Baixe teorema de euler e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Vasco Simões ISIG 2002 Funções Homogéneas – Teorema de Euler 1. Definição Considere-se a função ),,...( 1 nxxf : RR n a . Diz-se que f é Homogénea de grau p se ),...,(),...,( 11 n p n xxfxxf λλλ = R∈∀λ, Por exemplo, a função 23)( xxf = é homogénea de grau 2, com efeito )()3(3)( 22222 xfxxxf λλλλ === e a função )/sin(2),,( 2 zyyzxzyxf = é homogénea de grau 4. Já as funções )sin(),( xyyxf = e yxxyzzyxf ++= 2),,( não são homogéneas. Uma propriedade importante das funções homogéneas é o facto de que se conhecermos o valor da função num ponto P, então conhecemos o valor da função em qualquer ponto P’ que tenha coordenadas proporcionais ás coordenadas de P, isto é, se soubermos por exemplo que ),( yxf é homogénea de grau 3, e que 1)3,2( =f , então sabemos imediatamente o valor de f no ponto (4,6), com efeito: 818)3,2(2)32,22()6,4( 3 =⋅==⋅⋅= fff 2. Teorema de Euler para funções homogéneas Outra propriedade importante das funções homogéneas é a que vamos expor de seguida. Seja então RRf n a: homogénea de grau p. Então ),...,(),...,( 11 n p n xxfxxf λλλ = R∈∀λ, derivando esta equação em ordem a λ obtemos: Vasco Simões ISIG 2002 ),...,( )( 1 1 1 n p n i i i xxfpx x f − = = ∂ ∂∑ λλ e como esta relação deve ser válida para qualquer λ real, se 1=λ fica ),...,( )( 11 n n i i i xxfpx x f = ∂ ∂∑ = Acabámos assim de demonstrar o chamado Teorema de Euler para funções homogéneas: TEOREMA Se RRf n a: é homogénea de grau p, então ),...,( 1 1 n n i i i xxfpx x f = ∂ ∂∑ = . Podemos agora estudar a homogeneidade das derivadas de f . Para tal vamos derivar em ordem a jx a expressão anterior: ),...,( 1 1 n j n i i ij xxf x px x f x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ = j n ji i i jij j j x f px xx f x f x x f ∂ ∂ = ∂∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑ ≠ =1 2 2 2 j n ji i i jij j x f px xx f x f x ∂ ∂ −= ∂∂ ∂ + ∂ ∂ ∑ ≠ = )1( 1 2 2 2 j n ji i i jijj j x f px x f xx f x x ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ ≠ = )1( 1 j n i i ij x f px x f x ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂∑ = )1( 1 que é a expressão do Teorema de Euler para a função jx f ∂ ∂ , e portanto pode concluir-se que se f é homogénea de grau p, as suas primeiras derivadas são homogéneas de grau 1−p . Vasco Simões ISIG 2002 ∑ ∑ ∑ ∑ = = = ≠ = = ∂ ∂+ ∂ ∂+ ∂∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂= n i n j n i n ij j i i iji ji j j i i x fx x f xx fxx x fx x x 1 1 1 1 2 22 ∑ ∑ = ≠ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂∂ ∂ = n i n ij j i i i i ji ji x f x x f x xx f xx 1 1 2 2 2 2 ∑ ∑∑ = ≠ == ∂ ∂+ ∂∂ ∂+ ∂ ∂= n i n ij j i i ji ji n i i i x fx xx fxx x fx 1 1 2 2 2 2 1 repare-se agora que o primeiro somatório é o operador de Euler aplicado á função f, e o segundo somatório é o expoente simbólico (2) de fE , temos portanto que ( ) )2(2 fEfEfE += Vejamos o que sucede no caso RRf a2: , homogénea de grau p. Tem-se fp y f y x f xfE = ∂ ∂ + ∂ ∂ = e tornando a aplicar o operador E em ambos os membros fica: fEpfEE = isto é: fpfEfE 2)2()( =+ fpfEfp 2)2()( =+ fppfE )1()( )2( −= ou seja: fpp y f y x f x y f y yx f xy x f x )1(2 )2( 2 2 2 2 2 2 2 −= ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ Poderíamos continuar a aplicar o operador E, e um raciocínio semelhante mas cada vez mais trabalhoso levaria ao seguinte resultado Vasco Simões ISIG 2002 • Se RRf n a: é homogénea de grau p, então fNppp x f x N n i i i )1(....)1( )( 1 +−−= ∂ ∂∑ = N factores
