Elementos Básicos de Estatística

Elementos Básicos de Estatística

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Assim, podemos escrever:

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

É interessante considerar a representação decimal de um número racional, que se obtém dividindo a por b.

15750,51,25 3,75
1670,30,857142857142... 1,1666...

Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional. Conjunto dos números irracionais

Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:

Um número irracional bastante conhecido é o número π=3,1415926535

Conjunto dos números reais (R)

Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como:

O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de R temos: R* = R-{0}

R+ = conjunto dos números reais não negativos R_ = conjunto dos números reais não positivos

Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:

R=Q ∪ {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}

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1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,9 ; 1,99 ; 1,99

Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

• Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,9 ; 5,99 ; 5,99 ...

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O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. O uso de funções pode ser encontrado em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço. Outro exemplo seria o preço a ser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida.

Observe, por exemplo, o diagrama das relações abaixo:

A relação acima não é uma função, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que não está associado a nenhum elemento do conjunto B.

A relação acima também não é uma função, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está associado a mais de um elemento do conjunto B.

Agora preste atenção no próximo exemplo:

A relação acima é uma função, pois todo elemento do conjunto A, está associado a somente um elemento do conjunto B.

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De um modo geral, dados dois conjuntos A e B, e uma relação entre eles, dizemos que essa relação

é uma função de A em B se e somente se, para todo x A existe um único y B de modo que x se relacione com y.

O domínio de uma função é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D = A. Se um elemento

x A estiver associado a um elemento y B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”).

Exemplo: se f é uma função de N em N (isto significa que o domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y=x+2. Então temos que: • A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1)=1+2=3;

• A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2)=2+2=4;

De modo geral, a imagem de x através de f é x+2, ou seja: f(x)=x+2. Numa função f de A em B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f.

Com base nos diagramas acima, concluímos que existem 2 condições para uma relação f seja uma função: 1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A é ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento de A do qual não parta flecha, a relação não é função. 2ª) De cada elemento de A deve partir uma única flecha. Se de um elemento de A partir mais de uma flecha, a relação não é função.

Observações: • Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis.

• A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x.

• Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y=f(x).

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1. Considere a função f: A Æ B representada pelo diagrama a seguir:

Determine: a) o domínio (D) de f; b) f(1), f(-3), f(3) e f(2); c) o conjunto imagem (Im) de f; d) a lei de associção

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Resolução: a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A. b) f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4. c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto: Im = {1,4,9}. d) Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 2=4, temos y=x2.

2. Dada a função f: R Æ R (ou seja, o domínio e o contradomínio são os números reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule: a) f(2), f(3) e f(0); b) o valor de x cuja imagem vale 2.

Resolução: a) f(2)= 2-5(2)+6 = 4-10+6 = 0 f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0 f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6 b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja, x2 - 5x + 6 = 2. Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4.

O domínio é o subconjunto de R no quais todas as operações indicadas em y=f(x) são possíveis. Vamos ver alguns exemplos:

3) x2f(x)3x −=−, vamos analisar primeiro o numerador: como x2− está dentro da raiz, então devemos ter x20−≥, ou seja, x2≥ (condição 1). Agora vamos analisar o denominador: como 3x− está dentro da raiz, devemos ter 3x0−≥, mas além disso ele também está no denominador, portanto devemos ter 3x0−≠. Juntando as duas condições devemos ter: 3x0−>, ou seja, x3< (condição 2). Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 2 temos:

Devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo. Portanto, D={x IR | 2 x < 3}.

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Para construir o gráfico de uma função f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes valores da variável y. Por exemplo, vamos construir o gráfico da função definida por y=x/2. Escolhemos alguns valores para o domínio. Por exemplo D={2,4,6,8}, e agora calculamos os respectivos valores de y. Assim temos:

x=2 y=2/2 = 1 Então montamos a seguinte tabela: x=4 y=4/2 = 2 x y x=6 y=6/2 = 3 2 1 x=8 y=8/2 = 4 4 2 6 3 8 4

Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano:

O gráfico da função será uma reta que passará pelos quatro pontos encontrados. Basta traçar a reta, e o gráfico estará construído. Obs: para desenhar o gráfico de uma reta são necessários apenas dois pontos. No exemplo acima escolhemos 4 pontos, mas bastaria escolher dois elementos do domínio, encontrar suas imagens, e logo após traçar a reta que passa por esses 2 pontos.

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Dada uma função y=f(x), os valores, os valores de x para os quais f(x)=0 são chamados raízes de uma função. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. Observe o gráfico abaixo:

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