Elementos Básicos de Estatística

Elementos Básicos de Estatística

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Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como:

desde que nenhum deles seja nulo.

Vetores ortogonais

Dois vetores u e v são ortogonais se: u.v = 0

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

Progressões Aritméticas

Progressão aritmética é uma seqüência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante, denominada razão.

(a).nSoma de termos de uma P.A. finita:S2
n1Fórmula do termo geral de uma P.A.:a(n1).r=+−

Logo abaixo temos alguns exercícios de progressões aritméticas resolvidos. 1) Dada a P.A. (-19,-15,-1,...) calcule o seu enésimo termo.

2) Interpole seis meios aritméticos entre –8 e 13.

3) Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.

2344419 4).1(19 ).1(

:é geral termoo Logo,

.4)19(15 :razão a sencontramo ntePrimeirame1

nananarnaa rraar

3.r7

:saritmético meios os interpolar basta razão, a Encontrada 21 217r

78317831 ).18(831 ).1(

:razão aencontrar devemos valores,os interpolar Para P.A.). na termos8 existem Logo, 13. e 8- são que extremos, dois os entre

osinterpolad serão saritmético meios 6 (pois 8,13 ,8 :problema No1

rrrrnaa naan

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(8,4,0).ou(0,4,8) :Resposta

4) Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3.

8a(-4)-4a r -4
0a4-4a r -4
4r 16r 16r322r 48802r 80248

: termoprimeiro o sencontramo Agora

43
3121233

a r a r r r r ra rarara rara ra raraa raraa raaraa a

78n3
234n3-3n231 1)3-(n15246 ).1(
:múltiplos de número o é que , oachar Basta 247). do antes 3 de múltiplo último o é (pois 246,3

3. de múltiplos são não 155 logo 3, de múltiplos são 78 números, 233 Dos 13) do depois 3 de múltiplo primeiro o é (pois 15 :3 de múltiplos de número ocalcular Para múltiplos. NÃO de número o resultado como dará que o múltiplos, de número pelo (233) números de total número osubtrair após logo e 3, de múltiplos SÃO números quantos nteprimeiramecalcular devemos nós 3, de múltiplos são NÃO números quantoscalcular Para números. 233 existem 247 e 13 Entre rnaa nar a n n

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5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética. 6) Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é:

7) Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-86,-82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é:

8) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n.

223 112

x x a

4372

raa raaarraa arara ararara k k k

474
18844184

zero) quemaior ser deve a (pois 94

904 :dados seguintes os obtemos enunciado, Pelo n n rnaa

Sa a r n n

1
2312
52912
01322
)2(132
22 2).1(2 ).1(

: temossoma da fórmula na doSubstituin 132 ; 2 ; 2 n n n n nnnnnaaS nananarnaa Sar n n n n

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Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

da seguinte maneira:
a1a2 a3 ... a20 ... an ...
a1 a1xq a1xq2a1xq19 a1xqn-1 ...

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2. Cálculos do termo geral Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro,

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1 Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1 Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí. Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Seja a PG (a1, a2, a3, a4,, an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos

Soma dos n primeiros termos de uma PG considerar o que segue:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 ++ an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:

Sn.q = a1 . q + a2 .q ++ an-1 . q + an .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:

Sn . q = a2 + a3 ++ an + an . q
Observe que a2 + a3 ++ an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:

Sn . q = Sn - a1 + an . q Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

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Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos:

Observe que neste caso a1 = 1. 5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 +=100

Exemplo: O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta x = 50.

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Binômio de Newton Introdução Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

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