Lista 3 de álgebra , Exercícios de Engenharia de Materiais

Baixe Lista 3 de álgebra e outras Exercícios em PDF para Engenharia de Materiais, somente na Docsity! Álgebra Linear I - 2008.2 - Lista 3 Módulos. Produto escalar. Ângulos Respostas 1) Considere os vetores ū = (1, 1, 2), v̄ = (0, 1, 0), w̄ = (0, 2, 4), z̄ = (2, 1, 0). Encontre, se posśıvel, números reais λ, µ e γ tais que z̄ = λ ū + µ v̄ + γ w̄. Resposta: Os números devem verificar, λ = 2, λ + µ + 2γ = 1, 2λ + 4γ = 0. Substituindo λ pelo seu valor temos µ + 2γ = −1, 4 + 4γ = 0. Ou seja, γ = −1 e µ = 1. Verifique o resultado. 2) Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são A = (3, 2, 1), B = (3, 2, 2) e C = (3, 3, 2). Resposta: Os lados são paralelos aos vetores AB = (0, 0, 1), AC = (0, 1, 1), e BC = (0, 1, 0). Portanto é um triângulo retângulo (os lados BC e AB são perpendiculares pois AB · BC = 0. O ângulo φ entre AB e AC verifica AB · BC = 1 = |AB||BC| cos φ = √ 2 cos φ. Ou seja o ângulo e π/4. Claramente o ângulo que falta por calcular também é π/4. 3) Seja ū = (α, β, γ) um vetor unitário, onde α, β e γ são números dife- rentes de zero. Determine t de forma que os vetores v̄ = (−β t, α t, 0), w̄ = (α γ t, β γ t,−1/t) 1 e ū sejam unitários e dois a dois ortogonais. Resposta: Para que os vetores sejam ortogonais seu produto escalar deve ser nulo. Vemos diretamente que os produto escalares u · v e v ·w são sempre zero. Por outro lado, u · w = (α2 + β2)(γt) − γ/t = 0. Portanto, (α2 + β2) = 1/t2. Os quadrados dos módulos dos vetores são: α2 + β2 + γ2, t2(α2 + β2), t2γ2(α2 + β2) + 1/t2. Como t2(α2 + β2) = 1, temos γ2 + 1/t2 = 1, γ2 = 1 − 1/t2. Ou seja, as condições são α = ±1 t cos φ, β = ±1 t sin φ, γ = ± √ 1 − 1/t2. 4) Responda as seguintes questões: • Encontre, se posśıvel, dois vetores ū e v̄ do plano tais que os vetores ū + v̄ e ū − v̄ tenham o mesmo modulo. • Mostre que se os vetores ū e v̄ tem o mesmo módulo então os vetores (ū+v̄) e (ū−v̄) são ortogonais. Usando este fato, prove que as diagonais de um losango são perpendiculares. Resposta: Para o primeiro item observe que os quadrados dos módulos dos vetores também devem ser iguais. Isto é ||u + v||2 = (u + v) · (u + v) = u · u + 2u · v + v · v = ||u − v||2 = (u − v) · (u − v) = u · u − 2u · v + v · v. Simplificando, u · v = −u · v, 2u · v = 0. 2