Baixe Derivadas direcionais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Agrícola, somente na Docsity! UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANSCICO – UNIVASF CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – PROF. LINO MARCOS Derivadas Direcionais Definição ( Derivada Direcional) A derivada de f em ),( 000 yxP na direção do versor juiuu 21 += é o número , ),(),( lim 002010 0 , 0 s yxfsuysuxf ds df s Pu −++ =      → desde que o limite exista. (Obs. o parâmetro s mede o comprimento de arco a partir de 0P na direção de u.) A derivada direcional é denotada também por 0 )( Pu fD . Definição (Vetor Gradiente) O vetor gradiente(gradiente) de ),( yxf no ponto ),( 000 yxP é o vetor       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ y f x f j y f i x f f , Obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em 0P . Na prática calculamos uma derivada direcional, usando o seguinte: Teorema (A Derivada Direcional é um Produto Escalar) Se ),( yxf for diferenciável em ),( 000 yxP , então uf ds df P Pu ⋅∇=      0 0 )( , . Ou seja, 0 )( Pu fD é o produto escalar do gradiente de f em 0P e u. Propriedades Da Derivada Direcional Lembre-se que o produto escalar de dois vetores u e v pode ser dado pela fórmula θcos|||||||| 2121 ⋅⋅=⋅ uuuu e que no cálculo da derivada direcional temos 1|||| =u , pois u é um vetor unitário (versor). Usando esta fórmula, o cálculo do produto escalar = 0 )( Pu fD θθ cos||||cos||||||||)( ⋅∇=⋅∇=⋅∇ fufuf , onde θ é o ângulo entre os vetores u e f∇ , revela as propriedades a seguir. 1. A cada ponto P do seu domínio função f aumenta mais rapidamente na direção e no sentido do vetor gradiente f∇ em P. 2. f decresce mais rapidamente na direção e no sentido do oposto ao vetor gradiente f∇ em P. 3. Qualquer direção u ortogonal ao gradiente é uma direção de variação zero em f . Pois, neste caso, θ é igual a 2 π . Direção do aumento de s Reta Reta tangente Superfície S: Figura 2. O coeficiente angular da curva C em 0P é 0 )( Pu fD Figura 1. A taxa de variação de f na direção de u no ponto 0P é a taxa com que f varia ao longo dessa reta em 0P . Vetor Gradiente e Reta Tangente a uma Curva de Nível Em todo ponto ),( 00 yx no domínio de ),( yxf , o gradiente de f é normal à curva de nível por ),( 00 yx . A equação da reta tangente à um curva de nível ( reta normal ao vetor gradiente) no ponto ),( 00 yx . É 0))(,())(,( 000000 =−+− yyyxfxxyxf yx . Estimando a Variação de uma função de f em uma direção u. Para estimar a variação do valor de uma função f quando nos movemos uma pequena distância ds a partir de um ponto 0P em uma direção específica u, use a fórmula ( ) dsufdf P ⋅⋅∇= 0)( Funções de Três Variáveis Obtemos fórmulas para funções de três variáveis adicionando os termos em z às fórmulas para a função de duas variáveis. Para uma função diferenciável ),,( zyxf e um versor kujuiuu 321 ++= ou seja, ),,( 321 uuuu = , no espaço, temos       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ z f y f x f k z f j y f i x f f ,, e 321 u z f u y f u x f uffDu ⋅ ∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ ==⋅∇= . A derivada direcional pode ser escrita novamente na forma θθ cos||||cos|||||||| ⋅∇=⋅∇=⋅∇= fufuffDu , assim as propriedades relacionadas anteriormente para funções de duas variáveis continuam valendo. Planos Tangentes e Retas Normais Definições ( Plano Tangente e Reta Normal) O plano tangente no ponto ),,( 0000 zyxP na superfície de nível czyxf =),,( é o plano que passa por 0P e é normal a 0 |Pf∇ . Este plano tem equação 0)).(()).(()).(( 000000 =−+−+− zzPfyyPfxxPf zyx A reta normal à superfície em 0P é a reta que passa por 0P e é paralela a 0 |Pf∇ . Pode-se mostrar que as equações paramétricas desta reta são      += += += tPfzz tPfyy tPfxx z y x )( )( )( 00 00 00 . A curva Figura 3. O gradiente de uma função diferenciável de duas variáveis em um ponto é sempre normal à curva de nível da função naquele ponto. Plano tangente em P0 Superfície de nível f(x,y,z) = c Figura 4. O gradiente de uma função diferenciável de três variáveis em um ponto é normal à superfície de nível da função naquele ponto. E portanto, paralelo a reta normal ao plano tangente em 0P .