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Transferência de Calor e Massa - Apostilas - Engenharia Mecânica Part1, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

Apostilas de Engenharia Mecânica sobre o estudo da Transferência de Calor e Massa, Regime de Transmissão de Calor, Formas de Transmissão de Calor: condução, convecção e radiação.

Tipologia: Notas de estudo

2013
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Compartilhado em 11/06/2013

Salome_di_Bahia
Salome_di_Bahia 🇧🇷

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Baixe Transferência de Calor e Massa - Apostilas - Engenharia Mecânica Part1 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA, ARQUITETURA E CIÊNCIAS AGRÁRIAS CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA Atualizado por: Prof. Anderson Fávero Porte Santa Cruz do Sul, agosto 2007. Apostila de Transferência de Calor e Massa 2 1) GENERALIDADES 1.1) INTRODUÇÃO Sempre que um corpo está a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, no mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cessão de energia da região de temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenômeno dá-se o nome de transmissão de calor. O objetivo de presente curso é estudar as leis e os princípios que regem a transmissão de calor, bem como suas aplicações, visto que é de fundamental importância, para diferentes ramos de Engenharia, o domínio dessa área de conhecimento. Assim como o Engenheiro Mecânico enfrente problemas de refrigeração de motores, de ventilação, ar condicionado etc., o Engenheiro Metalúrgico não pode dispensar a transmissão de calor nos problemas relacionados a processos pirometalúrgicos ou hidrometalúrgicos, ou nos projetos de fornos ou de regeneradores. Em nível idêntico, o Engenheiro Químico ou Nuclear necessita da mesma ciência em estudos sobre evaporação, condensação ou em trabalhos de refinaria e reatores, enquanto o Eletricista a utiliza no cálculo de transformadores e geradores e o Engenheiro Naval aplica em profundidade a transmissão de calor em caldeiras, máquinas térmicas, etc. Até mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto, especialmente em países frios, sentem a importância de, em seus projetos, preverem tubulações interiores nas alvenarias das edificações, objetivando o escoamento de fluidos quentes, capazes de permitirem conforto maior mediante aquecimento ambiental. Esses são, apenas, alguns exemplos, entre as mais diversas aplicações que a Transmissão de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia. Conforme se verá no desenvolvimento da matéria, é indispensável aplicar recursos de Matemática e de Mecânica dos Fluidos em muitas ocasiões, bem como se perceberá a ligação e a diferença entre Transmissão de calor e Termodinâmica.. A Termodinâmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com sistemas em equilíbrio, enquanto a Transmissão de calor preocupa-se com o mecanismo, a duração e as condições necessárias para que o citado sistema atinja o equilíbrio. É evidente que os processos de Transmissão de Calor respeitem a primeira e a segunda Lei da Termodinâmica, mas, nem por isto, pode-se esperar que os conceitos básicos da Transmissão de calor possam simplesmente originar-se das leis fundamentais da Termodinâmica. Evidente também é, sem dúvida, que o calor se transmite sempre no sentido da maior para a menor temperatura, e só haverá transmissão de calor se houver diferença de temperatura, da mesma forma que a corrente elétrica transita do maior para o menor potencial e só haverá passagem de corrente elétrica se houver uma diferença de potencial; percebe-se, de início, sensível analogia entre os fenômenos térmico e elétrico, o que é absolutamente correto, pois que, de fato, o fenômeno é de transporte e pode ser, inclusive, estudado de forma global, como calor, eletricidade, massa, quantidade de movimento, etc., resultando daí a absoluta identidade entre as diferentes leis que comandam deferentes setores do conhecimento humano. Apostila de Transferência de Calor e Massa 5 Fig. 1-1 Esquema mostrando a direção do fluxo de calor A equação 1-1 é chamada de lei de Fourier da condução de calor, em homenagem ao físico matemático francês Joseph Fourier que trouxe contribuições significativas ao tratamento analítico da transferência de calor por condução. É importante observar que a Eq. 1-1 é a equação de definição de condutividade térmica e que k tem unidade de watt por metro por grau Celsius [W/(m.oC)] no Sistema Internacional de Unidades (SI). O problema a ser tratado agora é o da determinação da equação básica que governa a transferência de calor através de um sólido utilizando a Eq. 1-1 como ponto de partida. Considere o sistema unidimensional mostrado na Fig. 1-2. Se o sistema está em regime permanente, isto é, se a temperatura não varia com o tempo, então o problema é simples devendo-se somente integrar a Eq. 1-1 e substituir os valores apropriados para a solução nas quantidades desejadas. Entretanto, se a temperatura do sólido varia com o tempo, ou se existem fontes ou sumidouros de calor no interior do sólido, a situação é mais complicada. Consideremos o caso geral onde a temperatura pode variar com o tempo e fontes de calor podem ocorrer no interior do corpo. Para o elemento de espessura dx, o seguinte balanço de energia pode ser feito: Fig. 1-2 Volume elementar para a análise da condução de calor unidimensional Energia conduzida para dentro pela face esquerda + calor gerado no interior do elemento = variação de energia interna + energia conduzida para fora pela face direita. Estas quantidades de energia são dadas pelas seguintes expressões: Energia conduzida para dentro pela face esquerda: Apostila de Transferência de Calor e Massa 6 x T kAq x ∂ ∂ −= Calor gerado no interior do elemento: qx = q& Adx Variação da energia interna: dx T cAE τ∂ ∂ ρ=∆ Energia conduzida para fora pela face direita:             ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ++ dxx T k xx T kA] x T kAq dxxdxx onde q& = energia gerada por unidade de volume c = calor específico do material ρ = densidade A combinação das relações acima fornece:             ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − τ∂ ∂ ρ=+ ∂ ∂ − dx x T k xx T kAdx T cAAdxq x T kA & ou τ∂ ∂ ρ=+      ∂ ∂ ∂ ∂ T cq x T k x & 1-2 Esta é equação da condução de calor unidimensional. Para tratar do fluxo de calor em mais de uma dimensão deve-se considerar o calor conduzido para dentro e para fora do volume elementar em todas as três direções coordenadas, como mostrado na Fig. 1-3. O balanço de energia conduz a: Fig.1.3 τ +++=+++ +++ d dE qqqqqqq dzzdyydxxgerzyx sendo as quantidades de energia dadas por x T kdydzq x ∂ ∂ −= Apostila de Transferência de Calor e Massa 7 dydzdx x T k xx T kq dxx             ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ −=+ y T kdxdzq y ∂ ∂ −= dxdzdy y T k yy T kq dyy             ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ −=+ z T kdxdyq z ∂ ∂ −= dxdydz z T k zz T kq dzz             ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ −=+ dxdydzqqger &= τ∂ ∂ ρ= τ T cdxdydz d dE Assim a equação geral tridimensional da condução fica: τ ρ ∂ ∂ =+      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ T cq z T k zy T k yx T k x & 1.3 Para condutividade constante a Eq. 1.3 pode ser escrita τα ∂ ∂ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ T k q z T y T x T 1 2 2 2 2 2 2 & 1.4 onde a quantidade α = k/ρc é chamada de difusividade térmica do material. Quanto maior o valor de α, mais rapidamente o calor irá se difundir através do material. Isto pode ser visto observando-se as quantidades que compõem α. Um valor elevado de α pode resultar tanto de um valor elevado da condutividade térmica quanto de um valor baixo da capacidade térmica ρc. Um valor baixo da capacidade térmica significa que menor quantidade de energia em trânsito através do material é absorvida e utilizada para elevar a temperatura do material; assim, mais energia encontra-se disponível para ser transferida. Nas deduções acima, a expressão da derivada x + dx foi escrita na forma de uma expansão de Taylor onde somente os dois primeiros termos da série foram considerados no desenvolvimento. Muitos problemas práticos envolvem somente casos especiais das equações gerais apresentadas acima. Como uma orientação pata desenvolvimento em capítulos futuros, é conveniente mostrar a forma reduzida da equação geral para alguns casos de interesse prático. - Fluxo de calor unidimensional em regime permanente (sem geração de calor) 0 2 2 = dx Td 1.5 Apostila de Transferência de Calor e Massa 10 Fig. 1-5 transferência de calor por convecção Aqui a taxa de transferência de calor é relacionada à diferença de temperatura entre a parede e o fluido e à área superficial A. A quantidade h é chamada de coeficiente de transferência de calor por convecção, e a Eq. 1.8 é a equação de definição deste parâmetro. Para alguns sistemas é possível o cálculo analítico de h. Para situações complexas e determinação é experimental o coeficiente de transferência é algumas vezes chamado de condutância de película devido à sua relação com o processo da condução na fina camada de fluido estacionário junto à superfície da parede. Pela Eq. 1.8 a unidade de h é watt por metro quadrado por grau Celsius [W/(m2.oC)] no SI. Em vista desta discussão, pode-se antecipar que a transferência de calor por convecção irá exibir uma dependência da viscosidade do fluido além da sua dependência das propriedades térmicas do fluido (condutividade térmica, calor específico, densidade). Isto é esperado porque a viscosidade influência o perfil de velocidade e, portanto, a taxa de transferência de energia na região junto à parede. Se uma placa aquecida estiver exposta ao ar ambiente sem uma fonte externa de movimentação de fluido, o movimento do ar será devido aos gradientes de densidade nas proximidades da placa. Esta convecção é chamada natural ou livre em oposição à convecção forçada, que ocorre no caso de se ter um ventilador movimentando o ar sobre a placa. Os fenômenos de ebulição e condensação são também agrupados dentro desse assunto de transferência de calor por convecção 1.3.3) Transferência de Calor por Radiação Em contraste com os mecanismos de condução e convecção, onde a energia é transferida através de um meio natural, o calor pode também ser transferido em regiões onde existe o vácuo perfeito. O mecanismo neste caso é a radiação eletromagnética que é propagada como resultado de uma diferença de temperatura; trata-se da radiação térmica. Considerações termodinâmicas mostram que um radiador ideal, ou corpo negro, emite energia numa taxa proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo. Quando dois corpos trocam calor por radiação, a troca líquida de calor é proporcional à diferença T4. Assim q = σA(T1 4 – T2 4) 1-9 Onde σ é a constante de proporcionalidade chamada de constante de Stefan-Boltzmann que vale σ = 5,669 x 10-8 W/(m2.K4). A Eq. 1-9 é chamada de lei de Stefan-Boltzmann da Apostila de Transferência de Calor e Massa 11 radiação térmica e vale somente para corpos negros. É importante observar que esta equação é válida somente para radiação térmica; outros tipos de radiação eletromagnética podem não ser tratados com esta simplicidade. Foi mencionado que um corpo negro é um corpo que emite energia de acordo com a lei T4. Tal corpo é denominado negro porque superfícies negras, como um pedaço de metal coberto por negro de fumo, se aproxima desse tipo de comportamento. Outros tipos de superfícies, como uma superfície pintada ou uma placa metálica polida, não emitem tanta energia quanto o corpo negro; entretanto, a radiação total emita por estes corpos ainda é proporcional a T4. Para levar em consideração a natureza “cinzenta” destas superfícies é introduzido um outro fator na Eq. 1-9, a emissividade ε, que relaciona a radiação de uma superfície “cinzenta” com a de uma superfície negra ideal. Além disso devemos levar em conta que nem toda a radiação que deixa uma superfície atinge a outra superfície, uma vez que a radiação eletromagnética se propaga segundo linhas retas havendo perdas para o ambiente. Portanto, para considerar estas duas situações, são introduzidos dois novos fatores na Eq. 1-9 Q = Fε FG σA(T1 4 – T2 4) 1.10 onde Fε é a função emissividade e FG é a função “fator de forma” geométrico. A determinação da forma destas funções para configurações específicas é objeto de um capítulo subseqüente. Entretanto, é importante alertar para o fato destas funções em geral não serem independentes uma da outra como indicado na Eq. 1-10. O fenômeno da transferência de calor por radiação pode ser muito complexo e os cálculos raramente são simples como indicado pela Eq. 1-10. No momento, interessa-nos somente enfatizar as diferenças entre o mecanismo físico da transferência de calor pela radiação e os sistemas condução e convecção. Apostila de Transferência de Calor e Massa 12 2. CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE 2.1) INTRODUÇÃO Agora serão examinadas as aplicações da lei de Fourier da condução de calor para o cálculo da transferência de calor em sistemas unidimensionais. Muitos formatos físicos diferentes podem ser incluídos na categoria de sistemas unidimensionais. Sistemas cilíndricos e esféricos são unidimensionais quando a temperatura no corpo é função somente da distância radial e independe do ângulo azimutal ou da distância axial. Em alguns problemas bidimensionais os efeitos da segunda coordenada espacial podem ser tão pequenos a ponto de serem desprezados, e o problema de fluxo de calor multidimensional pode ser aproximado por uma análise unidimensional. Nestes casos as equações diferenciais são simplificadas e as soluções são obtidas mais facilmente como resultados destas simplificações. 2.2) A PAREDE PLANA Inicialmente considere a parede plana onde pode ser feita uma aplicação direta da lei de Fourier (Eq. 1-1). Da integração resulta ( )12 TT x kA q − ∆ −= 2-1 para condutividade constante. A espessura da parede é ∆x, e as temperaturas das faces da parede são T1 e T2. Se a condutividade térmica varia com a temperatura de acordo com alguma relação linear k = ko(1 + βT), a equação resultante para o fluxo de calor é ( ) ( )    −+− ∆ −= 2 1 2 212 2 TTTT x Ak q o β 2.2 Se mais de um material estiver presente, como é o caso da parede composta mostrada na Fig. 2-1, o fluxo de calor poderá ser escrito c 34 c B 23 B A 12 A x TT Ak x TT Ak x TT Akq ∆ − −= ∆ − −= ∆ − −= Observe que o fluxo de calor deve ser o mesmo através de todas as seções. Resolvendo estas equações simultaneamente, o fluxo de calor é dado por Ak/xAk/xAk/x TT q cCBBAA 41 ∆+∆+∆ − = 2-3 Apostila de Transferência de Calor e Massa 15 dr dT kAq rr −= ou dr dT krL2q r π−= 2-7 com as condições de contorno T =Ti em r = ri T = Te em r = re A solução da Eq. 2-7 é ( ) ( )ie ei rr TTkL q ln 2 − = π 2-8 e a resistência térmica pode ser usado para paredes cilíndricas compostas, da mesma maneira que para paredes planas. Para o sistema de três camadas mostrado na Fig. 2-4 a solução é ( ) ( ) ( ) ( ) CBA krrkrrkrr TTL q 342312 41 lnlnln 2 ++ − = π 2-9 O circuito térmico é mostrado na Fig. 2-4b. Sistemas esféricos também podem ser tratados como udimensionais quando a temperatura é somente função do raio. O fluxo de calor é então ei ei r1r1 )TT(k4 q − −π = 2-10 2.5) O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Considere a parede plana mostrada na Fig. 2-5, exposta a um fluido quente A em um dos lados. O calor transferido é dado por ( ) ( ) ( )B22211A1 TTAhTTx kA TTAhq −=− ∆ =−= Apostila de Transferência de Calor e Massa 16 Fig. 2-5 Fluxo de calor através de uma parede plana O processo de transferência de calor pode ser representado pelo circuito da resistência da Fig. 2-5, e o calor total transferido é calculado como razão entre a diferença total de temperatura e a soma das resistências térmicas AhkAxAh TT q BA 21 11 +∆+ − = 2.11 Observe que o valor 1/ha é usado para representar a resistência de convecção. O calor total transferido pelos mecanismos combinados de condução e convecção é freqüentemente expresso em termos de um coeficiente global de transferência de calor U, definido pela relação totalTUAq ∆= 2.12 onde A é uma área adequada para a transferência de calor. De acorda com a Eq. 2.11, o coeficiente global de transferência de calor é 21 11 1 hkxh U +∆+ = A analogia elétrica para um cilindro oco, que troca calor por convecção interna e externamente, está representada na Fig. 2-6, onde TA e TB são as temperaturas dos fluidos. Fig. 2-6 Analogia elétrica para um cilindro oco com troca de calor por convecção nas superfícies interna e externa Observe que a área para convecção não é a mesma para os dois fluidos neste caso. Estas áreas dependem do diâmetro interno do tubo e da espessura da parede. Neste caso, o fluxo total de calor é dado por Apostila de Transferência de Calor e Massa 17 ( ) ee ie ii BA AhkL rr Ah TT q 1 2 ln1 ++ − = π 2.13 de acorda com o circuito térmico da Fig. 2-6. Os termos Ai e Ae reapresentam as áreas das superfícies interna e externa do tubo. O coeficiente global de transferência de calor pode ser baseado tanto na área interna como na externa. ( ) ee iiei i i hA A kL rrA h U 1 2 ln1 1 ++ = π 2-14 ( ) e iee ii e e hkL rrA hA A U 1 2 ln1 1 ++ = π 2-15 2.6) ESPESSURA CRÍTICA DE ISOLAMENTO Considere uma camada de isolamento que pode ser instalada ao redor de um tubo circular, como mostrado na Fig. 2-7. A temperatura interna do isolamento é fixada em Ti, e a superfície externa troca calor com o ambiente a T∞. Do circuito térmico, o calor transferido vale Fig 2-7 Espessura crítica de isolamento ( ) ( ) hrk rr TTL q e ie i 1ln 2 + − = ∞ π 2-16 Vamos agora manipular esta expressão para determinar o raio externo de isolamento re que irá maximizar a transferência de calor. A condição de máximo é ( ) ( ) 2 2 1ln 11 2 0       +         −−− == ∞ hrk rr hrkr TTL dr dq e ie ee iπ Apostila de Transferência de Calor e Massa 20 temperatura possa ser considerada somente uma função do raio, a equação diferencial apropriada pode ser obtida da equação 0 1 2 2 =++ k q dr dT rdr Td & 2-23 As condições de contorno são T = Tp em r = R e o calor gerado pode ser igual ao calor perdido na superfície Rrdr dT RLkLRq =   −= ππ 22& Como a função temperatura pode ser contínua no centro do cilindro, pode-se especificar que 0= dr dT em r = 0 Entretanto, não será necessário usar esta condição, pois isto será verificado automaticamente quando as duas condições de contorno forem satisfeitas. A Eq. 2-23 pode ser escrita k rq dr dT dr Td r &− =+ 2 2 sendo que       =+ dr dT r dr d dr dT dr Td r 2 2 Portanto a integração fornece 1 2 2 C k rq dr dT r + − = & e 21 2 ln 4 CrC k rq T ++ − = & Da segunda condição de contorno acima, R C k Rq k Rq dr dT Rr 1 22 + − = − =  = && e, portanto C1 = 0 A solução final para a distribuição de temperatura é ( )22 4 rR k q TT p −=− & 2-24 ou, na forma adimensional 2 1       −= − − R r TT TT po p onde To é a temperatura em r = 0 dada por po T k Rq T += 4 2 & Apostila de Transferência de Calor e Massa 21 3. CONDUÇÃO TRANSIENTE E USO DE CARTAS DE TEMPERATURA Se a temperatura da face de um corpo sólido for alterada repentinamente, a temperatura no interior do sólido principia a variar com o tempo. Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuição de temperatura estacionária. A determinação da distribuição de temperatura é assunto complicado, pois a temperatura varia tanto com a posição como com o tempo. Em muitas aplicações práticas, a variação da temperatura com a posição é desprezível durante o estado transiente e, por isso, considera-se a temperatura função exclusiva do tempo. A análise da transferência de calor com esta hipótese é a análise global do sistema; por ser a temperatura função exclusiva do tempo, a análise é muito simples. Por isso, neste capítulo, principiamos com a análise global de condução transiente de calor. O emprego de cartas de temperatura é ilustrado para resolver a condução de calor transiente, simples, numa placa, num cilindro ou numa esfera, nas quais a temperatura varia com o tempo e com a posição. 3.1) ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA Considere um sólido de forma arbitrária, volume V, área superficial total A, condutividade térmica k, densidade ρ, calor específico cp, a uma temperatura uniforme To, que é repentinamente imerso, no instante t = 0, em um fluido agitado e mantido a uma temperatura uniforme T∞. A fig. 3-1 ilustra o sistema da transferência de calor considerado. A transferência de calor entre o sólido e o líquido se realiza por convecção, com um coeficiente de transferência de calor h. Admite-se que a distribuição de temperatura dentro do sólido, em qualquer instante seja suficientemente uniforme, de tal modo que a temperatura de sólido pode ser considerada função exclusiva do tempo, isto é, T(t). A equação de energia na transferência de calor no sólido pode ser escrita como Fig.3.1 Nomenclatura da análise global do sistema durante o fluxo transiente de calor Taxa de fluxo de calor afluente ao sólido de volume V = Taxa de aumento da energia interna do sólido de volume V. Apostila de Transferência de Calor e Massa 22 Escrevendo-se as expressões matemáticas apropriadas a cada um destes termos, obtém-se: [ ] dt tdT VctTTAh p )( )( ρ=−∞ 3.1 ou 0])([ )( =−+ ∞TtT Vc Ah dT tdT pρ em t > 0 3.2 sujeito à condição inicial T(t) = To em t = 0 Para conveniência da análise, define-se uma nova temperatura θ(t) θ(t)≡ T(t) - T∞ Então a equação 3-2 torna-se 0)( )( =+ tm dt td θ θ em t > 0 3-3 e θ(t) = To - T∞ ≡ θo em t = 0 onde definimos Vc Ah m pρ ≡ 3.4 A Eq. 3-3 é uma equação diferencial ordinária na temperatura θ(t), cuja solução geral é dada por θ(t) = C e-mt 3.5 A aplicação da condição inicial dá a constante de integração C = θo. Então, a temperatura do sólido em função do tempo é mt oo e TT TtTt − ∞ ∞ = − − = )()( θ θ 3.6 A fig. 3-2 mostra um gráfico da temperatura adimensional da Eq 3.6 em função do tempo. A temperatura decai exponencialmente com o tempo, e a forma da curva é determinada pelo valor do expoente m. Aqui, m tem a dimensão de (tempo)-1. É claro que as curvas na fig. 3-2 se tornam cada vez mais inclinadas à medida que o valor de m cresce. Isto é, qualquer acréscimo de m fará com que o sólido responda mais rapidamente a uma variação de temperatura ambiente. O exame dos parâmetros na definição de m revela que o aumento da área superficial, para um dado volume, e o coeficiente de transferência de calor provocam o aumento de m. Aumentando-se a densidade, o calor específico, ou o volume, haverá diminuição de m. Apostila de Transferência de Calor e Massa 25 m Q Cet mt += −)(θ 3-14 A constante de integração C é determinada pela aplicação da condição inicial 3-11b como m Q Co +=θ 3-15 Substituindo a Eq. 3-15 na 3-14, obtemos a solução deste problema da transferência de calor: ( ) m Q eet mtmt o −− −+= 1)( θθ ou ( ) h q eet mtmt o −− −+= 1)( θθ 3-16 Para t → ∞, esta solução simplifica-se em ( ) h q m Q ==∞θ 3-17 que é a temperatura estacionária da placa. 3.3) PLACA – EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE Em muitas situações, os gradientes de temperatura no interior dos sólidos não são desprezíveis, e não é aplicável a análise global do sistema. Neste caso, a análise dos problemas da condução de calor envolve a determinação da distribuição de temperaturas no interior do sólido em função do tempo e da posição, e é um tema bastante complicado. Vários métodos de análise para resolver estes problemas são discutidos em diversos textos, com tratamento avançado da condução de calor. Problemas simples, como a condução de calor, unidimensional, dependente do tempo, em uma placa sem geração interna de energia, podem ser resolvidos facilmente pelo método da separação de variáveis, como será descrito mais adiante neste capítulo. Além disso, a distribuição de temperatura em tais situações foi calculada, e os resultados, apresentados na forma de cartas de temperaturas transientes em várias obras. Apresentaremos as cartas de temperaturas transientes e de fluxo de calor e discutiremos seu significado físico e seu emprego. Considere uma placa (por exemplo, uma parede plana) de espessura 2L confinada na região –L ≤ x ≤ L. Inicialmente, a placa está a uma temperatura uniforme Ti. De repente, a t = 0, ambas as superfícies de contorno da placa são sujeitas a convecção com um coeficiente de transferência de calor h para o ambiente à temperatura T∞ e assim mantida nos instantes t > 0. A fig 3.4a mostra a geometria, coordenadas e condições de contorno deste problema particular. Porém, neste problema, há simetria geométrica e térmica em torno do plano x = 0, de forma que podemos considerar o problema de condução do calor numa metade da região, digamos 0 ≤ x ≤ L. Com essa consideração, o problema da condução do calor numa placa de espessura 2L confinada à região –L ≤ x ≤ L, como está ilustrado na fig 3.4a, é equivalente ao problema de uma placa de espessura L confinada na região 0 ≤ x ≤ L, como está ilustrado 3.4b. Então, a formação matemática deste problema da condução do calor dependente do tempo, com a geometria e as condições de contorno de fig. 3.4b, é dada por Apostila de Transferência de Calor e Massa 26 (a) (b) Fig. 3.4 Geometria, coordenadas e condições de contorno da condução de calor transiente em uma placa. t T x T ∂ ∂ = ∂ ∂ α 1 2 2 em 0 < x < L, e t > 0 3.18a 0= ∂ ∂ x T em x = 0, e t > 0 3.18b ∞=+ ∂ ∂ hThT x T k em x = L, e t > 0 3.18c T = Ti em t = 0, e 0 ≤ x ≤ L 3.18d 3.3.1) Equações Adimensionais O problema da condução transiente de calor, dado pelas Eqs. 3.18, pode ser expresso em forma adimensional introduzindo-se as seguintes variáveis adimensionais: aladimensiona temperatur ),( = − − = ∞ ∞ TT TtxT i θ 3.19a aladimension coordenada== L x X 3.19b Biotde número== k hL Bi 3.19c Fourierde número ou al,adimension tempo 2 == L tα τ 3.19d Desta forma, o problema da condução de calor dado pelas Eqs 3.19 se transforma em τ θθ ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 X em 0 < X < 1, e τ > 0 3.20a 0= ∂ ∂ X θ em X = 0, e τ > 0 3.20b 0=+ ∂ ∂ θ θ Bi X em X = 1, e τ > 0 3.20c θ = 1 em 0≤ X ≤ 1, e τ = 0 3.20d O significado físico do tempo adimensional τ, ou número de Fourier, visualiza-se melhor se a equação 3.19d for reordenada na forma Apostila de Transferência de Calor e Massa 27 C W/,L volumeno L de longo ao calor de retenção de taxa C W/,L volumeno L de longo ao calor de condução de taxa / )/1( o3 o3 3 2 2 === tLc LLk L t pρ α τ 3.21a Portanto, o número de Fourier é uma medida da razão entre a taxa de condução e a taxa de retenção de calor, num elemento de volume. Por isso, quanto maior o número de Fourier, mais profunda é a penetração do calor num sólido durante um certo intervalo de tempo. O significado físico do número de Biot compreende-se melhor se a Eq. 3.19c for escrita na forma L ocompriment no sólido do acondutânci sólido do superfície nacalor de ncia transferêde ecoeficient / === Lk h k hL Bi 3.21b Assim, o número de Biot é a razão entre o coeficiente de transferência de calor e a condutância do sólido sobre o comprimento característico. Comparando os problemas de condução de calor expressos pelas Eq. 3.18 e 3.20, concluímos que o número de parâmetros independentes que afetam a distribuição de temperatura no sólido reduz-se significativamente quando se exprime o problema na sua forma adimensional. No problema dado pelas Eqs. 3.18, a temperatura depende dos oito seguintes parâmetros físicos: x, t, L, k, α, h, Ti, T∞ Porém, no problema adimensional expresso pelas Eqs. 3.20, a temperatura depende dos três seguintes parâmetros adimensionais: X, Bi, e τ Fica evidente que, se exprimirmos o problema na forma adimensional, o número de parâmetros que afetam a distribuição de temperatura reduz-se significativamente. Por isso, é prático resolver o problema de uma vez por todas e expor os resultados na forma de cartas para referência rápida. 3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa O problema definido pelas Eqs. 3.20 já foi resolvido e os resultados para a temperatura adimensional estão nas Figs 3.5a e 3.5b. A Fig.35a dá a temperatura no plano central To ou θ(0, τ) em X = 0, em função do tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi. A curva com 1/Bi = 0 corresponde ou a h → ∞, ou então as faces da placa estão mantidas na temperatura ambiente T∞. Nos grandes valores de 1/Bi, o número de Biot é pequeno, ou a condutância interna do sólido é grande em relação ao coeficiente de transferência de calor na superfície. Isto, por sua vez, implica que a distribuição de temperatura dentro do sólido é suficientemente uniforme, e, portanto, pode-se adotar a Apostila de Transferência de Calor e Massa 30 0= ∂ ∂ R θ em R = 0, e τ > 1 3.23b 0=+ ∂ ∂ θ θ Bi R em R = 1, e τ > 0 3.23c θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, e τ = 0 3.23d onde as várias grandezas adimensionais são definidas da forma seguinte == k hb Bi número de Biot 3.24a == 2b tα τ tempo adimensional, ou número de Fourier 3.24b ( ) = − − = ∞ ∞ TT TtrT i , θ temperatura adimensional 3.24c == b r R coordenada radial adimensional 3.24d O problema da Eq. 3.22 já foi resolvido, e os resultados para temperatura no centro To ou θ(0,τ) estão na Fig. 3.7a, em função do tempo adimensional, com vários valores do parâmetro 1/Bi. A fig.3.7b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro do cilindro com a temperatura no plano médio To. Por isso, dada To, as temperaturas nas diferentes posições internas do cilindro podem ser determinadas a partir da Fig. 3.7b. Apostila de Transferência de Calor e Massa 31 Fig. 3.7 Carta de temperaturas transientes num cilindro maciço longo, de raio r=b sujeito a convecção na superfície r=b. (a) Temperatura To no eixo do cilindro; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a). A Fig. 3.8 mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo adimensional com diversos valores do número de Biot, no problema do cilindro dado pelas Eqs. 3.22. Aqui Qo, tem o significado definido pela equação 3.22, e Q representa a quantidade total de energia perdida pelo cilindro até certo tempo t, durante a transferência transiente de calor. Apostila de Transferência de Calor e Massa 32 Fig. 3.8 Calor adimensional transferido Q/Qo num cilindro longo de raio b 3.4.2) Carta de temperaturas transientes numa esfera Numa esfera de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti e em t > 0, sujeita a convecção na superfície r = b, com um coeficiente de transferência de calor h, para um ambiente à temperatura T∞, o problema da condução transiente de calor é dado na forma adimensional como τ θθ ∂ ∂ =      ∂ ∂ ∂ ∂ R R RR 2 2 1 em 0 < R < 1, e τ > 0 3.24a 0= ∂ ∂ R θ em R = 0, e τ > 0 3.24b 0=+ ∂ ∂ θ θ Bi R em R = 1, e τ > 0 3.24c θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, se for τ = 0 3.25c Aqui, os parâmetros adimensionais Bi, θ e R são definidos como as Eqs. 3.24. A Fig. 3.9a mostra a temperatura no centro To, ou θ (0,τ), da esfera em função do tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi. A Fig. 3.9b apresenta a relação entre as temperaturas em diferentes posições dentro da esfera e a temperatura no centro To. Apostila de Transferência de Calor e Massa 35 4) CONVECÇÃO – CONCEITOS E RELAÇÕES BÁSICAS Até aqui consideramos a transferência condutiva de calor nos sólidos, nos quais não há movimento do meio. Nos problemas de condução, a convecção participou na análise, simplesmente como condição de contorno, na forma de um coeficiente de transferência de calor. Nosso objetivo, neste e nos capítulos seguintes a respeito da convecção, é estabelecer as bases físicas e matemáticas para a compreensão do transporte convectivo de calor e revelar as várias correlações na transferência de calor. Nas aplicações de engenharia, há interesse na perda de carga e na força de arraste associadas ao escoamento dentro de dutos ou sobre corpos. Por isso, são apresentadas as correlações apropriadas para prever a queda de pressão e força de arraste num escoamento. A análise da convecção é complicada, pois o movimento do fluido afeta a perda de carga, a força de arraste e a transferência de calor. Para determinar a força de arraste, ou a perda de carga, deve ser conhecido o campo de velocidades nas vizinhanças imediatas da superfície. Para determinar a transferência convectiva de calor também se precisa da distribuição de velocidades no escoamento do fluido, porque a velocidade participa da equação da energia; a solução da equação da energia determina a distribuição de temperaturas no campo do escoamento. A literatura a respeito da transferência convectiva de calor é superabundante e está sempre crescendo. Nestes últimos anos, com a disponibilidade de computadores digitais rápidos e de elevada capacidade, têm-se feito notáveis progressos na análise, com grandes detalhes, de problemas muito complicados de transferência de calor. Não obstante, um grande número de problemas de engenharia mais simples pode ser resolvido com o emprego de correlações padrões de transferência de calor. Por isso, vamos focalizar nossa atenção sobre esses casos. Para atingir este objetivo, apresentaremos neste capítulo uma visão coerente da convecção, a fim de propiciar uma base firme para aplicações. Serão discutidos os conceitos básicos associados ao escoamento sobre um corpo, ao escoamento dentro de um duto e à turbulência. Ilustraremos também o papel da distribuição de temperaturas e o da distribuição de velocidades, num escoamento, sobre a transferência de calor e a força de arraste. As distribuições de velocidades e de temperaturas no escoamento são determinadas a partir da solução das equações do movimento e da energia. Por isso, estas equações são apresentadas no caso de um escoamento bidimensional, de um fluido com propriedades constantes, incompressível, nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas. A simplificação destas equações é ilustrada a fim de se obterem as equações que governam a análise dos problemas mais simples de transferência de calor. Finalmente, discute-se o significado físico dos parâmetros adimensionais e apresentam-se as equações das camadas limites. 4.1) ESCOAMENTO SOBRE UM CORPO Quando um fluido escoa sobre um corpo sólido, a distribuição de velocidades e de temperaturas na vizinhança imediata da superfície influencia fortemente a transferência convectiva de calor. O conceito de camada limite é freqüentemente introduzido para Apostila de Transferência de Calor e Massa 36 modelar os campos de velocidade e de temperatura próximos da superfície sólida, a fim de simplificar a análise da transferência convectiva de calor. Assim, estaremos envolvidos com dois tipos de camadas limites: a camada limite cinética e a camada limite térmica. 4.1.1) Camada limite cinética Para ilustrar o conceito de camada limite cinética, consideremos o escoamento de um fluido sobre uma placa, como está ilustrado na fig. 4.1. O fluido na borda frontal da placa (isto é, em x = 0) tem uma velocidade u∞ que é paralela à superfície da placa. À medida que o fluido se move na direção x ao longo da placa, as partículas do fluido em contato com a face da placa assumem velocidade zero (isto é, não há deslizamento sobre a face da placa). Portanto, a partir da superfície da placa haverá um retardamento da componente x da velocidade u(x,y) = u. Isto é, na superfície da placa, em y = 0, a componente axial da velocidade é zero, ou u = 0. O efeito do retardamento é reduzido quando o fluido se move em uma região afastada da face da placa; a distâncias suficientemente grandes da placa, o efeito de retardamento é nulo, isto é, u = u∞ para grandes y. Portanto, a cada posição x ao longo da placa, há uma distância y = δ(x), medida a partir da superfície da placa, onde a componente axial da velocidade u é igual a 99% da velocidade da corrente livre u∞, isto é, u = 0,99 u∞. O lugar geométrico destes pontos, onde u = 0,99 u∞, é a camada limite cinética δ(x). Com o conceito de camada limite cinética assim introduzido no escoamento sobre uma placa plana, o campo do escoamento pode ser dividido em duas regiões distintas: (1) Na região da camada limite, a componente axial da velocidade u(x,y) varia rapidamente com a distancia y à face da placa; portanto, os gradientes de temperatura e as tensões de cisalhamento são grandes. (2) Na região fora da camada limite, na região de escoamento potencial, os gradientes de velocidade e as tensões de cisalhamento são desprezíveis. Fig. 4.1 Conceito de camada limite no escoamento sobre uma placa plana Referindo-nos à ilustração na Fig. 4.1, vamos examinar o comportamento do escoamento na camada limite em função da distância x medida a partir da borda frontal da placa. A característica do escoamento é governada pelo valor da grandeza número de Reynolds. No escoamento sobre uma placa plana, como está na Fig. 4.1, este número é definido por Apostila de Transferência de Calor e Massa 37 ν xu x ∞≡Re (4.1) onde u∞ = velocidade da corrente livre x = distância à borda frontal ν = viscosidade cinemática do fluido A camada limite começa na borda frontal (isto é, em x =0) da placa como uma camada limite laminar, na qual o escoamento permanece ordenado e as partículas do fluído se movem ao longo das linhas de corrente. Este movimento ordenado continua ao longo da placa até que se atinge uma distância crítica, ou o número de Reynolds alcance um valor crítico. Depois de este número de Reynolds crítico ser atingido, os pequenos distúrbios no escoamento começam a ser amplificados, e flutuações no fluído começam a se desenvolver, o que caracteriza o final da camada limite laminar e o início da transição para a camada limite turbulenta. No escoamento sobre uma placa plana, o número de Reynolds crítico, no qual acontece a transição do escoamento laminar para o turbulento, é geralmente tomado, na maior parte das finalidades analíticas, como 5105Re x v xu x ≅≡ ∞ (4.2) Entretanto este valor crítico é fortemente dependente da rugosidade da superfície e do nível de turbulência da corrente livre. Por exemplo, com distúrbios muito grandes na corrente livre, a transição pode começar em um número de Reynolds tão baixo como 105, e, nos escoamentos livres de perturbações, pode não começar até que o número de Reynolds atinja um valor de 106 ou mais. Mas num escoamento sobre uma placa plana, a camada limite é sempre turbulenta para Rex ≥ 4x10 6. Na camada limite turbulenta próxima da parede, há uma camada muito delgada, chamada subcamada laminar, onde o escoamento retém seu caráter laminar. Adjacente a subcamada laminar existe uma região chamada camada amortecedora, na qual há turbulência muito fina e a velocidade média axial aumenta rapidamente com a distância à superfície sólida. A camada amortecedora é seguida pela camada turbulenta, na qual há turbulência em alta escala e a velocidade muda relativamente pouco com a distância à parede. A fig 4.2 mostra o conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo. Neste caso, a coordenada x é medida ao longo da superfície curva do corpo; principiando pelo ponto de estagnação, e em cada posição x segundo a normal à superfície do corpo. A velocidade da corrente livre )(xu∞ não é constante, mas varia com a distância ao longo da superfície curva. O conceito de camada limite, discutido acima, também se aplica a esta situação particular. A espessura da camada limite )(xδ cresce com a distância x ao longo da superfície. Entretanto, devido a curvatura da superfície, depois de uma certa distância x, o perfil de velocidade ),( yxu mostra um ponto de inflexão, isto é, yu ∂/δ se anula na superfície do sólido. Além do ponto de inflexão, há uma inversão do escoamento, e diz-se que a camada limite está descolada da superfície do sólido. Além do ponto de inversão do fluxo, os padrões do fluxo são muito complicados e o conceito da camada limite não é mais aplicável. Apostila de Transferência de Calor e Massa 40 Por isso em cada posição x ao longo da placa, pode-se imaginar uma posição )(xy δ= no fluido onde ),( yxθ seja igual a 0,99. O lugar geométrico destes pontos onde ),( yxθ =0,99 é chamado a camada limite térmica )(xδ . A espessura relativa da camada limite térmica )(xtδ frente a camada limite cinética )(xδ depende da grandeza do número de Prandtl do fluido. Nos fluidos que tem um número de Prandtl igual a unidade, como os gases, ).()( xxt δδ = A camada limite térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr <1, como os metais líquidos, e é muito mais delgado do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr >1. 4.1.4) Coeficiente de transferência de calor Suponha que a distribuição de temperatura T(x,y) na camada limite térmica seja conhecida. Então o fluxo de calor q(x) do fluido para a placa é determinado por 0 ),( )( = ∂ ∂ = y y yxT xq κ (4.10 a) onde k é a condutividade térmica do fluido. Entretanto, nas aplicações de engenharia, não é prático empregar a Eq. (4.10 a) para calcular a taxa de transferência de calor entre o fluido e a placa. Na prática define-se um coeficiente de transferência de calor local h(x) para calcular o fluxo de calor entre o fluido e a placa: ))(()( WTTxhxq −= ∞ (4.10 b) Igualando (4.10 a) e (4.10 b), obtemos [ ] W y TT yT kxh − ∂∂ = ∞ =0)( (4.11 a) Esta expressão agora é escrita em termos da temperatura adimensional ),( yxθ como 0 ),( )( = ∂ ∂ = y y yx kxh θ (4.11 b) Logo as Eqs. (4.11) fornecem a relação para determinar o coeficiente de transferência de calor local h(x) a partir do conhecimento da distribuição da temperatura adimensional ),( yxθ na camada limite térmica. O coeficiente de transferência de calor médio hm sobre a distância x=0 até x=L, ao longo da superfície da placa, é determinado a partir de ∫= L m dxxh L h 0 )( 1 (4.12) Apostila de Transferência de Calor e Massa 41 Sabendo o coeficiente de transferência de calor médio hm, podemos determinar a taxa de transferência de calor Q do fluido para a placa de x=0 até x=L e para a espessura w. )( Wm TTwLhQ −= ∞ (4.13) 4.1.5) Relação entre cx e h(x) Considerando as expressões exatas de coeficiente de local de arraste e do número de Nusselt local, no escoamento laminar sobre uma placa plana, 21Re332,0 2 −= x Cx (4.14 a) 2131 RePr332,0 xxNu = (4.14 b) Definimos o número de Stanton local, Stx, como ∞ = uc xh St p x ρ )( que pode ser reordenado na forma x x x Nu vxuv kxxh St RePr)/)(/( /)( == ∞α Então, a expressão (4.14 b) do número de Nusselt local pode ser reescrita como 2132 RePr332,0 −−= xxSt (4.14 c) Das Eqs. (4.14 a) e (4.14 c), pode-se obter a seguinte relação entre o número de Stanton e o coeficiente de arraste: 2 Pr 3/2 Cx St x = (4.15 a) Esta expressão recebe o nome de analogia de Reynolds-Colburn e relaciona o coeficiente local de arraste cx ao número de Stanton local Stx num escoamento laminar sobre uma placa plana. Portanto, fazendo-se as medidas do arraste atrativo no escoamento laminar sobre uma placa plana, quando não há transferência de calor, pode-se determinar o coeficiente de transferência de calor correspondente pela Eq. (4.15 a). É muito mais fácil fazer medidas de arraste do que medidas de transferência de calor. Pode-se também aplicar a Eq. (4.15 a) ao escoamento turbulento sobre uma placa plana, porém não se aplica ao escoamento laminar dentro de um tubo. No caso de valores médios, a Eq. (4.15 a) é escrita como 2 Pr 3/2 m m C St = (4.15 b) Apostila de Transferência de Calor e Massa 42 onde Stm e Cm são, respectivamente, o número de Stanton médio e o coeficiente médio de arraste. 4.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO Os conceitos básicos discutidos na última seção sobre o desenvolvimento das camadas limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana também se aplicam ao escoamento na região da entrada de dutos. Ilustramos este assunto considerando o escoamento no interior de um tubo circular. 4.2.1) Camada limite cinética Considere o escoamento dentro de um tubo circular, como está ilustrado na fig. 4.4. Fig.4.4 Conceito de desenvolvimento da camada limite cinética na região de entrada de um tubo circular O fluido tem uma velocidade de entrada uniforme 0u . Quando o fluido entra no tubo, começa a se desenvolver uma camada limite cinética sobre a superfície da parede. A velocidade das partículas do fluido, na superfície da parede, anula-se, e a velocidade nas vizinhanças da parede diminui; como resultado, a velocidade na parte axial do tubo aumenta para ser cumprida a exigência da continuidade do fluxo. A espessura da camada limite cinética )( zδ cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que ocupa todo o tubo. A região que se estende desde a entrada do tubo até um pouco além da posição hipotética em que a camada limite atinge o eixo do tubo é a região hidrodinâmica de entrada. Nesta região, a forma do perfil de velocidade varia tanto na direção axial como na radial. A região além da distância hidrodinâmica de entrada é chamada região hidrodinamicamente desenvolvida, pois nesta região o perfil de velocidade é invariante com a distância ao longo do tubo. Se a camada limite permanece laminar até encher todo o tubo, o perfil parabólico de velocidade no escoamento laminar completamente desenvolvido prevalece na região hidrodinamicamente desenvolvida. Entretanto, se a camada limite transforma-se em turbulenta antes de a sua espessura atingir o eixo do tubo, há um escoamento turbulento completamente desenvolvido na região hidrodinamicamente desenvolvida. Quando o escoamento é turbulento, o perfil de velocidade é mais achatado do que o perfil parabólico de velocidade no escoamento laminar. No escoamento no interior de um tubo circular, o número de Reynolds, definido por Apostila de Transferência de Calor e Massa 45 região termicamente desenvolvida. Entretanto, sob certas condições de aquecimento, ou de resfriamento, como fluxo de calor constante ou temperatura uniforme na parede do tubo, o conceito é possível. Considere um escoamento laminar no interior de um tubo circular sujeito a um fluxo de calor uniforme nas paredes. Sejam r e z as coordenadas, respectivamente, radial e axial. Define-se uma temperatura adimensional ),( zrθ como )()( )(),( ),( zTzT zTzrT zr wm w − − =θ (4.20a) onde Tw(z) = temperatura na parede do tubo Tm(z) = Temperatura média de todo o fluido na área transversal do tubo em z T(r,z) = temperatura local do fluido Evidentemente, ),( zrθ é zero na superfície da parede do tubo e atinge um valor finito no eixo do tubo. Então visualiza-se o desenvolvimento de uma camada limite térmica paralelamente a superfície da parede. A espessura da camada limite térmica )(ztδ cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que preenche todo o tubo. A região da entrada do tubo até a posição hipotética onde a espessura da camada limite térmica atinge o eixo do tubo é a região de entrada térmica. Nesta região, a forma do perfil da temperatura adimensional ),( zrθ muda tanto na direção axial quanto na radial. A região além da distância de entrada térmica é chamada região termicamente desenvolvida, porque nesta região o perfil da temperatura adimensional permanece invariante com a distância ao longo do tubo, isto é, )()( )(),( )( zTzT zTzrT r wm w − − =θ (4.20 b) É difícil explicar qualitativamente por que )(rθ deve ser independente da variável z, pois as temperaturas no segundo membro da Eq. (4.20 b) dependem tanto de r como de z. Entretanto, pode-se demonstrar matematicamente que, não só com uma temperatura constante mas também com um fluxo de calor constante na parede, a temperatura adimensional )(rθ depende somente de r para valores suficientemente grandes de z. 4.2.4) Coeficiente de transferência de calor Nas aplicações de engenharia envolvendo o escoamento de um fluido num tubo, a taxa de transferência de calor entre o fluido e o tubo é uma informação de muito interesse. Discutiremos o conceito de coeficiente de transferência de calor que é utilizado com mais freqüência nas aplicações de engenharia para determinar a transferência de calor entre o fluido e a superfície da parede. Considere um fluido escoando dentro de um tubo circular de raio interno R. Seja T(r,z) a distribuição de temperaturas no fluido, onde r e z são as coordenadas radial e axial, respectivamente. O fluxo de calor do fluido para a parede do tubo é determinado por Apostila de Transferência de Calor e Massa 46 pareder zrT Kzq ∂ ∂ −= ),( )( (4.21 a) onde k é a condutividade térmica do fluido. Nas aplicações de engenharia não é prático utilizar a Eq. (6.21 a) para determinar a transferência de calor entre o fluido e a parede do tubo, pois essa equação envolve o cálculo da derivada da temperatura na parede. Para evitar esta dificuldade, define-se um coeficiente de transferência de calor local h (z) [ ])()()()( zTzTzhzq wm −= (4.21 b) onde Tm(z) = temperatura média global calculada sobre a área da seção transversal do tubo na posição z Tw(z) = temperatura na parede do tubo em z Evidentemente se o coeficiente de transferência de calor for conhecido, é questão muito simples determinar o fluxo de calor na parede para uma dada diferença entre a temperatura média do fluido e a da parede do tubo. Por isso o uso do coeficiente de transferência de calor é muito conveniente nas aplicações de engenharia e sua determinação, em várias condições de escoamento, foi objeto de numerosas investigações experimentais e analíticas. Trataremos da relação entre o coeficiente de transferência de calor h(z) a partir de T(r,z). Igualando (4.21 a) e (4.21 b), obtemos: Rpareder rzTwzTm zrTk zh = ∂− ∂ −= )()( ),( )( (4.22 a) onde Tm(z) e Tw(z), num tubo circular de raio R, são determinadas por 2 0 0 0 2),()( 2)( 2),()( )( Ru rdrzrTru rdrru rdrzrTru zTm m R R R π π π π ∫ ∫ ∫ == (4.22 b) Rparederw zrTzT = = ),()( (4.22 c) A temperatura média do fluido Tm(z) é uma definição baseada no transporte de energia térmica com o movimento global do fluido à medida que ele passa através da seção transversal, pois a grandeza "" utc pρ representa o fluxo de energia por unidade de área. Num fluido incompressível, de propriedades constantes, o termo ρ cp cancela-se no numerador e no denominador de (4.22 b). A Eq. (4.22 a) pode ser escrita em termos da temperatura adimensional ),( zrθ definida pela Eq. (4.20 a) como Rparederr zr kzh =∂ ∂ −= ),( )( θ (4.23 a) Na região termicamente desenvolvida, a temperatura adimensional )(rθ é independente de z. Então, a equação (4.23 a) se reduz a Apostila de Transferência de Calor e Massa 47 Rparederdr rd kh = −= )(θ (4.23 b) onde )(rθ é definida pela Eq. (4.20 b). Este resultado implica que, na região termicamente desenvolvida,o coeficiente de transferência de calor não varia com a distância ao longo do tubo; e vale para a transferência de calor sob condições de fluxo de calor constante na parede, ou temperatura constante na parede. As definições dadas pela Eq. (4.23) podem ser empregadas para desenvolver expressões do coeficiente de transferência de calor se a distribuição da temperatura adimensional no fluido, definida pela equação (4.20 b), for conhecida. 4.3) PARÂMETROS ADIMENSIONAIS Neste capítulo foram introduzidos parâmetros adimensionais, como os números de Reynolds, de Prandtl, de Nusselt e de Stanton, e vamos discutir o significado físico destes parâmetros adimensionais na interpretação das condições associadas com o escoamento do fluido, ou com a transferência de calor. Consideremos o número de Reynolds baseado em um comprimento característico L, reordenado na forma === ∞ ∞∞ 2 2 / / Re Lvu Lu v Lu força de inércia/força viscosa (4.24 a) Então, o número de Reynolds representa a razão entre a força de inércia e a força viscosa. Este resultado implica que as forças viscosas são dominantes nos números de Reynolds pequenos, e as forças de inércia são dominantes nos números de Reynolds grandes. Lembremo-nos de que o número de Reynolds foi utilizado como critério para determinar a transformação do escoamento laminar em turbulento. O número de Prandtl pode ser escrito na forma ==== x v ckk c p p )/( Pr ρ ρµµ difusividade molecular do momento/difusividade molecular do calor (4.24 b) Representa, portanto, a importância relativa do transporte de momento e energia no processo de difusão. Nos gases com Pr ≅ 1, a transferência de momento e energia pelo processo de difusão é equilibrada. Nos óleos, Pr > 1 , e daí se vê que a difusão de momento é muito maior do que a difusão de energia; mas, nos metais líquidos, Pr<1, e a situação é inversa. Lembramos que, na discussão do desenvolvimento das camadas limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana, a espessura relativa das camadas limite cinética e térmica dependia da grandeza do número de Prandtl. Considere o número de Nusselt, baseado em um comprimento característico L, reordenado na forma Apostila de Transferência de Calor e Massa 50 Aqui, a velocidade u(r) é sempre uma grandeza positiva no escoamento na direção positiva dos z, mas o gradiente de pressão dP/dz é uma grandeza negativa. A velocidade média do escoamento um, sobre a seção reta do tubo, é determinada a partir da definição, e fica dz dPR drrru R u R m ∫ −== 0 2 2 8 )(2 1 µ π π (5.5) uma vez que u(r) é dada pela Eq. (5.4). O significado físico da velocidade média um , implica que a vazão através do tubo é determinada por vazão = (área da seção reta) um = muR 2π Agora, das Eqs. (5.4) e (5.5), obtemos ])(1[2 )( 2 R r u ru m −= (5.6) Esta relação mostra que o perfil de velocidades u(r)um na região hidrodinamicamente desenvolvida é parabólico. A velocidade uo no eixo do tubo é obtida da Eq. (5.4) quando se faz r = 0; dz dPR u µ4 2 0 −= (5.7) Uma comparação entre os resultados dados pelas Eqs. (5.5) e (5.7) mostra que a velocidade no eixo do tubo é igual ao dobro da velocidade média do escoamento: muu 20 = (5.8) O fator de atrito f no escoamento laminar, no interior de um tubo circular, na região hidrodinamicamente desenvolvida, é determinado quando se obtém o gradiente da velocidade a partir da Eq. (5.6) D u R u dr rdu mm Rr 84)( −=−= = (5.9) e se introduz este resultado na Eq. (5.1), Re 6464 == Du f mρ µ (5.10 a) onde D é o raio interno do tubo e v DuDu mm == µ ρ Re (5.10 b) é o número de Reynolds. Apostila de Transferência de Calor e Massa 51 Na literatura, o fator de atrito também se define com base no raio hidráulico. Se fr representa o fator de atrito baseado no raio hidráulico, ele está relacionado com o fator de atrito definido pela Eq. (5.10 a) por f = 4fr. Isto é, a Eq. (5.10 a), na representação de fr, seria fr = l6/Re, onde µρ /Re Dum= . Este resultado recebe muitas vezes o nome de relação de Hagen-Poiseuille para o fator de atrito em tubos, em virtude dos dados experimentais de Hagen ulteriormente verificados teoricamente por Poiseuille. 5.1.2) Coeficiente de transferência de calor. O coeficiente de transferência de calor no escoamento interior de um tubo circular, na região termicamente desenvolvida, está relacionado com o gradiente da temperatura adimensional nas paredes pela Eq. (4.23 b) . Rrdr rd kh = −= )(θ (5.11) onde θ (r) é definida pela Eq. (4.20b): )()( )(),( )( zTzT zTzrT r wm w − − =θ (5.12) Para determinar h, é necessária a distribuição de temperaturas no escoamento, o que pode ser estabelecido a partir da solução da equação da energia. . Na região hidrodinamicamente desenvolvida, a equação da energia, no escoamento laminar de um fluido incompreensível, dentro de um tubo circular, com dissipação viscosa da energia desprezível pela equação: 2 2 )( 1 )( 1 z T r T r rrz T ru ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ α (5.13) Em geral, esta é uma equação diferencial parcial para determinar a distribuição de temperaturas no escoamento, e sua solução é bastante complicada. Entretanto, na convecção forçada, no interior de um tubo circular, na região termicamente desenvolvida, com temperatura da parede constante, ou com fluxo de calor na parede constante, pode-se demonstrar que o termo do gradiente de temperatura axial, na Eq. (5.13), reduz-se a uma constante, isto é, = ∂ ∂ z T constante Então, a equação diferencial parcial (5.13) se reduz a uma equação diferencial ordinária no perfil de temperaturas plenamente desenvolvido T®, pois o termo 22 / zT ∂∂ se anula para zt ∂∂ / constante. Vamos examinar agora o problema da transferência de calor com a condição de contorno, fluxo de calor constante na parede, ou temperatura constante na parede, na convecção forçada, no interior de um tubo circular. 5.1.3) Fluxo de calor constante. Demonstra-se que, na condição de fluxo de calor constante na parede, o gradiente de temperatura na direção do escoamento, em qualquer Apostila de Transferência de Calor e Massa 52 ponto do fluido, é constante e igual ao gradiente axial da temperatura média do fluido. Isto é, == ∂ ∂ dz zdT z zrT m )(),( constante (5.14) Este resultado implica que, com o fluxo de calor constante na parede, a temperatura média do escoamento Tm(z), na região termicamente desenvolvida, cresce linearmente com a distância z ao longo do tubo. Quando a Eq. (5.14) for introduzida na Eq. (5.13), o termo 22 / zT ∂∂ se anula para zt ∂∂ / constante, e se obtém a seguinte equação diferencial ordinária para T(r): dz zdT ru dr dT r dr d r m )( )( 1 )( 1 α = (5.15) Esta equação escreve-se em termos da temperatura adimensional θ (r), definida pela Eq. (5.12), como )]()([ )( )( 1 )( 1 zTzT dz zdT ru dr d r dr d r wm m −= α θ -1 (5.16 a) onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido u(r) é dado pela Eq. (5.6) ])(1[2)( 2 R r uru m −= (5.16 b) As Eqs. (5.16 a) e (5.16 b) são combinadas e escritas mais compactamente como ])(1[)( 2 R r Ar dr d r dr d −= θ em 0 < r < R (5.17 a) onde a constante A é definida por = − = dz zdT zTzT u A m wm m )( )]()([ 2 α constante (5.17 b) As condições de contorno para a Eq. (5.17) são 0= dr dθ em r = 0 (5.18 a) 0=θ em r = R (5.18 b) A primeira condição de contorno afirma que θ é simétrica em torno do eixo do tubo, e a segunda resulta da definição de θ dada pela Eq. (5.12), pois θ deve ser zero nas paredes. Apostila de Transferência de Calor e Massa 55 )/ln( 21 21 ln TT TT T ∆∆ ∆−∆ =∆ (5.28 a) enquanto a média aritmética (MA) de 21 TeT ∆∆ é definida como ( )212 1 TTTMA ∆+∆=∆ (5.28 b) 5.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS COM DIVERSAS SEÇÕES RETAS TRANSVERSAIS O número de Nusselt e o fator de atrito no escoamento laminar em dutos com diversas seções retas transversais foram determinados na região em que os perfis de velocidade e temperatura estão plenamente desenvolvidos. Se a seção transversal do duto não for circular, então a transferência de calor e o fator de atrito, em muitos casos de interesse prático, podem ser baseados no diâmetro hidráulico Dh, definido como P A D ch 4 = (5.29) onde Ac = Área de seção reta transversal do escoamento e P = perímetro molhado. Então, os números de Nusselt e de Reynolds, nestes casos são K hD Nu h= (5.30 a) v Du hm=Re (5.30 b) 5.2.1) Comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica Há interesse prático em conhecer o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh e o comprimento da entrada térmica Lt no escoamento no interior de dutos. O comprimento da entrada hidrodinâmica Lh é definido, um tanto arbitrariamente, como a distância, a partir da entrada do duto, necessária para que se atinja uma velocidade máxima correspondente a 99% da grandeza plenamente desenvolvida. O comprimento da entrada térmica Lt é definido, um tanto arbitrariamente, como a distância, a partir do começo da seção de transferência de calor, necessária para se atingir um número de Nusselt local Nux igual a 1,05 vez o valor plenamente desenvolvido. Se a transferência de calor para o fluido principia na entrada do fluido no duto, tanto a camada limite cinética como a camada limite térmica começam a se desenvolver imediatamente, e Lh e Lt são ambos medidos a partir da boca do tubo, como está na Fig. 5.1a. Em algumas situações, a transferência de calor para o fluido começa após uma seção isotérmica acalmante, como está na Fig. 5.1b. Neste caso, Lh é medido a partir da entrada do duto, pois a camada limite cinética começa a se desenvolver imediatamente após a Apostila de Transferência de Calor e Massa 56 entrada do fluido no duto, mas Lt é medido a partir da posição onde se inicia a transferência de calor, pois a camada limite térmica começa a se desenvolver na seção de transferência de calor. Os comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica, no escoamento laminar no interior de condutos, foram dados por vários autores. Apresentamos na Tabela 5.1 o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh no escoamento laminar no interior de condutos de várias seções transversais, baseados na definição mencionada anteriormente. Incluímos nesta tabela os comprimentos da entrada térmica nas condições de contorno temperatura da parede constante e fluxo de calor constante nas paredes, num escoamento hidrodinamicamente desenvolvido, mas termicamente em desenvolvimento. Nesta tabela, Dh é o diâmetro hidráulico e o número de Reynolds está baseado neste diâmetro. Notamos, na Tabela 5.1, que, numa dada geometria, o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh depende apenas do número de Reynolds, enquanto o comprimento da entrada térmica Lt depende do número de Péclét, Pe, que é igual ao produto dos números de Reynolds e Prandtl. Por isso, líquidos que têm um número de Prandtl da ordem da unidade têm Lh e Lt com grandezas comparáveis; nos fluidos como os óleos, que têm um número de Prandtl grande, temos Lt>Lh e, nos metais líquidos, que tem um número de Prandtl pequeno, temos Lt<Lh. Fig. 5.1 comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica: (a) a transferência de calor se inicia na boca do duto; (b) a transferência de calor se inicia depois de uma seção isotérmica. Apostila de Transferência de Calor e Massa 57 Tab. 5.1 Comprimento da entrada hidrodinâmica e térmica Lh Lt no escoamento laminar no interior de dutos Os comprimentos da entrada térmica, dados na Tabela 5.1, valem no escoamento hidrodinamicamente desenvolvido e se desenvolvendo termicamente. Como discutiremos mais tarde, em muitos casos os perfis de velocidades e de temperaturas se desenvolvem simultaneamente na região de entrada. Este escoamento é o escoamento com desenvolvimento simultâneo. Os comprimentos da entrada térmica no escoamento com desenvolvimento simultâneo também dependem do número de Prandtl. Por exemplo, no escoamento que se desenvolve simultaneamente dentro de um tubo circular, com temperatura constante nas paredes, o comprimento da entrada térmica Lt é 037,0= DPe Lt com Pr =0,7 que deve ser comparada com ∞→= Pr..033,0 com DPe Lt que corresponde ao número dado na tabela 5.1 para o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido e termicamente em desenvolvimento. Portanto, Lt cresce quando o número de Prandtl diminui e é uma função fraca de número de Prandtl para Pr > 0,07. 5.3 ESCOAMENTO TURBULENTO NO INTERIOR DE DUTOS O escoamento turbulento é importante nas aplicações de engenharia, pois aparece na grande maioria dos problemas de escoamento de fluido e transferência de calor encontrados na prática da engenharia. Apostila de Transferência de Calor e Massa 60 Fig. 5.3. Fator de atrito para ser utilizado na relação 2/.)(/( 2mUDLfP ρ=∆ para a perda de carga em um escoamento no interior de tubos circulares. ( De Moody.) 5.4) COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Uma vez que a análise de transferência de calor no escoamento turbulento é muito mais elaborada do que no escoamento laminar, foi desenvolvido um grande número de correlações empíricas para determinar o coeficiente de transferência de calor. Apresentaremos algumas destas correlações. 5.4.1) Equação de Colburn. Nu = 0,023 Re0,8 Pr1/ 3 (5.33) onde Nu = hD/ K, Re = ,/ vDmu e Pr = αν / . A equação (5.33) pode ser aplicada quando 0,7 < Pr < 160 Re > 10000 L/ D > 60 em tubos lisos 5.4.2) Equação de Dittus-Boelter. Nu = 0,023 Re0,8 Pr n (5.34) onde n = 0,4 no aquecimento (Tw > Tb) e n = 0,3 no resfriamento (Tw < Tb) do fluido. A faixa de aplicabilidade é a mesma que a da equação de Colburn. 5.4.3) Equação de Sieder e Tate. Nas situações que envolvem grande variações de propriedades: Nu = 0,027 Re0,8 Pr1/ 3 14,0.. )/( wb µµ (5.35) Esta equação é aplicável quando 0,7 < Pr < 16700 Re > 10000 L/ D > 60 em tubos lisos Todas as propriedades são estimadas na temperatura média global do fluido Tb, exceto wµ que é calculado à temperatura da parede. 5.4.4) Equação de Petukhov. As relações que acabamos de apresentar são relativamente simples, mas dão um erro máximo de ± 25% na faixa de 0,67 < Pr < 100 e podem ser aplicadas no escoamento turbulento em dutos lisos. Uma correlação mais precisa, que é também aplicável em dutos Apostila de Transferência de Calor e Massa 61 rugosos, foi desenvolvida por PetuKhov e colaboradores no Instituto de Altas Temperaturas de Moscou: 2/1 3/2 8 )1(Pr7,1207,1 8 Pr.Re       −+=       = f X f X N n w b u µ µ (5.36) n = 0,11 aquecimento com Tw uniforme (Tw > Tb) 0,25 esfriamento com Tw uniforme ( Tw < Tb) 0 fluxo de calor uniforme na parede ou gases As Eqs. (5.36) são aplicáveis no escoamento turbulento plenamente desenvolvido na faixa 104 < Re < 5x106 0,5 < Pr < 200 com erro de 5 a 6% 0,5 < Pr < 2000 com erro de 10% 0,08 < b w µ µ < 40 Notamos que b w µ µ < 1 quando o líquido for aquecido e b w µ µ > 1 quando o líquido for resfriado. Todas as propriedades físicas, exceto w µ , são estimados na temperatura média global. O fator de atrito f , nas equações (5.36), pode ser estimado pelo diagrama de Moody para tubos lisos, ou obtido da carta de Moody (fig. 5.3) para tubos lisos ou rugosos. 5.4.5) Equação de Nusselt. As relações anteriores são aplicáveis no domínio L/D > 60. Nusselt estudou os dados experimentais com L/D de 10 a 100 e concluiu que h, neste domínio, é aproximadamente proporcional a (D/L)1/ 8. Daí substituiu a Eq. (5.35) por Nu 40010PrRe036,0 055,0 3/18,0 <<      = D L em L D (5.37) onde L é o comprimento medido do princípio da seção de transferência de calor, e as propriedades do fluido são calculadas à temperatura média global do fluido. 5.4.6) Equação de Notter e Sleicher. O número de Nusselt é determinado teoricamente a partir da solução da equação da energia com o emprego de um perfil apropriado de velocidades no escoamento turbulento. O número de Nusselt resultante, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, foi expresso na forma Apostila de Transferência de Calor e Massa 62 ba PrRe 0,016 5 Nu += (5.38) onde a= 0,88 - Pr4 24,0 + e b = 0,33 + 0,5e-0,6.Pr que é aplicável em 0,1 < Pr < 104 104 < Re < 106 25> D L A Eq. (5.38) correlaciona bem os dados experimentais e proporciona uma representação mais exata do efeito do número de Prandtl. Pode ser preferida à Eq. (5.37). 5.5) TRANSFERÊNCIA DE CALOR NOS METAIS LÍQUIDOS Os metais líquidos são caracterizados pelo número de Prandtl muito baixo, variando de cerca de 0,02 a 0,003. Por isso, as correlações de transferência de calor das seções anteriores não se aplicam aos metais líquidos, pois sua faixa de validade não se estende a valores tão baixos do número de Prandtl. O Lítio, o Sódio, o Potássio, o Bismuto e o sódio-potássio estão entre os metais comuns de baixo ponto de fusão que são convenientes para a transferência de calor. Há interesse, para a engenharia na transferência de calor em metais líquidos, pois se podem transferir grandes quantidades de calor em altas temperaturas com diferença de temperatura relativamente baixa entre o fluido e a superfície da parede do tubo. As altas taxas de transferência de calor resultam da alta condutividade dos metais líquidos, comparada com a condutividade dos líquidos e gases ordinários. Por isso, são particularmente atraentes como meio de transferência de calor nos reatores nucleares e em muitas outras aplicações em alta temperatura e com elevado fluxo de calor. A principal dificuldade no emprego dos metais líquidos está em seu manuseio. São corrosivos e alguns podem provocar violentas reações quando entram em contato com o ar ou a água. Como se discutiu no Cap. 4, quando Pr<1, como nos metais líquidos, a camada limite térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética. Isto implica que o perfil de temperaturas, e, portanto, a transferência de calor nos metais líquidos não é influenciada pela subcamada laminar ou pela viscosidade. Desse modo, nesses casos, espera-se uma dependência bastante fraca entre a transferência de calor e o número de Prandtl. Por isso, a maior parte das correlações empíricas da transferência de calor com metais líquidos foi estabelecida fazendo-se o gráfico do número de Nusselt contra o número de Péclét, Pe = Re.*Pr. Esta situação, discutida inicialmente com referência ao escoamento sobre uma placa plana, também se aplica ao escoamento num tubo circular, como está ilustrado na figura 5.4. Nesta figura os números de Nusselt no aquecimento de metais líquidos em tubos longos, sujeitos a um fluxo de calor constantes nas paredes, compiladas de várias fontes por Lubarsky e Kaufman, estão plotados contra os números de Péclét. Os dados parecem ter boa correlação, mas há também espalhamento. A explicação está nas dificuldades inerentes às experiências com metais líquidos, especialmente em ter que se tratar com altas temperaturas e diferenças de temperatura muito pequenas. O fato de alguns metais líquidos não molharem a superfície Apostila de Transferência de Calor e Massa 65 Apresentaremos primeiro uma análise aproximada da determinação da distribuição de temperaturas na camada limite térmica e, a seguir, o coeficiente de transferência de calor no caso especial em que Pr < 1, isto é, nos metais líquidos. A razão para considerar primeiro os metais líquidos está na simplicidade da análise neste caso particular; além disso, ela nos ajudará a aprofundar a compreensão do papel da camada limite térmica na transferência de calor. O caso de Pr = 1 (gases), que envolve análise mais elaborada, será considerado mais tarde. 6.1.1) Metais líquidos num escoamento laminar O número de Prandtl é muito baixo nos metais líquidos; por isso, a camada limite térmica é muito mais espessa que a camada limite cinética (isto é,δt> δ). Fig. 6.1 Camadas limites cinética e térmica na transferência de calor em metais líquidos, Pr <1. A Fig. 6.1 ilustra as camadas limites cinética e térmica quando ambas começam a se desenvolver a partir da borda frontal da placa plana. Sejam T∞ e u∞ a temperatura e a velocidade do fluido, respectivamente, fora das camadas limites; Tw é a temperatura da superfície da placa. Admitiremos um fluido incompressível, de propriedades constantes, num escoamento bidimensional, estacionário, com dissipação viscosa de energia desprezível. A equação da energia, que governa a distribuição de temperaturas T(x, y) na camada limite térmica, é obtida pela equação: 2 2 y T y T v x T u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ α (6.2) Para conveniência de análise, definimos uma temperatura adimensional θ (x, y) como ( ) w w TT TyxT yx − − = ∞ ),( ,θ (6.3) onde θ(x, y) varia de zero na superfície da parede até a unidade na extremidade da camada limite térmica. Então, a equação da energia é escrita em termos de θ(x, y) como Apostila de Transferência de Calor e Massa 66 2 2 yy v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ θ α θθ para x > 0 (6.4) e as condições de contorno são θ = 0 em y = 0 (6.5 a) θ = 1 em y = )x(tδ (6.5 b) onde as Eqs. (6.5 a) e (6.5 b) dão, respectivamente, a temperatura na superfície da parede igual a Tw, e a temperatura na fronteira da camada limite térmica, com espessura )x(tδ , igual a T ∞ . A análise exata deste problema de temperatura é bastante elaborada, pois as componentes da velocidade u e v devem ser determinadas a partir do problema cinético antes que a equação da energia (6.4) possa ser resolvida. Entretanto, uma solução aproximada deste problema, com o método integral, é relativamente simples. Os passos básicos são os seguintes: A equação da energia (6.4) é integrada em relação a y na camada limite térmica, e a componente da velocidade v(x, y) é eliminada por meio da equação da continuidade. A equação resultante, chamada a equação integral da energia, é dada por t y yem dy d dyu dx d t δ θ αθ δ ≤≤=     − = ∫ 0.)1( 0 0 (6.6) onde )(xtt δδ ≡ ),(),( yxeyxuu θθ ≡≡ . Até aqui, a análise e a Eq. (6.6) são exatas, mas esta equação não pode ser resolvida, pois ela envolve três incógnitas )x(tδ ),(),,( yxyxu θ . Por isso, precisamos de relações adicionais. Neste estágio são introduzidas aproximações a fim de desenvolverem-se expressões analíticas simples para u(x, y) e θ (x, y) coerentes com a realidade física. Uma vez que a camada limite cinética é muito delgada, a velocidade do escoamento em uma grande porção da camada limite térmica é uniforme e igual a u∞, como está ilustrado na Fig. 6.1. Por isso, numa primeira aproximação, o perfil de velocidades é tomado como u (x, y) = u ∞ = constante (6.7) O perfil de temperaturas θ (x, y) pode ser representado como uma aproximação polinomial dentro da camada limite térmica. Suponhamos uma aproximação cúbica para θ (x, y), com a forma θ (x,y)= c0 +c1(x)y + c2(x)y 2 + c3(x)y 3 )x(y0em tδ≤≤ (6.8) e que as quatro condições necessárias para determinar os quatro coeficientes tenham a forma Apostila de Transferência de Calor e Massa 67 θ = 0 em y = 0 (6.9 a) θ = 1 em y = tδ (6.9 b) 0 y = ∂ ∂θ em y = tδ (6.9 c) 0 y2 2 = ∂ ∂ θ em y = 0 (6.9 d) Notamos que as duas primeiras condições são as condições de contorno, a terceira está baseada na definição da camada limite térmica, e a última é obtida pela estimativa da equação da energia (6.4) em y = 0, observando-se que u = v = 0 na superfície da parede. A aplicação das condições (6.9) à Eq. (6.8) dá o perfil de temperaturas na forma 3 tt y 2 1y 2 3 )y,x(       −      = δδ θ (6.10) Os perfis de velocidades e de temperaturas, dados pelas Eqs. (6.7) e (6.10), são introduzidos na equação integral da energia (6.6). Obtemos t 0 3 tt 2 3 dy y 2 1y 2 3 1u dx d t δ α δδ δ =                       +−∫ ∞ (6.11) onde o segundo membro vem da relação [ ( ).2/3]y/ t0y δθ =∂∂ = Quando se faz a integração em relação a y, a equação diferencial ordinária para a espessura tδ da camada limite térmica: t t 2 3 dx d 8 3 u δ αδ =∞ ou (6.12) dx u 4 d tt ∞ = α δδ A integração da Eq. (6.12), com as condições 0t =δ em x = 0, dá a espessura da camada limite térmica como x u 82 t ∞ = α δ (6.13 a) ou ∞ = u x8 t α δ (6.13 b) Apostila de Transferência de Calor e Massa 70 0=θ em y = 0 (6.22 a) 1=θ em y = )(xtδ (6.22 b) onde θ é definido pela Eq. (6.3). Uma vez que a análise exata deste problema de temperatura é bastante complicada, novamente consideremos a solução pelo método integral: 1. A equação da energia (6.21) é integrada em relação a y sobre a camada limite térmica, e a componente de velocidade v(x,y) é eliminada por meio da equação da continuidade. A equação integral da energia é determinada como ( ) t y yem y dyu dx d t δ θ αθ δ ≤≤ ∂ ∂ =     − = ∫ 01 0 0 (6.23) que é a mesma Eq. (6.6). Esta equação não pode ser resolvida, pois envolve três incógnitas, ),(),,(),( yxyxuxt θδ . Por isso precisamos de relações adicionais. 2. Introduzimos aproximações para desenvolver expressões analíticas de u(x,y) e de )y,x(θ . Para o perfil de velocidades, u(x,y), escolhemos uma aproximação polinomial cúbica e tomamô-la na forma 3 y 2 1y 2 3 u )y,x(u       −      = ∞ δδ (6.24) Para o perfil de temperaturas )y,x(θ , escolhemos um perfil cúbico e imediatamente obtemos a sua expressão pela Eq. (6.10) 3 tt y 2 1y 2 3 )y,x(       −      = δδ θ (6.25) 3. Os perfis de velocidades e de temperaturas dados pelas Eqs. (6.24) e (6.25), são levados á equação integral da energia (6.23). Obtemos t 3 tt 3 t 0 2 3 dy y 2 1y 2 3 1 y 2 1y 2 3 u dx d t δ α δδδδ δ =                       +−               −∫∞ (6.26 a) ∞ =                 −+−+−∫ u2 3 dyy 4 1 y 4 3 y 2 1 y 4 3 y 4 9 y 2 3 dx d t 0 6 3 t 3 4 t 3 3 3 4 3 t 2 t t δ α δδδδδδδδδδ δ (6.26 b) A integração em relação a y é então realizada: ∞ =        −+−+− u2 3 28 1 20 3 8 1 20 3 4 3 4 3 dx d t 3 4 t 3 4 t 3 4 t 2 t 2 t 2 t δ α δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ (6.27) Agora, uma nova variável )x(∆ é definida como a razão entre a espessura da camada limite térmica e a espessura da camada limite cinética: Apostila de Transferência de Calor e Massa 71 )x( )x( )x( t δ δ ∆ = (6.28) Então, a Eq.(6.27) se torna: ∞ =            − u2 3 280 3 20 3 dx d 42 ∆δ α ∆∆δ (6.29) Consideraremos agora a situação em que a espessura da camada limite térmica é menor do que a espessura da camada limite cinética δ , como está ilustrado na Fig 6.2, para Pr>1. Então, ∆ <1, e na Eq. (6.29), o termo (3/280) 4∆ pode ser desprezado em comparação com (3/20) 2∆ . A Eq. (6.29) é simplificada para ∞ = u 10 )( dx d 2 α∆δ∆δ (6.30) Feita a derivação em relação a x, ∞ = ∆ ∆+ ∆ ∆ udx d dx d α δδ 10 2 322 ou ∞ =+ u 10 dx d dx d 3 2 3 3 2 αδδ∆ ∆ δ (6.31) uma vez que dx d 3 1 dx d 32 ∆∆∆ = A espessura da camada limite cinética δ foi determinada como ∞ = u vx 13 2802δ (6.32 a) e derivando obtemos ∞ = u v 13 140 dx dδ δ (6.32 b) A substituição das equações (6.32) na equação (6.31) leva a v56 39 4 3 dx d x 3 3 α ∆ ∆ =+ (6.33) Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem em 3∆ e sua solução geral é escrita como v14 13 Cx)x( 433 α ∆ += − (6.34) Apostila de Transferência de Calor e Massa 72 A constante de integração C é determinada pela condição de contorno 0t =δ em x = xo, que é equivalente a 0)x( =∆ em x = xo (6.35) Encontraremos                 −= − 4 3 013 x x 1Pr 14 13 )x(∆ (6.36) onde == α v Pr número de Prandtl Se admitimos que a transferência de calor para o fluido principia na borda frontal da placa, fazemos 0x0 → e a Eq. (6.36) simplifica-se para 3 1 3 1 3 1 t Pr976,0Pr 14 13 )x( )x( )x( −− =      == δ δ ∆ (6.37) Esta relação mostra que a razão entre a espessura da camada limite térmica e da cinética, num escoamento laminar sobre uma placa plana, é inversamente proporcional à raiz cúbica do número de Prandtl. A substituição de )x(δ , da Eq. (6.32 a), na Eq. (6.37) dá a espessura da camada limite térmica como 3121 x t PrRe x 53,4)x( =δ (6.38) onde v xu Re x ∞= Na aproximação polinomial cúbica considerada aqui para )y,x(θ , o coeficiente de transferência de calor local h(x) foi relacionado anteriormente com a espessura da camada limite térmica )x(tδ , pela Eq. (6.16). )x( k 2 3 )x(h tδ = (6.39) Introduzindo-se )x(tδ , da Eq. (6.38), na Eq. (6.39), encontra-se o número de Nusselt local Nux, 2/1 x 3/1 x RePr331,0k x)x(h Nu == com Rex<5*10 5 (6.40) Esta solução aproximada é notavelmente próxima da solução exata deste problema, dada por Pohlhausen, como Apostila de Transferência de Calor e Massa 75 k Lh Nu mm = (6.49 b) Depois de feitas a integrações, o número de Nusselt médio nas regiões de escoamento Laminar e turbulento é ( ) 5,0c3/18,0c8,0L43,0m RePr664,0ReRePr036,0Nu +−= (6.50) válida para ReL > Rec, onde ReL = u ∞ L/v e Rec = número de Reynolds crítico para a transição. Evidentemente, o Num, dado pela Eq. (6.50), depende do valor do número de Reynolds crítico da transição do escoamento laminar para o turbulento. O nível da turbulência da corrente livre afeta a transição. Quando há geração elevada da turbulência na corrente livre, a transição para o escoamento turbulento ocorre em um número de Reynolds crítico mais baixo. Entretanto, se se tomar cuidado para eliminar a turbulência da corrente livre, retarda-se a transição para o escoamento turbulento. Com o número de Reynolds crítico Rec = 2 * 10 5, a Eq. (6.50) se torna ( ) 3/18,0L43,0m Pr29717400RePr036,0Nu +−= (6.51) O último termo do segundo membro pode ser aproximado por 43,03/1 Pr297Pr297 ≅ e a correção de viscosidade pode ser introduzida multiplicando-se o segundo membro da expressão resultante por 25,0w )/( µµ ∞ . Então, obtém-se a seguinte expressão: ( )9200RePr036,0Nu 8,0L43,0m −= 25,0w )/( µµ ∞ (6.52) Todas as propriedades físicas são calculadas na temperatura da corrente livre, exceto wµ , que é calculado na temperatura da parede. Nos gases, a correção de viscosidade é desprezível, e, neste caso, as propriedades físicas são calculadas na temperatura pelicular. A Eq. (6.52) dá o número de Nusselt médio nas camadas limite laminar e turbulenta, sobre uma placa plana, com ReL > 2 *10 5. Foram propostas por Whitaker e usadas para correlacionar os dados experimentais de vários investigadores com o ar, a água e óleos, cobrindo as seguintes faixas: 2 * 105 < ReL < 5,5 * 10 6 0,70 < Pr < 380 0,26 < µµ /∞ < 3,5 A Eq. (6.52) relaciona os dados experimentais razoavelmente bem, quando a turbulência da corrente for pequena. Se estiver presente turbulência de alto nível na corrente livre, a Eq. (6.52), sem a constante 9.200, correlaciona os dados razoavelmente bem. 6.2) ESCOAMENTO TRANSVERSAL A UM CILINDRO CIRCULAR ISOLADO O escoamento transversal a um cilindro circular isolado é encontrado freqüentemente na prática, mas a determinação dos coeficientes de arraste e de transferência de calor é assunto muito complicado devido à complexidade dos padrões do escoamento em torno de um Apostila de Transferência de Calor e Massa 76 cilindro. A Fig. 6.3 ilustra as características do escoamento em torno de um cilindro circular, evidentemente, elas dependem do número de Reynolds, definido como v Du Re ∞= (6.53) onde D é o diâmetro do cilindro e ∞u é a velocidade da corrente livre. Para um número de Reynolds menor do que 4, aproximadamente, o escoamento não se separa e o campo de velocidades pode ser analisado pela solução das equações do movimento. Para números de Reynolds acima de 4, aproximadamente, os turbilhões começam na região da esteira e a análise da distribuição de velocidades e de temperaturas em torno do cilindro, com Re > 4, torna-se muito complicada. 6.2.1) Coeficiente de arraste Considere um escoamento à velocidade ∞u , transversal a um cilindro circular de diâmetro D, e seja F a força de arraste atuando no comprimento L do cilindro. O coeficiente de arraste cD é definido como 2 u c LD F 2 D ∞= ρ (6.54) Fig. 6.3 Escoamento em torno de um cilindro circular, em vários números de Reynolds Aqui, LD representa a área normal ao escoamento. O coeficiente de arraste cD, definido pela Eq. (6.80), é o valor médio do coeficiente de arraste local calculado sobre a circunferência do cilindro. Portanto, dado cD, a força de arraste F atuando sobre o comprimento L do cilindro pode ser calculada de acordo com a Eq. (6.54). A Fig. 6.5 mostra o coeficiente de arraste cD no escoamento transversal a um cilindro isolado. O significado físico da variação de cD com o número de Reynolds é mais bem percebido se examinarmos os resultados da Fig. 6.5 relacionando-os aos esboços da Fig. 6.4. Com Re < 4, o arraste é causado somente pelas forças viscosas, pois a camada limite permanece aderente ao cilindro. Na região 4 < Re < 5.000, formam-se turbilhões na esteira; por isso, o arraste é devido parcialmente às forças viscosas e parcialmente à formação da esteira, isto é, à baixa pressão provocada pela separação do escoamento. Na região 5 x 103 < Re < 3,5 x 105, o arraste é provocado predominantemente pelos vórtices muito turbulentos na esteira. A redução repentina do arraste a Re = 3,5 x 105 é provocada pela transformação súbita da camada limite em turbulenta, fazendo com que o ponto de separação do escoamento desloque-se para a parte posterior do cilindro, o que reduz a dimensão da esteira, e daí o arraste. Apostila de Transferência de Calor e Massa 77 Fig.6.4 Coeficiente de arraste no escoamento transversal a um cilindro circular isolado. 6.2.2) Coeficiente de transferência de calor A Fig. 6.6 mostra a correlação de MacAdams para o coeficiente de transferência de calor médio hm, no resfriamento, ou no aquecimento, do ar que flui transversalmente a um cilindro isolado. As propriedades sâo estimadas a ( T ∞ + Tw)/2. Esta correlação não mostra explicitamente a dependência entre os resultados e o número de Prandtl, pois os gases têm um número de Prandtl da ordem da unidade. Por isso, foram desenvolvidas correlações mais elaboradas por diversos pesquisadores, a fim de incluir o número de Prandtl e daí estender a aplicabilidade dos resultados para fluidos que não sejam gases. Whitaker estabeleceu uma correlação entre o coeficiente de transferência de calor médio hm no escoamento de gases ou de líquidos, transversal a um cilindro isolado, dada por 25,0 w 4,03/25,0m m Pr)Re06,0Re4,0(k Dh Nu       +=≡ ∞ µ µ (6.55) que concorda com os dados experimentais dentro de ± 25% nas faixas seguintes
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