Elementos Básicos de Estatística

Elementos Básicos de Estatística

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Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento: (a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o

desenvolvimento da potência a partir da anterior, ou seja, de . Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.

Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente binomial de classe p, do

número n, o número , que indicamos por (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:

É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

Exemplos:

Propriedades dos coeficientes binomiais

1ª) Se n, p, k e p + k = n então

Universidade Federal do Paraná Jorge Festa

Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares. Exemplos:

2ª) Se n, p, k e p p-1 0 então

Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567). Exemplos:

Triângulo de Pascal

A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome de Triângulo de Pascal

Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.

, , ,, , ... estão na coluna 1.

Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e os números binomiais , Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

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Construção do triângulo de Pascal Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:

1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.

de Stifel).
Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:

2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1. 3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação

Propriedade do triângulo de Pascal P1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.

De fato, esses binomiais são complementares. P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é .

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De modo geral temos:

P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 1 + 4 + 10 + 20 = 35

P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.

1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton

Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de Newton. Além disso:

• quando n = 0 temos

• quando n = 1 temos

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• quando n = 2 temos • quando n = 3 temos

• quando n = 4 temos

Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:

De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:

Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos.

Fórmula do termo geral do binômio Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos que cada um deles

é da forma . • Quando p = 0 temos o 1º termo:

• Quando p = 1 temos o 2º termo:

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• Quando p = 2 temos o 3º termo: • Quando p = 3 temos o 4º termo:

• Quando p = 4 temos o 5º termo: Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por:

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Matrizes

Introdução

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo. A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

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