Resistência dos materiais PUC RIO

Resistência dos materiais PUC RIO

Departamento de Engenharia Mecânica

Mecânica dos Sólidos I Parte 1

Prof. Arthur M. B. Braga

Mecânica dos Sólidos I

MEC 1200 –Mecânica dos Sólidos I

–Secretaria do DEM ou Lab de Sensores a Fibra Óptica – E-Mail: abraga@mec.puc-rio.br

•Aulas: 2a e 6as –07:0-09:0 –Sala 110L

•T extos

–Notas de aula (cópia dos slides) e exercícios:

–J. M. Gere, Mecânica dos Materiais, Thomson http:// leblon. mec.puc-rio.br/pro f/abraga/ mecsol1/mecsol1.html

–S. H. Crandall, N. C. Dahl, and T. J. Lardner, An Introduction to The Mechanics of Solids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1978

–T. J. Lardner and R. R. Archer, Introduction to Solid Mechanics, McGraw-Hill, 1994

Mecânica dos Sólidos I

Critério de Avaliação Critério 6:

G2G1NF + =

Se G1e G2>= 3,0 e NF>= 5,0 então MÉDIA= NF

Em outros casos o aluno faz G3: Se G1 e G2 >= 3,0 ou G1 ou G2 < 3,0 eG3>= 3,0, então:

Gme Gnsão as duas maiores notas entre G1, G2e G3 Se G1 ouG2< 3,0 e G3 < 3,0, então:

GnGm MÉDIA + =

Mecânica dos Sólidos I

Data das Provas

•P1: Sexta-feira, 25 de abril •P2: Segunda-feira, 23 de junho

•P3: Sexta-feira, 27 de junho

Mecânica dos Sólidos I

Ementa

MEC1200 -Mecânica dos Sólidos I

Carga Horária: (4,0,0) -4 Créditos Pré-Requisitos: MEC 1140 ou CIV 1105

Objetivo: Apresentar os fundamentos de análise de tensões na imposição das condições de equilíbrio, o estudo dos mecanismos geométricos da deformação e os modelos representativos do comportamento dos materiais no projeto mecânico de componentes.

Ementa: Tensão e deformação. Conceituação. Carregamento uniaxial. Deformação de Barras. Equilíbrio. Efeitos de temperatura. Problemas estaticamente indeterminados. Torção de peças esbeltas. Equilíbrio. Superposição. Torção de eixos com seção transversal não circular. Estado plano e tridimensional. Caracterização tensorial. Transformações-Círculo de Mohr. Processos de medição de deformações. Relações de compatibilidade geométrica e equilíbrio. Relações constitutivas. Deformações térmicas. Idealização das curvas tensão-deformação. Comportamento dos materiais pós-escoamento. Geometria das áreas. Momentos de inércia. Tensões devidas a flexão. Condições de equilíbrio. Cisalhamento e momento fletor. Bibliografia: Lardner, T.J.,

Archer, R.R., Mechanics of Solids -An Introduction, McGraw Hill, New York, 1994; E.P. Popov, Engineering Mechanics of Solids, Prentice-Hall, 1998.

Mecânica dos Sólidos I

Mecânica Aplicada

Mecânica do

Contínuo Mecânica dos Sólidos

Elasticidade

Plasticidade

O Curso: Resistência dos Materiais

Resistência dos Materiais

Mecânica dos Sólidos I

Definições

Mecânica Aplicada

Ramo da ciência que, através da aplicação dos princípios de mecânica, busca entender, explicar e prever as ações e reações de corpos em repouso ou movimento

Mecânica do Contínuo

Ramo da ciência que lida com meios contínuos, incluindo sólidos e fluidos

Mecânica dos Sólidos

Estuda a física de sólidos contínuos, com forma definida quando em repouso

Mecânica dos Sólidos I

Definições

Elast icidade

Descreve o comportamento de materiais que retomam sua forma original após a aplicação de esforços mecânicos

Plast icidade

Descreve o comportamento de materiais que têm sua forma original modificada após a aplicação de esforços mecânicos

Resistência dos Materiais

Estuda a resistência de materiais de engenharia e seu comportamento mecânico sob ação de carregamentos

Mecânica dos Sólidos I

Posicionamento do curso na grade curricular

Diagrama reproduzido das notas de aula do Prof. J. L. Freire

Estática

Din â mic a Mat eriais

Res. Mat. CMM

Desenho

El. Máq.

Metrol ogi a

Proc. Fab. Projet o

Histórico de oco rrênc ias

Mecanismos de dano

Inspeção e Monit oração

Avaliação de Integ ridade

Uso

Cálculo da Vida Remanescente e de Adequação ao Uso

Geralmente trabalha sob considerações elásticas.

Envolve carregamentos e geometria para determinar tensões

Mec Sol I Mec Sol I

Projeto de novos componentes e avaliação da integridade de estruturas em serviço

Mecânica dos Sólidos I

Solução de Problemas em Mecânica Aplicada (1)

1.Selecionar o sistema de interesse

5.Rever as hipóteses e procedimentos caso as previsões do modelo não reproduzam o comportamento real do sistema

(1) Crandall, Dahl & Lardner, An Introduction to Solid Mechanics, 2nd ed., McGraw Hill, 1978

Mecânica dos Sólidos I

Mecânica dos Sólidos

Problema

Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)

Determinar •Esforços internos (tensões)

Mecânica dos Sólidos I

Mecânica dos Sólidos

Considerar :

–Pequenas Deformações vs. Grandes Deformações (linear vs. nãolinear)

–Isotrópico ou anisotrópico –Elástico, elasto-plástico, viscoelástico, etc.

–Deslocamentos conhecidos ou nulos em parte do contorno do corpo –Forças externas de corpo ou superfície, localizadas ou distribuídas

Mecânica dos Sólidos I

Carregamentos e Deformações Uniaxiais

Material Linear

Mecânica dos Sólidos I

Carregamentos e Deformações Uniaxiais

Material Linear 1,2,3

Módulo de Elasticidade (Módulo de Young)

Crandall et al., 1978

Material

E , Pa (N/m

Aço1.94E+1 a 2.05E+1 Al um ínio 6.90E+ 10 Vidr o 6.90E+ 10 Madeira6.9E+09 a 1.38E+10 Nylon, Epóxi, etc.2.75E+08 a 5.5E+08 Tungs tênio 4.00E+ 1 Mol ibidênio 2.75E+ 1 Borracha1.38E+06 a 5.5E+06 Colágeno1.38E+06 a 1.03E+07

Mecânica dos Sólidos I

Carregamentos e Deformações Uniaxiais Ensaio de Tração

Objetivo: Caracterização Mecânica do Material Obter constantes elásticas e resistência mecânica

Célula de Carga

Ex te ns ôm etro Corpo de Prova

Cabeçote Móv el

Célula de Carga

Ex te ns ôm etro Corpo de Prova

Cabeçote

Mecânica dos Sólidos I

Carregamentos e Deformações Uniaxiais Ensaio de Tração

Máquina de Tração

Medida de Deformação no Corpo de Prova

Extensômetro

Mecânica dos Sólidos I

Carregamentos e Deformações Uniaxiais Ensaio de Tração

Algumas Normas Técnicas

•ASTM E8:2004 –Standard Test Methods for -Tension Testing of Metallic Materials

•ISO 527:1993 Parts 1-5 –Plastics -Determination of tensile properties

•ISO 6892:1998 –Metallic materials -Tensile testing at ambient temperature

•NBR-ISO 6892:2002 –Materiais metálicos -Ensaio de tração àtemperatura ambiente

•NBR 6673:1981 –Produtos planos de aço -Determinação das propriedades mecânicas a tração -Método de ensaio

Mecânica dos Sólidos I

Carregamentos e Deformações Uniaxiais Ensaio de Tração

Corpo de Prova Padrão: ASTM E8

12,8 m 51,2 m (4 x diâmetro)

50,8 m 9,5 m

19,1 m

Base de Comprimento

Mecânica dos Sólidos I

Regime Plástico

Regime Elástico

Carregamentos e Deformações Uniaxiais Ensaio de Tração

S y

S u

Estricção

Mecânica dos Sólidos I

Barras Carregadas Axialmente

Figuras reproduzidas de: Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of

Materials, 4 th ed., McGraw-Hill, 2002

Relação entre Tensão e Deformação

Mecânica dos Sólidos I

Barras Carregadas Axialmente

Figuras reproduzidas de: Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of

Materials, 4 th ed., McGraw-Hill, 2002

Relação entre Tensão e Deformação

Mecânica dos Sólidos I

Carregamentos e Deformações Uniaxiais Material Elástico Linear

Mecânica dos Sólidos I

Carregamentos e Deformações Uniaxiais Exemplo: Determinar deslocamento do ponto B

20 kN

Barra de Aço Diâmetro de 25 m

Barra de Aço

Área = 3200 m 2

Mecânica dos Sólidos I

Carregamentos e Deformações Uniaxiais

Exemplo: Determinar o valor máximo de Ppara que as barras se mantenham no regime elástico ( σ= F/A< Sy ). As

Mecânica dos Sólidos I

Análise de Tensões

Objetivos:

–Definir o conceito de vetor tensão –Mostrar que tensãoéuma grandeza tensorial

–Definir e caracterizar o estado de tensãonum ponto

–Definir tensõese direções principais

–Estados de tensão uniaxial(1D), plano(2D) e triaxial(3D)

Mecânica dos Sólidos I

Corpo em equilíbrio sujeito àação de um conjunto de forças externas

Corpo em equilíbrio significa que qualquer parte (subvolume) do corpo deve também estar em equilíbrio

Mecânica dos Sólidos I

Corpo em equilíbrio sujeito àação de um conjunto de forças externas

Corte por um plano definido pelo vetor normal n

Mecânica dos Sólidos I

Corpo em equilíbrio sujeito àação de um conjunto de forças externas

Forças internas de ligação (forças de superfície) mantêm as duas partes do corpo em equilíbrio

Mecânica dos Sólidos I

Corpo em equilíbrio sujeito àação de um conjunto de forças externas atuando sobre o elemento de

Mecânica dos Sólidos I

Definição do Vetor Tensão

Vetor tensão s t n t s

Componente normal (tensão normal)

Componente tangencial (tensão cisalhante)

Mecânica dos Sólidos I

As componentes do vetor tensão em um ponto dependem da direção do plano!

Ex.: Barra Tracionada

Mecânica dos Sólidos I

As componentes do vetor tensão em um ponto dependem da direção do plano!

Ex.: Barra Tracionada t α

F Equilíbrio ésatisfeito quando:

Mecânica dos Sólidos I

As componentes do vetor tensão em um ponto dependem da direção do plano!

Ex.: Barra Tracionada

Assumindo que o vetor tensão, t, éuniforme ao longo da seção transversal da barra:

t α αsin

F j ααcossin bh

Mecânica dos Sólidos I

O Estado de Tensãono Ponto t x t y t z x y

Uma vez conhecido o estado de tensão no ponto, pode-se determinar as componentes do vetor tensão atuando sobre qualquer plano que passe pelo ponto

Mecânica dos Sólidos I

Estado de Tensão em um Ponto

O equilíbrio do tetraedro requer:

=+++ zzyyxxn A t onde Ax

, Ay e Az são as áreas de suas faces.

Definindo-se φ n x y

A x

A y

A z kjit kjit kjit kjit kjin n zzzyzxz yzyyyxy xzxyxxx zyx zyx σσσ t

Mecânica dos Sólidos I

Estado de Tensão em um Ponto

Decomposição do vetor tensãoem componentes nas direções dos eixos Cartesianos x z

A n

A x t x σ x σ xz σ xy kjit xzxyxxx σσσ −−−=

Mecânica dos Sólidos I

Estado de Tensão em um Ponto Pode-se mostrar que

Substituindo-se estes resultados na equação de equilíbrio, obtém-se:

znzynyxnx x nAAnAAnAA cose,sinsin,cossin φθφθφ zzzyzyxzx zyzyyyxyx zxzyxyxxx nσnσnσt nσnσnσt nσnσnσt y x n n

Mecânica dos Sólidos I

Estado de Tensão em um Ponto

Este resultado também pode ser escrito na forma matricial:

Ou, em notação mais concisa, nas formas:

y x zzzyzx yzyyyx xzxyxx n n t t y x n n

Mecânica dos Sólidos I

Estado de Tensão em um Ponto

•Tensão éuma grandeza tensorial: [σ], ou σ, échamado o tensor de tensões

•Uma vez conhecidas as nove componentes do tensor de tensões, pode-se determinar o vetor tensão atuando sobre qualquer plano que passa pelo ponto.

•Pode-se mostrar que o tensor de tensões ésimétrico, ou seja, σ

= σyx ,σxz = σzx ,e σyz = σzy . Logo, [σ] possui apenas seis componentes independentes!

•Pode-se mostrar que a simetria do tensor de tensões énecessária para que o balanço de momentos em torno do ponto (balanço da quantidade de movimento angular) seja satisfeito.

Mecânica dos Sólidos I

Representação Gráfica do Estado de Tensão no Ponto (Paralelepípedo Fundamental) x z σ xy σ x σ xz σ zy σ zx σ z σ y σ yx σ yz

Mecânica dos Sólidos I

Tensões Principais e Planos Principais

Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são definidos como aqueles planos onde a componente tangencial (cisalhante) do vetor tensão énula

A equação abaixo relaciona o vetor tensão atuando sobre um plano definido pela norman n com o tensor de tensões:

ou, em forma matricial:

Mecânica dos Sólidos I

Tensões Principais e Planos Principais

Deseja-se determinar os planos definidos pelas suas normais n, tais que os vetores tensão atuando sobre eles têm a forma:

Substituindo-se esta expressão na equação da tela anterior, obtém-se:

ou em forma matricial:

nσ λ=

Mecânica dos Sólidos I

Tensões Principais e Planos Principais

Portanto, a determinação dos planos principais fica reduzida àsolução de um problema de autovalores:

–Os autovetores do tensor de tensão definem os planos (direções) principais.

–Os autovalores do tensor de tensão, λ, são as tensões principais.

nσ λ=

Mecânica dos Sólidos I

Tensões Principais e Planos Principais Exemplo: Considere o estado de tensão dado pelo tensor:

As componentes do tensor referem-se a uma base Cartesiana. Seus autovalores são obtidos resolvendo-se a equação:

σ (em MPa) det =

Mecânica dos Sólidos I

Tensões Principais e Planos Principais Expandindo-se este determinante, obtém-se a equação:

Cujas raízes são:

Mostra-se ainda que as direções (planos) principais são definidas pelos autovetores (unitários e ortogonais) jinknjin

Mecânica dos Sólidos I

Tensões Principais e Planos Principais x z

Mecânica dos Sólidos I

Estado Uniaxial de Tensão z y σ x σ x

Ex.: Ensaio de Tração

Mecânica dos Sólidos I

Estado Plano de Tensão σ xy σ x σ y σ yx σ x σ x σ y σ y σ xy σ xy σ xy σ xy yyxy xyxx σ σσ

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