Equações Diferenciais e Equações das Diferenças

Equações Diferenciais e Equações das Diferenças

(Parte 1 de 3)

Equac oes Diferenciais e Equac oes de Diferencas

Jaime E. Villate

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Dezembro de 2001 versao 1.5, 2003/0912 (actualizados os links) versoes anteriores: 1.4, 2001/12/07 (inclui problemas propostos) 1.3, 2001/12/07 (corrige varias gralhas) 1.2, 1999/09/15 (inclui mais capıtulos) 1.1, 1999/09/09 (versao inicial)

Equac oes Diferenciais e Equac oes de Diferencas Copyright 2001, 2003 Jaime E. Villate Faculdade de Engenharia Rua Dr. Roberto Frias, s/n 4200 - 465 Porto PORTUGAL Tel. (351) 2 508 1676 Fax (351) 2 508 1449 E-mail: villate@gnu.org

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Conteudo

Lista de Figuras v Lista de Tabelas vii Prefacio ix

1.1 Definic oes1
1.2 Equacoes de primeira ordem2
1.3 Existencia e unicidade da solucao2
1.4 Problemas3
2.1 Equacoes de variaveis separaveis7
2.2 Equac oes lineares8
2.3 Equac oes exactas9
2.3.1 Equacoes homogeneas10
2.4 Equacao de Bernoulli12
2.5 Equacao de Riccati13
2.6 Problemas14

2 Equacoes diferenciais de primeira ordem 7

3.1 Crescimento demografico15
3.1.1 Modelo de Malthus15
3.1.2 Modelo logıstico15
3.2 Decaimento radioactivo16
3.3 Trajectorias ortogonais17
3.4 Problemas de aquecimento e arrefecimento19
3.5 Cinetica quımica19
3.6 Problemas20

3 Aplicacoes das equacoes diferenciais de primeira ordem 15

4.1 Existencia e unicidade da solucao23
4.2 Solucao geral das equacoes lineares23
4.3 Equacoes lineares homogeneas24
4.5 Solucao geral das equacoes lineares homogeneas25
4.6 Metodo de d’Alembert25
4.7 Equacoes lineares homogeneas de coeficientes constantes26
4.7.1 Raızes reais diferentes26
4.7.2 Raızes reais iguais27
4.7.3 Raızes complexas27
4.8 Equacao de Euler28
4.8.1 Raızes reais diferentes28
4.8.2 Raızes reais iguais28
4.8.3 Raızes complexas29
4.9 Problemas29

i CONTE UDO

5.1 Metodo dos coeficientes indeterminados31
5.1.1 Func oes exponenciais31
5.1.2 Polinomios32
5.1.3 Funcoes seno ou co-seno32
5.1.4 Excluindo solucoes da equacao homogenea3
5.1.5 Produtos de polinomios, exponenciais e seno ou co-seno3
5.2 Principio de sobreposicao34
5.3 Metodo de variacao de parametros35
5.4 Equacoes lineares de ordem superior37
5.5 Problemas38
6.1 Equac oes de diferencas41
6.2 Solucoes das equacoes de diferencas41
6.3 Equacoes de diferencas lineares42
6.3.1 Independencia linear entre sucessoes43
6.4 Equacoes de diferencas lineares com coeficientes constantes43
6.4.1 Raızes reais diferentes43
6.4.2 Raızes reais repetidas4
6.4.3 Raızes complexas4
6.5 Equacoes de diferencas incompletas45
6.6 Equacoes redutıveis a equacoes de coeficientes constantes45
6.7 Resolucao de equacoes nao-lineares usando a funcao Gama46
6.8 Problemas48

6 Equacoes de diferencas, lineares, homogeneas 41

7.1 Series de Potencias51
7.1.1 Serie de Taylor51
7.1.2 Algumas series de McClaurin importantes52
7.2 Metodo das series52
7.3 Equacao de Airy53
7.4 Metodo de Frobenius5
7.5 Solucao em series em pontos singulares58
7.6 Problemas61

CONTE UDO i

8.1 Definicao da transformada de Laplace63
8.1.1 Condicoes de existencia da transformada de Laplace63
8.2 Propriedades da transformada de Laplace64
8.2.1 Linearidade64
8.2.2 Derivada da Transformada64
8.2.3 Transformada da Derivada64
8.2.4 Deslocamento em s64
8.3 Transformadas de Funcoes Elementares65
8.4 Calculo de transformadas inversas6
8.5 Resolucao de equacoes diferenciais por meio da transformada de Laplace6
8.6 Equacoes diferenciais lineares com coeficientes nao-constantes67
8.7 Equacoes diferenciais lineares com entrada descontınua67
8.8 Deslocamento no domınio do tempo68
8.9 Impulso unitario69
8.10 Convolucao73
8.1 Resolucao de equacoes integro-diferenciais75
8.12 Problemas75

8 Transformadas de Laplace 63

9.1 Transformada Z79
9.2 Propriedades da transformada Z80
9.2.1 Linearidade da transformada Z80
9.2.2 Derivada da transformada Z80
9.2.3 Transformada da sucecao deslocada81
9.2.4 Transformadas das sucessoes de senos e co-senos81
9.3 Resolucao de equacoes de diferencas lineares, nao-homogeneas83
9.4 Problemas85

9 Equacoes de diferencas, lineares, nao-homogeneas 79

10.1 Definicao87
10.2 Sistemas de equacoes lineares8
10.3 Metodo de eliminacao89
10.4 Metodo matricial90
10.4.1 Vectores e valores proprios91
10.4.2 Solucoes fundamentais92
10.4.3 Valores proprios complexos94
10.5 Vectores proprios generalizados95
10.6 Sistemas lineares nao-homogeneos, de coeficientes constantes96

iv CONTE UDO

1.1 Introducao101
1.1.1 Equacao de transferencia de calor101
1.1.2 Equacao de onda101
1.1.3 Equacao de Laplace101
1.2 Resolucao de equacoes simples102
1.3 Metodo da transformada de Laplace102
1.4 Transformadas de Fourier103
1.4.1 Produto escalar entre funcoes103
1.4.2 Serie seno de Fourier103
1.4.3 Serie co-seno de Fourier104
1.5 Resolucao de EDPs usando transformadas de Fourier105
1.5.1 Propriedade operacional105
1.6 Problemas108

1 Equacoes de derivadas parciais 101

Respostas aos problemas 1 Bibliografia 121

3.1 Decaimento exponencial de uma substancia radioactiva17
3.2 Famılia de cırculos com centro na origem e trajectorias ortogonais18
8.1 Fluxo de medicamento, f, para dentro do sangue do paciente72

vi LISTA DE FIGURAS vi LISTA DE FIGURAS

8.1 Propriedades da transformada de Laplace71

viii LISTA DE TABELAS viii LISTA DE TABELAS

Prefacio

Estes apontamentos foram escritos como texto de apoio a disciplina de Analise Matematica I do Departamento de Engenharia Quımica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, nos anos academicos 1997/1998 e 1998/1999. Sao fruto da experiencia docente adquirida entre 1993 e ate 1997, quando leccionei as aulas teorico-praticas da disciplina regida pelo Prof. Mario Rui Costa a quem agradeco muito o apoio que me deu durante esse perıodo. Muitos dos problemas incluidos no fim de cada capıtulo faziam parte das folhas de problemas propostos pelo Prof. Mario Rui Costa; outros foram adaptados do livro An Introduction to Differential Equations and Their Applications, S.J. Farlow, McGraw-Hill, 1994 A maior parte do conteudo destes apontamentos encontra-se em qualquer livro de introducao as equacoes diferenciais. No entanto, a apresentacao das equacoes de diferencas como ferramenta para resolver as formulas de recorrencia que aparecem no metodo das series, nao costuma ser usada nos livros de equacoes diferenciais. Assim, o capıtulo sobre equacoes de diferencas lineares inclui algumas seccoes para as quais e difıcil encontrar bibliografia. A antiga pagina Web da disciplina leccionada entre 1997 e 1999, encontra-se ainda disponıvel em: http://quark.fe.up.pt/deqwww/amiii/ x Prefacio x Prefacio

Capıtulo 1 Introducao

Uma equacao diferencial e qualquer relacao entre uma funcao e as suas derivadas. Existem dois tipos de equacoes diferenciais.

e a equacao e uma relacao entre u, as variaveis independentes x, z, t,e as derivadas par-

Exemplo 1.1 Mostre que as funcoes sao solucoes da equacao diferencial

Resolucao: por simples substituicao da funcao e as suas derivadas ve-se facilmente que cada uma das funcoes dada e solucao:

Exemplo 1.2 Demonstre que a relacao

2 Introducao

1.2 Equacoes de primeira ordem

As equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem sao da forma F(x,y,y′) = 0, mas geralmente por meio de simples manipulacao algebrica conseguem-se re-escrever na forma de uma ou mais equacoes dy

A chamada forma inversa da equacao anterior e

Qualquer solucao implıcita de uma das duas equacoes e solucao da outra, e se a inversa de uma solucao explıcita y(x) da primeira equacao existir, sera solucao (x(y)) da equacao inversa. A equacao pode ser tambem escrita na chamada forma diferencial

Existem em geral muitas solucoes de uma equacao diferencial de primeira ordem. Dado um valor inicial y(x0) = y0, e possıvel calcular a derivada y′ no ponto x0 (igual a f(x0,y0) segundo a equacao diferencial), e geralmente e possıvel encontrar uma curva (curva integral) que passe pelo ponto (x0,y0) e com derivada igual a f(x,y) em cada ponto. O problema de valores iniciais:

consiste em encontrar a curva integral (ou curvas integrais) que passa pelo ponto (x0,y0).

1.3 Existencia e unicidade da solucao

As condicoes suficientes para a existencia de uma solucao unica de uma equacao diferencial de primeira ordem sao definidas pelo teorema de Picard:

1.4 Problemas 3

Teorema 1 (Picard) Considere o problema de valor inicial

se a funcao f e a derivada parcial de f em funcao de y sao contınuas numa vizinhanca do ponto

O intervalo onde existe a solucao unica pode ser maior ou menor que o intervalo onde a funcao f e a sua derivada parcial ∂f/∂y sao contınuas (o teorema nao permite determinar o tamanho do intervalo). As condicoes do teorema de Picard sao condicoes suficientes, mas nao necessarias para a existencia de solucao unica. Quando f ou a sua derivada parcial ∂f/∂y nao sejam contınuas, o teorema nao nos permite concluir nada: provavelmente existe solucao unica a pesar das duas condicoes nao se verificarem.

Exemplo 1.3 Demonstre que a relacao onde c e uma constante positiva, e solucao implıcita da equacao

que pode concluir a partir do teorema de Picard? Resolucao:

a funcao f = −x/y e a sua derivada parcial ∂f/∂y = x/y2 sao contınuas em quaisquer pontos fora do eixo dos x. A solucao implıcita dada conduz as solucoes unicas:

no intervalo −c < x < c. O teorema de Picard nada permite concluir nos pontos y = 0, mas segundo o resultado obtido acima vemos que em cada ponto y = 0 existem duas solucoes, y1 e y2.

1.4 Problemas

Em cada equacao diferencial identifique as variaveis independentes e dependentes. Demonstre em cada caso que a funcao y ou u na coluna da direita e solucao da equacao, onde a e c sao constantes.

4 Introducao

−x dy

Demonstre que a relacao dada define uma solucao implıcita da equacao diferencial.

xy −x2 y = cey/x

Os problemas 7 ao 1 sao um teste a sua intuicao (a ¡¡intuicao¿¿ so se obtem depois de alguma pratica e por isso e importante analizar estes problemas e as suas solucoes). Em cada caso tente adivinhar uma solucao; faca alguma tentativa e verifique se e ou nao solucao. Diga se a solucao que descobriu e geral ou particular.

dx = y (a funcao cuja derivada e igual a si propria)

8. dy dx = y2 (derivada igual ao quadrado da funcao)

10. dy dx +y = ex

Verifique que a funcao dada e solucao do problema de valor inicial

Determine se o teorema de Picard implica a existencia de uma solucao unica dos seguintes problemas de valor inicial, numa vizinhanca do valor inicial x dado.

1.4 Problemas 5

(b) Demonstre que se (c e um parametro positivo, a seguinte familia de funcoes (ver figura) sao tambem solucoes

Porque nao pode ser c negativo? (c) Interprete estes resultados em relacao ao teorema de Picard.

6 Introducao 6 Introducao

Capıtulo 2

Equacoes diferenciais de primeira ordem

Existem alguns tipos de equacoes ordinarias de primeira ordem que podem ser resolvidas analiticamente. Comecemos por estudar o caso mais simples das equacoes diferenciais de primeira ordem: Equacoes da forma dy

resolvem-se facilmente, usando o teorema fundamental do calculo integral

em que c e uma constante arbitraria que sera determinada segundo a condicao inicial do problema.

2.1 Equacoes de variaveis separaveis

para resolver este tipo de equacao primeiro observemos que a primitiva da funcao g(y) pode ser calculada da seguinte forma ∫

dx dx (2.4) a equacao diferencial pode ser escrita como

a primitiva em ordem a x do lado esquerdo e igual a primitiva em ordem a y de g(y) como acabamos de ver ∫

As equacoes do tipo dy

8 Equacoes diferenciais de primeira ordem onde a e b sao constantes, nao sao equacoes de variaveis separaveis, mas podem ser reduzidas a elas por meio da seguinte substituicao

2.2 Equacoes lineares

Para resolver este tipo de equacao podemos tentar transforma-la na forma simples do caso 1 acima. No caso particular em que a funcao p e uma constante a, o lado esquerdo e semelhante a seguinte derivada dy

consequentemente, podemos multiplicar os dois lados da equacao diferencial por exp(ax) e obtermos

No caso geral em que p depende de x, usamos a primitiva de p(x) em vez de ax e o factor integrante pelo qual deveremos multiplicar a equacao e

multiplicando os dois lados da equacao diferencial por µ obtem-se

Exemplo 2.1 Encontre a solucao da equacao diferencial dx = y

A equacao nao e de variaveis separaveis, nem linear, mas se invertermos a equacao obtemos

a qual e uma equacao linear; escrita na forma padrao

2.3 Equacoes exactas 9 vemos que o factor integrante e

multiplicando os dois lados da equacao por µ obtemos

Para calcular o valor da constante de integracao, substituimos a condicao inicial

2.3 Equacoes exactas

. Qualquer equacao de primeira ordem pode ser escrita em forma diferencial:

Esta equacao sugere-nos admitir que existe uma funcao F(x,y) cujas derivadas parciais sao iguais a M(x,y) e N(x,y); no entanto a segunda derivada parcial de F seria

Assim, para que a conjectura da existencia da funcao F(x,y) seja consistente, e necessario que as funcoes M e N verifiquem a seguinte condicao

A funcao F calcula-se encontrando a funcao cujas derivadas parciais sejam iguais a M(x,y) e N(x,y).

10 Equacoes diferenciais de primeira ordem

Exemplo 2.2 Resolva a seguinte equacao

e verifica-se facilmente que e uma equacao exacta:

existe uma funcao F(x,y) tal que

comparando os dois resultados para F vemos que

e a funcao F(x,y) e (para alem de uma constante que nao e importante ca)

2.3.1 Equacoes homogeneas Uma equacao de primeira ordem diz-se homogenea se tiver a seguinte forma geral

dx = f para resolver este tipo de equacao usa-se a substituicao

a qual torna a equacao numa equacao de variaveis separaveis. Para reconhecer facilmente se uma funcao racional e da forma f(y/x) observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de x mais o expoente de y) os quais deverao ser iguais. Por exemplo das duas funcoes seguintes a primeira tem a forma f(y/x) mas a segunda nao

Existem outras equacoes que podem ser reduzidas a equacoes homogeneas. Um exemplo tıpico e

a equacao dy dx = f onde a,bc,p,q e r sao constantes dadas. Se as constantes c e r fossem nulas, a equacao seria homogenea; definimos um novo sistema de coordenadas (u,v) para substituir (x,y), de forma a obter

ou de forma equivalente

a solucao deste sistema de equacoes lineares pode ser obtido por meio da regra de Cramer

como os lados direitos das equacoes 2.42 e 2.43 sao constantes, tambem temos que dx = du, dy = dv e a equacao diferencial converte-se numa equacao homogenea

du = f

( au+bv pu +qv

Exemplo 2.3 Resolva o problema de valor inicial

Esta equacao pode ser reduzida a uma equacao homogenea, mudando as variaveis (x,y) para (u, v) definidas por

usando a regra de Cramer temos

12 Equacoes diferenciais de primeira ordem

com estas substituicoes, a equacao diferencial torna-se uma equacao homogenea

e para a reduzir a equacao de variaveis separaveis definimos uma nova variavel dependente z

substituindo na equacao diferencial z +u dz

esta equacao de variaveis separaveis pode ser integrada∫ 1 − z

2.4 Equacao de Bernoulli

Um tipo de equacao diferencial que pode ser reduzida a equacao linear, e a chamada equacao de

Bernoulli, definida como dy

onde n e um numero racional, diferente de 0 e de 1. A substituicao

2.5 Equacao de Riccati 13 2.5 Equacao de Riccati

Outra equacao redutıvel a equacao linear e a equacao de Riccati:

ticular da equacao, por exemplo y1, a seguinte mudanca de variavel transformara a equacao em equacao linear

v =⇒ dy dx

e conveniente nao substituir y1 pela funcao dada, ja que o facto desta ser solucao da equacao simplificara os resultados. Substituindo na equacao de Riccati obtemos

como y1 e solucao, o termo nos parentesis no lado esquerdo e zero e obtem-se a seguinte equacao linear para v(x) o factor integrante desta equacao linear e

multiplicando os dois lados da equacao linear por µ e seguindo os passos explicados na seccao sobre equacoes lineares

uv = cotx + c v = ex sin2 x(cotx + c) = ex sinx(cosx + csinx)

sinx cosx + csinx y = e−xsinx − ccosx cosx + csinx a solucao geral esta constituıda por esta ultima famılia de funcoes, junto com a solucao particular y1.

14 Equacoes diferenciais de primeira ordem 2.6 Problemas

Resolva as seguintes equacoes diferenciais ordinarias (todas sao de variaveis separaveis, exactas, lineares ou redutıveis a elas)

10. dy dt

12. dy dx = x

Resolva as seguintes equacoes de Riccatti, sabendo que y = y1(x) e uma solucao particular:

Capıtulo 3

Aplicacoes das equacoes diferenciais de primeira ordem

3.1 Crescimento demografico

O aumento da populacao num instante dado e igual ao produto da populacao nesse instante vezes a taxa de aumento da populacao; se a populacao no instante t for representada pela funcao P(t), o aumento da populacao sera tambem igual a derivada de P

Para poder resolver esta equacao e preciso conhecer a dependencia de a com o tempo. Veremos dois casos simples

3.1.1 Modelo de Malthus Se a taxa de aumento da populacao (a) for constante a equacao diferencial anterior sera uma equacao de variaveis separaveis ∫ dP

Onde P0 e a populacao em t = 0. Este modelo pode ser uma boa aproximacao em certo intervalo, mas tem o inconveniente que a populacao cresce sim limite.

3.1.2 Modelo logıstico

Considera-se uma taxa de mortalidade que aumenta directamente proporcional a populacao, com taxas de natalidade e migracao constantes. A taxa de aumento da populacao e assim

16 Aplicacoes das equacoes diferenciais de primeira ordem com b e k constantes. A equacao diferencial obtida e uma equacao de Bernoulli

Neste modelo a populacao nao cresce indiscriminadamente, pois a medida que P aumenta, a taxa de aumento diminui chegando eventualmente a ser nula e nesse momento P permanece constante. Por meio da substituicao u = 1/P obtem-se uma equacao linear

Que pode ser resolvida multiplicando os dois lados pelo factor integrante exp(bt)

d dx

b + C e−bt

A populacao aproxima-se assimptoticamente do valor limite b/k.

3.2 Decaimento radioactivo

Numa substancia radioactiva, cada atomo tem uma certa probabilidade, por unidade de tempo de se transformar num atomo mais leve emitindo radiacao nuclear no processo. Se p representa essa probabilidade, o numero medio de atomos que se transmutam, por unidade de tempo, e pN, em que N e o numero de atomos existentes em cada instante. O numero de atomos transmutados por unidade de tempo e tambem igual a menos a derivada temporal da funcao N

A massa dos correspondentes atomos, x, e directamente proporcional a N e assim obtemos a seguinte equacao diferencial dx

onde p e uma constante, designada de constante de decaimento. A solucao geral desta equacao e uma funcao que diminui exponencialmente ate zero

A meia-vida da substancia define-se como o tempo necessario para a massa diminuir ate 50% do valor inicial; a partir da solucao obtida temos

x0 e -pt

1/p Figura 3.1: Decaimento exponencial de uma substancia radioactiva.

Quanto maior for a constante de decaimento p, mais rapido diminuira a massa da substancia (ver figura 3.1).

(Parte 1 de 3)

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