Algebra Linear Apostila Turma Estatística CM005 UFPR

Algebra Linear Apostila Turma Estatística CM005 UFPR

(Parte 1 de 7)

Turma: Estatıstica notas de aula

Alexandre Faria 2osem./2006

0.1 Mini-prefacio3

Sumario

1.1 Equacoes lineares4
1.2 Sistemas de equacoes lineares5
1.2.1 Expressao matricial de um sistema linear7
1.2.2 Escalonamento de matrizes8
1.2.3 Discutindo as solucoes de um sistema linear10
1.3 Exercıcios12

1 Sistemas Lineares e Matrizes 4

2.1 Das solucoes de um sistema linear homogeneo a ideia de subespaco vetorial15
2.2 Estruturas algebricas: uma ideia geral16
2.2.1 Grupos17
2.2.2 Aneis19
2.2.3 Espacos Vetoriais21
2.3 Retornando aos sistemas lineares23
2.3.1 Da ideia de combinacao linear a ideia de conjunto gerador e base23
2.3.2 Geradores e base: dependencia e independencia linear24
2.4 Mudanca de base32
2.5 Exercıcios39

2 Das solucoes de um sistema linear a ideia de espaco vetorial 14

3.1 Introducao43
3.2 Exemplos de transformacoes lineares4
3.2.1 Propriedades das transformacoes lineares48
3.2.2 O nucleo e a imagem de uma transformacao linear: subespacos vetoriais49
3.3 Matrizes de transformacoes lineares50
3.3.1 Transformacoes lineares e mudanca de base53
3.3.2 Diagonalizacao de operadores lineares56
3.3.3 Diagonalizacao61
3.4 Exercıcios65

3 Transformacoes Lineares 43 A Fatoracao e raızes de um polinomios 67

B Calculo do determinante de uma matriz 69 C Exercıcios resolvidos 3.4.2 71

Este material e apenas um referencial pessoal do professor compartilhado com os alunos, nao devendo se constituir como unica fonte de estudo. Solicito fortemente aos alunos que recorram preferencialmente aos livros indicados na bibliografia. Igualmente agradeco qualquer correcao que os leitores puderem apontar, assim como as crıticas, que sao absolutamente bem vindas, senao necessarias.

Capıtulo 1 Sistemas Lineares e Matrizes

1.1 Equacoes lineares

Sejam a e b constantes arbitrarias pertencentes ao conjunto dos numeros reais R, com a 6= 0 .

A equacao ax + b = 0 e linear e sua solucao e x = −ba ∈ R. Geometricamente, R pode ser interpretado como a reta real e a solucao da equacao como sendo um ponto da reta.

Observacao 1.1.1 A expressao x = −ba pode ter significados diferentes dependendo dos valores que tomamos para a e b, assim:

a. Se a 6= 0 entao a equacao tem solucao unica; b. Se a = 0 e b = 0 entao a expressao fica 0x = 0, logo a equacao tem infinitas solucoes, qualquer valor de x torna a igualdade verdadeira; c. Se a = 0 e b 6= 0 entao a equacao fica 0x = b, e como nao existe nenhum numero real que multiplicado por zero seja diferente de zero, entao neste caso nao existe solucao para equacao.

Sejam a, b e c constantes arbitrarias pertencentes ao conjunto dos numeros reais R, com a 6= 0 e b 6= 0. A equacao em duas incognitas ax + by + c = 0 e linear e seu conjunto solucao e formados por pares ordenados (x,y) tais que x,y ∈ R. Geometricamente, (x,y) ∈ R2, plano real, e o conjunto solucao da equacao e dado por uma reta no plano.

Sejam a, b, c e d constantes arbitrarias pertencentes ao conjunto dos numeros reais R, com a 6= 0, b 6= 0 e c 6= 0. A equacao em tres incognitas ax + by + cz + d = 0 e linear e seu conjunto solucao e formados por ternos ordenados (x,y,z) tais que x,y,z ∈ R. Geometricamente, (x,y,z) ∈ R3, espaco real, e o conjunto solucao da equacao e dado por um plano no espaco.

1.2 Sistemas de equacoes lineares

Uma equacao linear pode ser pensada como um sistema que contem apenas uma equacao:{ ax+b = 0

, ou ainda, { ax+by = c

, mas isso nos levaria aos casos anteriores. Da mesma forma o sistema com duas equacoes a seguir{ ax+b = 0

, nos levaria a equacao ax + by + (c + d) = 0, ja interpretada anteriormente.

Por outro lado, um sistema de equacoes lineares de duas equacoes com duas incognitas{ ax+by = c tem uma nova interpretacao e resolver esse sistema significa achar os pares ordenados (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas equacoes do sistema. Geometricamente, o sistema apresenta duas equacoes que podem ser representadas por duas retas pertecentes ao plano real, e a resolucao do sistema apresenta tres casos, segundo a interseccao dessas retas. Considerando as solucoes gerais do sistema, obtidas pelos metodos de resolucao da “adicao”ou da “substituicao”. No primeiro, multiplicamos convenientemente as duas equacoes de modo que ao soma-las uma das incognitas “desapareca”, isolamos a outra incognita num dos membros da equacao resultante e substituimos esse valor numa das equacoes do sistema original, ou seja:

Desse ultimo sistema obtenho

ae − db que, substituindo em uma das equacoes originais, fornece

ae − db .

No segundo metodo, da “substituicao”, isolamos uma das incognitas em uma das equacoes e substituımos seu valor na outra equacao, a qual se torna uma equacao linear de uma variavel, que ja sabemos resolver, e cuja solucao, substituıda em qualquer uma das duas equacoes, fornece o valor da outra icognita restante, assim:

Substituindo esse valor na outra equacao:

ax+ bf − bdx

ea − bd que substituindo em uma das equacoes originais fornece

ae − bd .

De qualquer forma chegamos aos seguintes resultados:

Na aplicacao desses metodos sao permitidas tres operacoes elementares sobre as equacoes do sistema, tais que as solucoes do sistema permanecam inalteradas, sao elas:

a. Multiplicacao de uma equacao por um numero real diferente de zero; b. Substituir uma das equacoes pela soma dela propria pela outra multiplicada por um numero real diferente de zero; c. Trocar as equacoes de lugar.

A expressao (ae−bd) e denotada pelo determinante ∆ = det

f e

Sendo assim,de modo analogo a observacao 1.1.1 para o quociente que e a solucao da equacao linear com uma incognita, podemos concluir, analisando as expressoes (1) e (2), que:

a. Se ∆ 6= 0 o sistema tem uma unica solucao. Geometricamente, a solucao do sistema e caracterizada pelo fato das retas que representam as equacoes serem concorrentes, logo tem um ponto de interseccao.

b. Se ∆ = 0 e ∆x = 0 e ∆y = 0 entao o sistema tem infinitas solucoes. Geometricamente, isso e interpretado pelo fato que as retas que representam as equacoes do sistema sao coincidentes, logo possuem infinitos pontos de interseccao.

c. Se ∆ = 0 e um dos dois, ∆x ou ∆y, for igual a zero, entao o sistema nao tem solucao. Geometricamente, esse fato e interpretado pelo paralelismo entre as duas retas que representam as equacoes do sistema.

1.2.1 Expressao matricial de um sistema linear

O sistema dx+ey = f pode ser escrito na seguinte forma atraves de uma equacao matricial

onde o sinal “·”denota a multiplicacao entre matrizes.

As operacoes realizadas sobre as equacoes do sistema na aplicacao dos metodos de resolucao do sistema nao alteram as solucoes do sistema, portanto podemos relacionar dois estagios da resolucao de um sistema linear da seguinte forma, atraves de uma relacao de equivalencia entre sistemas:{ ax+by = c

y = af−cd ae−bd x + bay = c a y = af−cd ae−bd

Restituindo este ultimo sistema a equacao matricial associada temos:[ 1 0

[ ce−bf

ae−bdaf−cd ae−bd

De onde resolvendo o produto expresso no primeiro membro desta equacao temos:[ x

[ ce−bf

ae−bdaf−cd ae−bd

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