Elementos Básicos de Estatística

Elementos Básicos de Estatística

(Parte 5 de 9)

O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: 1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a < 0, a < 0

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

Função Quadrática

Construção da Parábola

É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: 1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;

3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); 4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; 5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y. Sinal

Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.

Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º - > 0

Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

quando a > 0

y > 0 (x < x1 ou x > x2) y < 0 x1 < x < x2

quando a < 0

y < 0 (x < x1 ou x > x2) Função Quadrática

2º - = 0

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

quando a > 0

quando a < 0

Função Quadrática 2º - < 0

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

quando a > 0 quando a < 0

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

Vetores

Reta Orientada - Eixo

Uma reta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.

Segmento orientado

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade.

Segmento Nulo Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.

Segmentos Opostos Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB.

Medida de um Segmento

Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento

orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por .

Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de comprimento:

= 5 u.c.

Observações a. Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero

b. =

Direção e Sentido

Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas:

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

ou coincidentes

Observações a. Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. b. Dois Segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.

Segmentos Equipolentes

Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta. Na segunda figura abaixo, para que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo.

Observações a. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. b. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD.

Propriedades da Equipolência I. AB ~ AB (reflexiva).

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

I. Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica). I. Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva). IV. Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD.

Vetor

(Parte 5 de 9)

Comentários