Elementos Básicos de Estatística

Elementos Básicos de Estatística

(Parte 6 de 9)

Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

= {XY/XY ~ AB} onde XY é um segmento qualquer do conjunto.

O vetor determinado por AB é indicado por ou B - A ou .

um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.

As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

O módulo de se indica por || .

Vetores iguais Dois vetores e são iguais se, e somente se, AB ~ CD.

Vetor Nulo Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor

nulo ou vetor zero, e que é indicado por .

Dado um vetor = , o vetor é o oposto de e se indica por ou por

Vetores Opostos

Vetor Unitário Um vetor é unitário se || = 1.

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

Versor

Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de . Por exemplo, tomemos um vetor de módulo 3.

Os vetores e da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas tem a mesma direção e o mesmo sentido de . Portanto, este é o versor de .

Vetores Colineares

Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: e são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.

Vetores Coplanares

Se os vetores não nulos , e (não importa o número de vetores) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano , diz-se que eles são coplanares.

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Dois vetores equaisquer são são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto

no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de e pertencendo a um plano p que passa por este ponto. Três vetores poderão ou não ser coplanares.

, e são coplanares

, e não são coplanares

Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por: v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da soma de vetores

I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de R2: v + w = w + v I) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R2: u + (v + w) = (u + v) + w I) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R2 tal que para todo vetor u de R2, se tem: O + u = u IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2, existe um vetor -v em R2 tal que:

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa v + (-v) = O

Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por: v - w = (a-c,b-d)

Produto de um escalar por um vetor Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como: c.v = (ca,cb)

Propriedades do produto de escalar por vetor Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:

• 1 v = v • (k c) v = k (c v) = c (k v)

• k v = c v implica k = c, se v for não nulo

• k (v+w) = k v + k w

• (k + c)v = k v + c v

Módulo de um vetor O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

Vetor unitário

Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1. Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R2, que são dados por: i = (1,0) j = (0,1) Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

Observação: Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos. Se c = 0 então u será o vetor nulo. Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v. Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v. Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.

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Produto escalar

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por: u.v = a.c + b.d Exemplos: O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é: u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19

Propriedades do produto escalar Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:

v.w = w.v v.v = |v| |v| = |v|2 u.(v+w) = u.v + u.w (kv).w = v.(kw) = k(v.w) |kv| = |k| |v|

|u.v| <= |u| |v| (desigualdade de Schwarz)

|u+v| <= |u| + |v| (desigualdade triangular) Obs: <= significa menor ou igual

Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: u.v = |u| |v| cos(x) onde x é o ângulo formado entre u e v.

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