Elementos Básicos de Estatística

Elementos Básicos de Estatística

(Parte 3 de 9)

No gráfico acima temos: f(x1)=0, f(x2)=0 e f(x3)=0. Portanto x1, x2 e x3 são raízes da função.

Essas são algumas propriedades que caracterizam uma função f:A B:

1. Função sobrejetora: Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, isto é, se Im=B. Em outras palavras, não pode sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas.

2. Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto não pode haver nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas. Por exemplo, a função f:IR IR definida por f(x)=3x é injetora pois se x1 x2 então 3x1 3x2, portanto f(x1) f(x2).

3. Função Bijetora: Uma função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a função f: IR IR definida por y=3x é injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela também é sobrejetora, pois Im=B=IR. Logo, esta função é bijetora.

Já a função f: IN IN definida por y=x+5 não é sobrejetora, pois Im={5,6,7,8,...} e o contradomínio CD=IN, mas é injetora, já que valores diferentes de x têm imagens distintas. Então essa função não é bijetora.

Observe os diagramas abaixo:

• Essa função é sobrejetora, pois não sobra elemento em B • Essa função não é injetora, pois existem dois elementos com mesma imagem

• Essa função não é bijetora, pois não é injetora

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

• Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez. • Essa função não é sobrejetora, pois existem elementos sobrando em B

• Essa função não é bijetora, pois não é sobrejetora

• Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez. • Essa função é sobrejetora, pois não existem elementos sobrando em B

• A função é bijetora, pois é injetora e sobrejetora

Dada uma função f: AÆB, dizemos que f é par se, e somente se, f(x)=f(-x) para todo x A. Ou seja: os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função par:

Por exemplo, a função f: R Æ IR definida por f(x)=x2 é uma função par, pois f(x)=x2=(-x)2=f(-x). Podemos notar a paridade dessa função observando o seu gráfico:

Notamos, no gráfico, que existe uma simetria em relação ao eixo vertical. Elementos simétricos têm a mesma imagem. Os elementos 2 e –2, por exemplo, são simétricos e possuem a imagem 4.

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Por outro lado, dada uma função f: AÆB, dizemos que f é ímpar se, e somente se, f(-x)=-f(x) para todo x A. Ou seja: valores simétricos possuem imagens simétricas. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função ímpar:

Por exemplo, a função f: RÆR definida por f(x)=x3 é uma função ímpar, pois f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x). Podemos notar que a função é ímpar observando o seu gráfico:

Notamos, no gráfico, que existe uma simetria em relação a origem 0. Elementos simétricos têm imagens simétricas. Os elementos 1 e –1, por exemplo, são simétricos e possuem imagens 1 e –1 (que também são simétricas).

Obs: Uma função que não é par nem ímpar é chamada função sem paridade. EXERCÍCIO RESOLVIDO:

1. Classifique as funções abaixo em pares, ímpares ou sem paridade: 1. f(x)=2x f(-x)= 2(-x) = -2x Æ f(-x) = -f(x), portanto f é ímpar.

b) f(x)=x2-1 f(-x)= (-x)2-1 = x2-1 Æ f(x)=f(-x), portanto f é par.

c) f(x)=x2-5x+6 f(-x)= (-x)2-5(-x)+6 = x2+5x+6 Como f(x) ≠f(-x), então f não é par. Temos também que –f(x) ≠ f(-x), logo f não é ímpar. Por não ser par nem ímpar, concluímos que f é função sem paridade.

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Dada uma função f: AÆB, dizemos que f é crescente em algum conjunto A’ ⊂ A, se, e somente se, para quaisquer x1 ∈ A’ e x2 ∈ A’, com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2). Por exemplo, a função f: RÆIR definida por f(x)=x+1 é crescente em R, pois x1<x2 => x1+1<x2+1 => f(x1)<f(x2). Ou seja: quando os valores do domínio crescem, suas imagens também crescem.

Por outro lado, dada uma função f: AÆB, dizemos que f é decrescente em algum conjunto

A’ ⊂ A, se, e somente se, para quaisquer x1 A’ e x2 A’, com x1<x2, tivermos f(x1)>f(x2). Por exemplo, a função f: R Æ R definida por f(x)= -x+1 é decrescente em R, pois x1<x2 => -x1>-x2

=> -x1+1>-x2+1 => f(x1)>f(x2). Ou seja: quando os valores do domínio crescem, suas correspondentes imagens decrescem.

Esse é um exemplo de função crescente. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens também vão aumentando.

Esse é um exemplo de função decrescente. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens vão diminuindo.

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Vamos analisar um exemplo para entender o que é uma função composta.

Consideremos os conjuntos A={-2,-1,0,1,2}, B={-2,1,4,7,10} e C={3,0,15,48,9}, e as funções f:AÆB definida por f(x)=3x+4, e g:BÆC definida por g(y)=y2-1.

Como nos mostra o diagrama acima, para todo x ∈ A temos um único y ∈ B tal que y=3x+4, e para todo y ∈ B existe um único z ∈ C tal que z=y2-1, então concluímos que existe uma função h de A em C, definida por h(x)=z ou h(x)=9x2+24x+15, pois: h(x)=z Æ h(x)= y2-1 E sendo y=3x+4, então h(x)=(3x+4)2-1 Æ h(x)= 9x2+24x+15. A função h(x) é chamada função composta de g com f. Podemos indicá-la por gof (lemos “g composta com f”) ou g[f(x)] (lemos “g de f de x”). Vamos ver alguns exercícios para entender melhor a idéia de função composta.

1. Dadas as funções f(x)=x2-1 e g(x)=2x, calcule f[g(x)] e g[f(x)]. Resolução: f[g(x)] = f(2x) = (2x)2-1 = 4x2-1 g[f(x)] = g(x2-1) = 2(x2-1) = 2x2-2

2. Dadas as funções f(x)=5x e f[g(x)]=3x+2, calcule g(x). Resolução: Como f(x)=5x, então f[g(x)]= 5.g(x). Porém, f[g(x)]=3x+2; logo 5.g(x)=3x+2, e daí g(x)=(3x+2)/5

3. Dadas as funções f(x)=x2+1 e g(x)=3x-4, determine f[g(3)]. Resolução: g(3)=3.3-4=5 f[g(3)]= f(5)= 52+1 = 25+1= 26.

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Consideremos os conjuntos A={0,2,4,6,8} e B={1,3,5,7,9} e a função f:A B definida por y=x+1. A função f está representada no diagrama abaixo:

A função f é uma função bijetora. A cada elemento x de A está associado um único elemento y de B, de modo que y=x+1. Porém, como f é bijetora, a cada elemento y de B está associado um único elemento x de A, de modo que x=y-1; portanto temos uma outra função g:B A, de modo que x=y-1 ou g(y)=y-1. Essa função está representada no diagrama abaixo:

Pelo que acabamos de ver, a função f leva x até y enquanto a função g leva y até x. A função g:BÆA recebe o nome de função inversa de f e é indicada por f-1. O domínio de f é o conjunto imagem de g, e o conjunto imagem de f é o domínio de g. Quando queremos, a partir da sentença y=f(x), obter a sentença de f-1(x), devemos dar os seguintes passos: 1º) Isolamos x na sentença y=f(x) 2º) Pelo fato de ser usual a letra x como símbolo da variável independente, trocamos x por y e y por x.

Por exemplo, para obter a função inversa de f:IR IR definida por y=2x+1, devemos: 1º) isolar x em y=2x+1. Assim y=2x+1 y-1=2x x=(y-1)/2 2º) trocar x por y e y por x: y=(x-1)/2.

Portanto a função inversa de f é: f-1(x)=(x-1)/2.

Observação: Para que uma função f admita a inversa f-1 é necessário que ela seja bijetora. Se f não for bijetora, ela não possuirá inversa.

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

Resolução: Sabemos que x1yx2 −=+ e devemos isolar x nessa igualdade, então: x1yx2

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Função de 1º grau

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