto devera verificar

Como u e v nao sao paralelos teremos x−y = 0 e 1−x−y = 0. A solucao e x = 1/2 = y. Portanto, o ponto de intersecao e o de coordenadas (u + v)/2. Raciocine de forma analoga no caso do paralelepıpedo.

Para determinar as coordenadas dos vertices de um tetraedro determinaremos a base, deixando v. completar a construcao. Tomaremos os dois primeiros vertices no eixo X, os pontos A = (0,0,0) e B = (1,0,0). Tomaremos um terceiro vertice C no plano z = 0. Este novo vertice equidista de A e B, logo e da forma (1/2,y,0). Determinaremos y observando que as distancias de A

4) Prove que os pontos medios de dois lados de um triangulo sao ligados por um segmento entao este lado e paralelo ao terceiro lado do triangulo e tem a metade de comprimento.

Resposta: Temos que se os vertices do triangulo sao A, B e C entao os pontos medios sao

( Faca a figura. Agora a afirmacao e obvia: P e R determinam o vetor de coordenadas (C − A)/2 que e paralelo ao vetor AC. Nos outros casos o raciocınio e analogo. A afirmacao sobre o comprimento tambem segue do argumento anterior.

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