utilidade e aplicação de equações recorrentes

utilidade e aplicação de equações recorrentes

(Parte 1 de 3)

Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza Moreira

Filipe Rodrigues de S. Moreira

Graduando em Engenharia Mecânica –

Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) Julho 2006

Equações Recorrentes

Introdução

Dada uma seqüência numérica, muitas vezes queremos determinar uma lei matemática, que relaciona um termo qualquer com a sua posição na seqüência. Por exemplo, numa seqüência 123(,,,...,)naaaa, ia representa i-ésimo termo e é natural que se queira relacioná-lo com o valor de i. Entende-se por termo geral da seqüência, a expressão que relaciona o valor do n-ésimo termo, com a sua respectiva posição “n” na seqüência. Segue alguns exemplos de seqüência e os seus respectivos “termos gerais”:

Em certas situações não se conhece de forma explícita, a lei de formação (ou termo geral) da seqüência apresentada, porém pode ser razoável relacionar um termo qualquer com alguns termos anteriores. Veja alguns exemplos:

Essas equações que envolvem termos da seqüência são chamadas de equações recorrentes, pois para se determinar certo termo, se recorre a termos anteriores, previamente determinados. Esse artigo tem por objetivo mostrar técnicas para a manipulação de algumas equações recorrentes particulares.

Classificação de equações recorrentes

Há infinitas formas de equações recorrentes. Veja abaixo uma equação recorrente que denota um caso mais geral de representação de equações recorrentes.

10...()nnnnaaaagkλλλλ−−++++=(I)

Na equaçãokλ podem ser constantes, termos dependentes de “k” ou ainda termos dependentes de outros termos da seqüência, ou seja, pode-se dizer que

110(,,,...,,)kkkfkaaaaλ−=. ()gk é uma função, discreta, dependente da variável “k” e (0)kakn≤≤ são termos da seqüência em questão. As equações recorrentes serão classificadas de acordo com a forma de kλ e ()gk. 1º) ()kfkλ=⇒Trata-se de uma equação linear de coeficientes variáveis 2º) kctecomplexaλ=⇒Trata-se de uma equação linear de coeficientes constantes. 3º) 110(,,,...,,)kkkfkaaaaλ−=⇒Trata-se de uma equação não linear. Sendo dessa maneira, haverá temos que serão potências de ka, ou ainda termos “cruzados” (como exemplo 1.ka−).

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4º) ()0gk≠⇒Equação recorrente não homogênea. 5º) ()0gk=⇒Equação recorrente homogênea.

Nesse artigo serão mostradas técnicas para manipulação de equações lineares e de coeficientes constantes. Algumas propriedades de soluções de equações recorrentes em que kλ∈ . Vamos enunciar algumas propriedades relacionadas à esse tipo especial de equação recorrente.

P1) Se na e nb são soluções de uma dada equação recorrente como a equação (I) então o termo geral da seqüência dada por nnnvab=± também é solução: Prova:

1 1 1 1 1 0 0 0( ) ( )( ) ( ) 0nn n n n nab a b a b a bλ λλ λ−− −⇒ ± + ± + + ± + ±=⇒
1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 00nn n n n n n nab a b a b a bλ λλ λ λ λ λ λ−− − −⇒± + ± + + ± + ± = ⇒
1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 00

nnpois a e soluçao pois b e soluçao

Logo a expressão proposta nnnvab=± é solução de (I).

P2) Se na é solução de uma dada equação recorrente como a equação (I) então a expressão recorrente dada por nnvka=também é solução, em que k é um escalar: Prova:

1 1 1 0 00nn n nvv v vλ λλ λ−−++ + + = ⇒
1 1 1 0 0( ) ( )( ) ( ) 0nn n nka ka ka kaλ λλ λ−−⇒+ + + + = ⇒
1 1 1 0 00

() 0, npois a e soluçao

Logo a seqüência proposta nnvka= é solução de (I).

P3) Se na e nb são soluções de uma dada equação recorrente como a equação (I) então a seqüência dada por nnnvkamb=± também é solução, em que k e m são escalares. Prova(exercício)

Resolução de equações de recorrência

Para se resolver equações de recorrências são desenvolvidas diversas técnicas, pois cada tipo de equação requer maneiras diferentes de serem solucionadas. Aqui o grande objetivo é determinar qual a lei, ou expressão geral da seqüência que satisfaz à equação dada. Esse trabalho vai mostrar a técnica para a resolução de um tipo particular de equação recorrente. Seja a equação (I). Propomos uma solução para essa equação.

Conjecturemos uma solução do tipo: ,0kkabqb=≠ (I). Vamos substituir essa

Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza Moreira 3 solução na equação (I) e determinar que valores de b e q vão formar a solução dessa equação. Substituindo (I) em (I) vem:

1 0 1 1 00 ( ... ) 0nn n n

polinômio em q. A essa equação polinomial em q chamamos de equação característica. A solução geral da equação recorrente será então uma combinação linear de potências n-ésimas de todas as raízes do polinômio característico. Veja!!

1 1 1 0 0( ) ( )( ) ( )n n n

nnnnnaAqAqAqAq−−=++++, em que iq é a i-ésima raiz da equação característica e iA são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais do problema.

Veja alguns exemplos:

Solução: A equação característica associada a essa equação de recorrência é:

1202aea==, montamos um sistema:

Exemplo (I) Encontrar o Termo Geral da seqüência de Fibonacci em

Solução: A equação característica associada a essa equação de recorrência é:

2 n nFA B

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Solução:

Essa equação recorrente está vinculada, como vimos, a uma equação característica, mas como podemos ver abaixo, trata-se de uma equação que possui raiz dupla. Quando isso ocorre, procedemos da seguinte maneira: A equação característica associada a essa equação de recorrência é

Como 1202aea==, montamos um sistema:

Progressões Aritméticas (PA)

Uma progressão aritmética é um tipo especial de seqüência recorrente, em que a relação entre dois termos consecutivos é dada por: 1nnaar−=+, o seja, qualquer termo de uma “PA” é calculado como sendo o valor do termo anterior somado de uma constante “r” chamada de razão. Sendo 1a o primeiro termo de uma PA e r o valor da razão, tem-se que 21aar=+. Vamos, usando as técnicas de resolução de seqüências recorrentes, encontrar a expressão geral para o n-ésimo termo dessa PA.

Como essa diferença é constante, ou seja, não depende da posição “k”, pode-se escrever que:

Aa r B r

Cálculo da soma dos Termos de uma PA

Muitos problemas, principalmente em matemática financeira, estão relacionados com a soma de temos de uma seqüência (por exemplo o montante pago em um crediário que tenha como base de cálculo a formulação por juros simples). Assim, sendo, convém que se determine uma expressão para a soma de todos os termos de uma PA (desde o primeiro até o n-ésimo). Seja uma PA, de primeiro termo 1a e razão “r”. Veja o raciocínio:

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( )( ( 1) ) ... ( ( 2) ) ( ( 1) )
( ( 1) ) ( ( 2) )( ( ) ) ... ( )
() ()() ... () ()

kn na a n n n n a r a k r a n r a n r an r a n r an k r a r a

Propriedade Aritmética

Sejam ,,kpkkpaaa−+ termos de uma PA, de ordens (k-p)-ésima, k-ésima e (k+p)- ésima, respectivamente. Logo podemos escrever kpkaapr−=− e kpkaapr+=+.

Somando os dois resultados, tem-se que 2 kp k p um termo qualquer ka, de uma PA é igual à média aritmética de dois termos quaisquer, eqüidistantes do mesmo.

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