Baixe Elementos Básicos Estatística I - Apostilas - Estatística Parte1 e outras Notas de estudo em PDF para Estatística, somente na Docsity! CE-065 Elementos Básicos de Estatística Notas de Aulas Curitiba – PR 07.03.2006 Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 3 Estas notas seguem de muito perto a bibliografia referenciada abaixo e que correspondem aos livros texto deste Curso, sugere-se a sua aquisição. As notas abordam o assunto relacionado com a disciplina, Elementos Básicos de Estatística, lecionado no curso de Estatística, da Universidade Federal do Paraná. Boulos, P. – Pré-cálculo, Makron Books do Brasil Editora Ltda, 4a. ed., 1999. Fernandez, P. J. – Introdução à Teoria das Probabilidades, Ed. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1973. Flemming, D. M., Gonçalves, M. B. – Cálculo A: Funções, Limites e Integração, 5a. ed., Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1992. Hoel, Port and Stone - Introdução à Teoria da Probabilidade, Ed. Interciência, 1975. Lipschutz, S., - Probabilidade, Col. Schaum , Makron Books do Brasil Editora Ltda., 4a. ed., 1972. Meyer, P.L. - Probabilidade, Aplicações à Estatística, Ed. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1973. Spiegel, Murray Ralph., (1977) Probabilidade e Estatística, São Paulo: McGraw-Hill do Brasil Thomas, G. B., Finney, Weir and Giordano – Cálculo, Pearson Addison Wesley, v.1, 2002. Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 6 TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos : pertence : existe : não pertence : não existe : está contido : para todo (ou qualquer que seja) : não está contido : conjunto vazio : contém N: conjunto dos números naturais : não contém Z : conjunto dos números inteiros / : tal que Q: conjunto dos números racionais : implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais : se, e somente se R: conjunto dos números reais Símbolos das operações : A intersecção B : A união B A - b: diferença de A com B a < b: a menor que b : a menor ou igual a b a > b: a maior que b : a maior ou igual a b : a e b : a ou b Conceitos de conjuntos Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou . Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. Observações: • Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; • O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 7 União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja: Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja: Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n subconjuntos de A. Conjuntos Numéricos Conjunto dos números naturais (N) Um subconjunto importante de N é o conjunto N*: N*={1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi excluído do conjunto N. N={0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 8 Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o gráfico abaixo: Conjunto dos números inteiros (Z) O conjunto N é subconjunto de Z. Temos também outros subconjuntos de Z: Z* = Z-{0} Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...} Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...} Observe que Z+=N. Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaixo: Conjunto dos números racionais (Q) Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador ∈ Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. Exemplos: 3 6 9a) 3 1 2 3 1 2 3b) 1 1 2 3 − − − − = = = = = = Assim, podemos escrever: Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} racionais. números são exemplo,por , 2 3 ,1 , 5 3 ,1 , 4 52 :Então −−, - }0 e , com , |{ ≠∈∈== bZbZa b axxQ Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 11 FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. O uso de funções pode ser encontrado em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço. Outro exemplo seria o preço a ser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida. Observe, por exemplo, o diagrama das relações abaixo: A relação acima não é uma função, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que não está associado a nenhum elemento do conjunto B. A relação acima também não é uma função, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está associado a mais de um elemento do conjunto B. Agora preste atenção no próximo exemplo: A relação acima é uma função, pois todo elemento do conjunto A, está associado a somente um elemento do conjunto B. Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 12 De um modo geral, dados dois conjuntos A e B, e uma relação entre eles, dizemos que essa relação é uma função de A em B se e somente se, para todo x A existe um único y B de modo que x se relacione com y. DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO: O domínio de uma função é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D = A. Se um elemento x A estiver associado a um elemento y B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”). Exemplo: se f é uma função de N em N (isto significa que o domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y=x+2. Então temos que: • A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1)=1+2=3; • A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2)=2+2=4; De modo geral, a imagem de x através de f é x+2, ou seja: f(x)=x+2. Numa função f de A em B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f. Com base nos diagramas acima, concluímos que existem 2 condições para uma relação f seja uma função: 1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A é ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento de A do qual não parta flecha, a relação não é função. 2ª) De cada elemento de A deve partir uma única flecha. Se de um elemento de A partir mais de uma flecha, a relação não é função. Observações: • Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis. • A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x. • Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y=f(x). EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1. Considere a função f: A B representada pelo diagrama a seguir: Determine: a) o domínio (D) de f; b) f(1), f(-3), f(3) e f(2); c) o conjunto imagem (Im) de f; d) a lei de associção Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 13 Resolução: a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A. b) f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4. c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto: Im = {1,4,9}. d) Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2. 2. Dada a função f: R R (ou seja, o domínio e o contradomínio são os números reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule: a) f(2), f(3) e f(0); b) o valor de x cuja imagem vale 2. Resolução: a) f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0 f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0 f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6 b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja, x2 - 5x + 6 = 2. Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4. OBTENÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO: O domínio é o subconjunto de R no quais todas as operações indicadas em y=f(x) são possíveis. Vamos ver alguns exemplos: 1) ( )f x 2x 4= + , como 2x 4− só é possível em R se 2x 4 0− ≥ , ou seja, x 2≥ , então, { }D x R / x 2= ∈ ≥ . 2) ( ) 5f x x 1 = + , como x 1+ é denominador, ele não poderá ser nulo (pois não existe divisão por zero), portanto x 1 0+ ≠ , ou seja, x 1≠ − , então, { }D x R / x 1= ∈ ≠ − . 3) x 2f (x) 3 x − = − , vamos analisar primeiro o numerador: como x 2− está dentro da raiz, então devemos ter x 2 0− ≥ , ou seja, x 2≥ (condição 1). Agora vamos analisar o denominador: como 3 x− está dentro da raiz, devemos ter 3 x 0− ≥ , mas além disso ele também está no denominador, portanto devemos ter 3 x 0− ≠ . Juntando as duas condições devemos ter: 3 x 0− > , ou seja, x 3< (condição 2). Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 2 temos: Devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo. Portanto, D={x IR | 2 x < 3}. 3 x 0− ≥ Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 16 • Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez. • Essa função não é sobrejetora, pois existem elementos sobrando em B • Essa função não é bijetora, pois não é sobrejetora • Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez. • Essa função é sobrejetora, pois não existem elementos sobrando em B • A função é bijetora, pois é injetora e sobrejetora FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR Dada uma função f: A B, dizemos que f é par se, e somente se, f(x)=f(-x) para todo x A. Ou seja: os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função par: Por exemplo, a função f: R IR definida por f(x)=x2 é uma função par, pois f(x)=x2=(-x)2=f(-x). Podemos notar a paridade dessa função observando o seu gráfico: Notamos, no gráfico, que existe uma simetria em relação ao eixo vertical. Elementos simétricos têm a mesma imagem. Os elementos 2 e –2, por exemplo, são simétricos e possuem a imagem 4. Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 17 Por outro lado, dada uma função f: A B, dizemos que f é ímpar se, e somente se, f(-x)=-f(x) para todo x A. Ou seja: valores simétricos possuem imagens simétricas. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função ímpar: Por exemplo, a função f: R R definida por f(x)=x3 é uma função ímpar, pois f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x). Podemos notar que a função é ímpar observando o seu gráfico: Notamos, no gráfico, que existe uma simetria em relação a origem 0. Elementos simétricos têm imagens simétricas. Os elementos 1 e –1, por exemplo, são simétricos e possuem imagens 1 e –1 (que também são simétricas). Obs: Uma função que não é par nem ímpar é chamada função sem paridade. EXERCÍCIO RESOLVIDO: 1. Classifique as funções abaixo em pares, ímpares ou sem paridade: 1. f(x)=2x f(-x)= 2(-x) = -2x f(-x) = -f(x), portanto f é ímpar. b) f(x)=x2-1 f(-x)= (-x)2-1 = x2-1 f(x)=f(-x), portanto f é par. c) f(x)=x2-5x+6 f(-x)= (-x)2-5(-x)+6 = x2+5x+6 Como f(x) ≠ f(-x), então f não é par. Temos também que –f(x) ≠ f(-x), logo f não é ímpar. Por não ser par nem ímpar, concluímos que f é função sem paridade. Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 18 FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE Dada uma função f: A B, dizemos que f é crescente em algum conjunto A’ ⊂ A, se, e somente se, para quaisquer x1 ∈ A’ e x2 ∈ A’, com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2). Por exemplo, a função f: R IR definida por f(x)=x+1 é crescente em R, pois x1<x2 => x1+1<x2+1 => f(x1)<f(x2). Ou seja: quando os valores do domínio crescem, suas imagens também crescem. Por outro lado, dada uma função f: A B, dizemos que f é decrescente em algum conjunto A’ ⊂ A, se, e somente se, para quaisquer x1 A’ e x2 A’, com x1<x2, tivermos f(x1)>f(x2). Por exemplo, a função f: R R definida por f(x)= -x+1 é decrescente em R, pois x1<x2 => -x1>-x2 => -x1+1>-x2+1 => f(x1)>f(x2). Ou seja: quando os valores do domínio crescem, suas correspondentes imagens decrescem. Esse é um exemplo de função crescente. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens também vão aumentando. Esse é um exemplo de função decrescente. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens vão diminuindo. Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 21 EXERCÍCIO RESOLVIDO: Dada a função x 1f (x) x 2 − = + , (x 2)≠ − , calcule 1f ( 1)− − . Resolução: Sabemos que x 1y x 2 − = + e devemos isolar x nessa igualdade, então: x 1y x 2 − = + ⇒ (x 2).y x 1+ = − ⇒ x.y 2.y x 1+ = − ⇒ x.y x 1 2y− = − − ⇒ x(y 1) (1 2y)− = − + ⇒ (1 2y)x (1 y) + = − . Trocando x por y e y por x, obtemos: 1 2xy 1 x + = − ,ou seja 1 1 2xf (x) 1 x − += − , e o valor de 1f ( 1)− − é: 1 1 2( 1) 1 2 1f ( 1) 1 ( 1) 1 1 2 − + − −− = = = − − − + . Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 22 Função de 1º grau Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é . Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. x y 0 -1 0 Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. Função de 1º grau Zero e Equação do 1º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0. Temos: f(x) = 0 ax + b = 0 Vejamos alguns exemplos: Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 23 1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: 2. f(x) = 0 2x - 5 = 0 3. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: 4. g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2 5. 6. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas: 7. O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: 8. h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5 Crescimento e decrescimento Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -10 -7 -4 -1 2 5 8 Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico: Regra geral: a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); Justificativa: • para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). • para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). Função de 1º grau Sinal Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 26 Temos: Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber: • quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; • quando é zero, há só uma raiz real; • quando é negativo, não há raiz real. Função Quadrática Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos: Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 27 Imagem O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: 1ª - quando a > 0, a > 0 2ª quando a < 0, a < 0 Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 28 Função Quadrática Construção da Parábola É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: 1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; 3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); 4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; 5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y. Sinal Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: 1º - > 0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 31 quando a > 0 quando a < 0 Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 32 Vetores Reta Orientada - Eixo Uma reta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta. Segmento orientado Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. Segmento Nulo Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. Segmentos Opostos Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB. Medida de um Segmento Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por . Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de comprimento: = 5 u.c. Observações a. Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero b. = . Direção e Sentido Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas: Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 33 ou coincidentes Observações a. Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. b. Dois Segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. Segmentos Equipolentes Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta. Na segunda figura abaixo, para que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo. Observações a. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. b. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD. Propriedades da Equipolência I. AB ~ AB (reflexiva). Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 36 Dois vetores e quaisquer são são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de e pertencendo a um plano p que passa por este ponto. Três vetores poderão ou não ser coplanares. , e são coplanares , e não são coplanares Soma de vetores Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por: v + w = (a+c,b+d) Propriedades da soma de vetores I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de R2: v + w = w + v II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R2: u + (v + w) = (u + v) + w III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R2 tal que para todo vetor u de R2, se tem: O + u = u IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2, existe um vetor -v em R2 tal que: Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 37 v + (-v) = O Diferença de vetores Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por: v - w = (a-c,b-d) Produto de um escalar por um vetor Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como: c.v = (ca,cb) Propriedades do produto de escalar por vetor Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores: • 1 v = v • (k c) v = k (c v) = c (k v) • k v = c v implica k = c, se v for não nulo • k (v+w) = k v + k w • (k + c)v = k v + c v Módulo de um vetor O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por: Vetor unitário Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1. Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R2, que são dados por: i = (1,0) j = (0,1) Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é: Observação: Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos. Se c = 0 então u será o vetor nulo. Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v. Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v. Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v. Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 38 Produto escalar Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por: u.v = a.c + b.d Exemplos: O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é: u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19 Propriedades do produto escalar Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar: v.w = w.v v.v = |v| |v| = |v|2 u.(v+w) = u.v + u.w (kv).w = v.(kw) = k(v.w) |kv| = |k| |v| |u.v| <= |u| |v| (desigualdade de Schwarz) |u+v| <= |u| + |v| (desigualdade triangular) Obs: <= significa menor ou igual Ângulo entre dois vetores O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: u.v = |u| |v| cos(x) onde x é o ângulo formado entre u e v. Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como: desde que nenhum deles seja nulo. Vetores ortogonais Dois vetores u e v são ortogonais se: u.v = 0 Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 41 5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética. 6) Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é: 7) Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-86,-82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é: 8) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n. 3 2 23 112 112 2)1()1(3 :P.A. umaser Para 1223 =→=→+=+ −=− −+=+− −=− xxxx xx xxxx aaaa .4 pois 5,k Logo 4 372 372 )3()6()( 15 111 11 111 raa raaarraa arara ararara kk k k +== +=→=−+− ++=+ ++=+++ 47 4 188 44184 449094 4).1(9094 ).1( : termosde número oencontrar Basta zero) quemaior ser deve a (pois 94 90 4 :dados seguintes os obtemos enunciado, Pelo 1 n 1 =→=→=+ −=+ −+−= −+=      = −= = nnn n n rnaa Sa a r n n 11 11 12 2 231 2 5291 2 132.1.411 0132 2 )22(132 2 ).( : temossoma da fórmula na doSubstituin 2 222 2).1(2 ).1( 132 ; 2 ; 2 21 1 1 =⇒    = −= = ±− = ±− = +±− = =−+→ + =→ + = =→−+=→−+=→−+= === n n n n nnnnnaaS nananarnaa Sar n n nnnn n Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 42 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão. Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2. Cálculos do termo geral Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira: a1 a2 a3 ... a20 ... an ... a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1 ... Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica. an = a1 x qn-1 Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então: an = 2 x (1/2)n-1 Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos: a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8 A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí. Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa. Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: Sn . q = Sn - a1 + an . q Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma: Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja: Universidade Federal do Paraná Jorge Festa 43 Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos: Observe que neste caso a1 = 1. 5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos: Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem: Dessa equação encontramos como resposta x = 50.