Baixe Calculo II integral e outras Notas de estudo em PDF para Meteorologia, somente na Docsity! UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 1 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 0, 1, 2, 3, 4, … ú . … 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, … ú . ! " # "⁄ % & , ' # , ' ( 0 ) ú . * + " , "⁄ √2, √3 , √5 / , … 0, , … ú . A diferença entre um número racional e um número irracional: Número Racional é todo número cuja representação decimal é sempre finita ou infinita e periódica (possui dízima). Exemplo de números racionais: a) 1 23 0,3 é um decimal finito. b) 2 4 0.1666 … é um decimal infinito e periódico com dízima 6. c) 6 7 2 é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional. Número Irracional é todo número cuja a representação decimal é sempre infinita sem ser periódica. Exemplo: a) 0 3,1415927 … representa a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. 0 :;<=>?<@AB; C% :?>:DAE@>êA:?%C?â<@B>; C% :?>:DAE@>êA:?% 3,1415927 … é 2,7182818 … , é J KL. √2 1,4142135 … é um número infinito sem dízima. Definimos o conjunto dos números Reais sendo a união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais. M N ú . M * Exercícios: Dados os números abaixo, identifique os números racionais e os números irracionais: a) 3,12 e) 0 i) - 9 b) 0,3333... f) - 6,8 j) 17,323232... c) 1,73205... g) √4 l) 0,5 d) 25 h) - 1,4142... m) 7 1 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 2 RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os números reais, o número zero representa a origem da reta. Os números da reta real são simétricos e opostos. -6 -5 -4 -3,14 -3 -2 -√2 -1 0 1 √2 2 3 3,14... . . . I I I I I I I I I I I I I I I I.... r reta real * Os números da reta que estão a esquerda de um número em questão sempre serão menores que esse número. Exemplo: 1 á P 2 logo 1 Q 2 R6S á P R5S LT R6S Q R5S R2,3S á P R1,5S LT R2,3S Q R1,5S Em geral ...4 Q 3 Q 2 Q 1 Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 … *Os números da reta que estão a direita de um número em questão, sempre serão maiores que esse número. Exemplo: R 1Sá R4S LT R 1S U R4S V √2 Wá R3,1415 … S LT R √2 S U R3,1415 … S OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS ADIÇÃO: A soma de números reais resulta em um número real. Sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal. Exemplos: RXS X RXS RXS RS X RS RS a) 2 X 9 11 c) (2 S X R 9S 11 b) 15 X 10 25 d) (15 S X R10S 25 YZ[\Z] ^Z_`a`[b`]: subtraem se os números e dá se o ]Z[\o ^p q\Zpa em módulo R maior algarismoS. Exemplos: a) R3S X 5 2 v 5 é LT é vw. b) R15S X 10 5 v 15 é LT é Tw. S 7 X R3S 4 S 4 X R10S 6 SUBTRAÇÃO: é a operação INVERSA da adição. A subtração de números reais resulta em um número real. Toda subtração é uma adição. O sinal positivo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o mesmo sinal. Exemplo: a) 8 X R 9 S 8 X 9 1 b) 8 X R9S 8 9 17c) 12 X R15S 12 15 3 O sinal negativo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o sinal trocado. Exemplos: a) ( 4S RX 6S R4S 6 10 b) 16 R20S 16 X 20 4 c) 9 R10S 9 X 10 19 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 5 FRAÇÃO: Dois números naturais a e b, com b( 0, quando escritos na forma % & representam uma fração. % & = D<@>%C;> @A;<?A%C;> R( 3S P R M ã " wã v S. O denominador representa o número de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o número de partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e consideramos 3 partes (numerador). A fração será: Exemplo de frações: 27 ; 7 1 ; 2} ; 2233 ; 4 } ; 6 6 ; 2 ; 3 6 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES: Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algébrica do denominador. Exemplo: 7 1 X 23 1 4 1 7 ~ 23 4 1 4 1 2 2 } } X 6 } 2 – ~ 6 } 6 } 6 } Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor múltiplo comum dos denominadores). m.m.c.(3- 5- 2) 2 Exemplo: 7 1 1 } X 2 7 732~2}13 732~2} 13 2 13 3- 5- 1 3 1- 5- 1 5 1-1-1 2.3.5 = 30 1 6 X } X 2 7 4 ~ } ~ 6 2} m.m.c.(4-8-2) 2 2-4-1 2 1- 2- 1 2 1- 1- 1 2.2.2 = 8 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente. Exemplo: } . 7 1 } . 7 . 1 23 76 } 27 0,42 7 } . 1 6 . R 2 4 ) = 7 . 1 R2S } . 6 . 4 R4S 273 2 73 3 5 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 6 NÚMEROS INVERSOS: dois números são inversos quando a multiplicação entre eles dá 1. Na prática, para achar o inverso de um número, basta inverter o numerador com o denominador. O Inverso de } é } O Inverso de 1 2 é 7 2 2 O Inverso de 7 1 é 1 7 O Inverso de 7 é 7 *O número zero não admite inverso: o inverso de 3 2 é 2 3 nos M não existe divisão por zero. DIVISÃO DE FRAÇÕES: conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda. Exemplo: Calcular a divisão das frações abaixo: a) 7 } : 1 7 } . 1 7 . } . 1 26 2} b) / 4 . 1 7 4 . 1 . 7 226 c) 2} / 15 . 1 7 2} . 1 7 6} 7 Exercício resolvido: Resolver as operações aritméticas: a) 7 1 . 6 X } 7 : 2 6 7.61. X } 7 . 6 2 72 X 737 72 X 23 2 72 X 72.23 72 ~723 72 72 72 b) 1 2 X4 1 3 2 12 X 82 22 32 92 1 2 9 2 . 7 2 2 7 9 c) / ~ . / ~ . . / ~ . / . / ~ / ~ . 6 . 6 . 2 . 2 7 . 2 2 7 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Resolver as operações abaixo: a) 2 / ~ b) 9 10 . 5 3 X 8 3 2 1 5 c) 1 6 X 7 1 7 : R } 27 S d) ~ e) 7 ( 6 X 7 ) f) R 7 7 . 61 S 18 Respostas: aS 1 bS 0,033 … cS 5 dS 10 e) 45 f) 52 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 10 # A potência do produto é igual ao produto das potências. R . ' SA A . 'A a) R 7 . " S7 77 . "7 49 "7 b) R2 . S1 21 . 1 8 . 1 # A potência do quociente é igual ao quociente das potências. % & A %¥ &¥ a) }4 1 }/4/ 27}724 ¡ 0,58 b) 1 6 1 1¦/6¦/ // / 27 . 462 467 c) § } 7 X § } § 7} # A potência de uma potência é igual ao produto das potências. R<SA < . A a) R"7S1 "7.1 "4 b) R 27 . 2S7 R27S7. R2S7 26 . 16 . 7 Propriedades de potência de expoente racional: Sejam os números , ' # M, R, ' U 0S, =¨ , >© # . P1 ) ª « . ¬ ª « ~ ¬ P2 ) ª « ¬ ª « ¬ P3 ) R . 'S ª « ª « . ' ª « P4 ) R 'S ª « ª « ' ª « ou %& ª « % ª« & ª« P5 ) R ª « S¬ ª « . ¬ UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: resolver as potências abaixo, utilizando as propriedades de potência: a) 9} . 9} b) 106 . 104 c) 123. 122. 121 d) 2 7 X 87 e) 21 7 1 2 3 f) R3" S1 X R3S7"1 R2S"1 g) R'S6 R'S6 h) R27S2 R42S7 i) 106 . 107 . 101 j) 104: 106 . 102 l) 23¦/. 23 R23S/ m) 23¦: 23/ R23S¦/ Respostas: a) 1 b) 0,01 c) 1 d) 1 32® e) 17 72® f) 9 g) R'S8 h) 124 i) 0,1 j) 10 1 l) 0,01 m) 10 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 12 RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação. Definição: Dado um número real não negativo e um número natural , 1, chama-se é é ú L ã Tw (b ¯S tal que 'A , √ ° onde √ ± L ± radicando , ¯ ' ± raiz , ¯ ± í L, ³ ´ # √ √ Lê P √3 Lê ú' √4 Lê P Exemplos: a) √16 ? ° R ? S7 16 , qual é o número positivo que elevado ao quadrado resulta no número 16? Resposta: O número é 4, pois 47 16, logo, raiz quadrada de 16 é 4, isto é, √16 4 b) √8 / ? ° R ? S1 8 µ √8/ 2 ¶ 21 8, portanto 2 é ú' 8. c) √1 ? ° R ? S} 1 µ √1 1 ¶ 1} 1 , portanto 1 é ú' 1. d) √16 2 ¶ 26 16 portanto 2 é P 16. Índice Par : Quando í ·¸¹ a restrição é que 0 , pois não existe no conjunto dos números reais raiz quadrada de número negativo, ou seja , não existe um número que elevado ao quadrado resulte em número negativo. √16 º R ã "S M º P Lw P L R16S. Índice Ímpar: Quando o índice for ímpar não há restrição, por exemplo, existe número que elevado ao cubo resulte em um número negativo. a) √ 8 3 ? ° R ? S1 8 µ √83 2 ¶ R2S1 8, portanto 2 é ú' 8. b) √243 3 ¶ R3S} 243, portanto 3 é P 243. Exercícios: Calcular, caso exista, as raízes dos números abaixo: a) √0 b) √1 c) √ 81 4 d) √ 27 3 e) √4 f) √16 4 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 15 Deslocando-se a vírgula de um número para a esquerda, esse número fica dividido por 10, 100, 1 000, ..., o expoente da potência de 10 aumenta ³¯³, ³¯, ³¯Æ, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula. Resumindo, o número diminui o expoente aumenta. Çº . 10A Exemplos: a) 17 17 . 103 1,7 . 103~2 1,7 . 102 deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda, logo, o expoente na base 10 aumenta 1 unidade. b) 245 2,45 . 107 deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita, o expoente na base 10 aumenta 2 unidades. Exercícios : Dado o número 1234 escreva-o deslocando a vírgula para a esquerda: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais Adição e Subtração de potência de base 10: É necessário que os expoentes da base 10 sejam iguais.Exemplos: a) 5 . 107 X 4 . 107 R 5 X 4 S107 9 . 107 expoentes iguais b) 29. 101 1. 101 R29 1S101 28. 101 c) 1 .107 X 3 . 107 7 . 107 R1 X 3 7 S. 107 3 . 107 d) 106 + 106 X 106 1. 106 X 1. 106 X 1. 106 R1 X 1 X 1S106 3 . 106 Na adição ou subtração, quando os expoentes da base 10 não forem iguais temos que transformá-los para o mesmo expoente. Exemplos: a) 6 . 101 X 4 . 107 60 . 107 X 4 . 107 R 60 X 4 S107 64 . 107 transformar o expoente de uma das parcelas, igualando a outra, 6 . 101 60. 107 b) 0, 29 . 102 147. 101 29 . 1027 147. 101 29. 101 147. 101 118 . 101 expoentes diferentes expoentes iguais c) 0,09 .102 X 107 3 . 101 9 .1027 X 10 .1072 3 . 101 9 .101 X 10.101 3 . 101 16. 101 expoentes diferentes expoentes iguais UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 16 Exercícios Propostos: a) 15 . 101 X 13 . 101 b) 21 . 107 107 c) 44 . 106 X 4 . 106 8 . 106 d) 666 . 104 X 2220 . 10} e) 5,9 . 107 X 9 . 101 f) 6 . 101 101 X 40 . 107 Respostas a) 28 . 101 b) 20 . 107 c) 40 . 106 d) 888 . 104 e) 50 . 101 f) 9 . 101 Multiplicação de Potência de base 10: Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base 10. Exemplos: a) 4. 10} . 2. 107 4 . 2 .10}7 8 . 101 b) 8. 104 . R 3. 106S 8 . (-3) .104~6 24 . 107 c) 7. 10} . 107. 2. 101 7.1.2 .10}71 14. 103 14.1 Divisão de Potência de base 10: Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes da base 10. Exemplos: a) 6 . 23 7 . 23¦ 6 7 .10}R7S 2 . 10 b) 76 . 23¦ 6 .23/ 76 6 . 1041 6 . 10 c) } . 23/ .23¦ } . 101R2S 0,56 . 106 d) 7}.23~23 3,2.23¦ . 7.23¦/ R7}~2S.23 R3,2S.7 .23¦¦/ 74.23 3,7.23¦ 743,7 . 107~ 130 . 10 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 17 Exercícios Propostos: Resolver as operações de potência de base 10: a) 23. 10} X 0,023. 107 b) 99 . 101 89. 101 X 90 . 107 c) 7 .23~ 1,1 .23/ 22 .23¦ ~ 72. 23¦ d) 48 .107X2 .107,106X 4 .106 e) 2 7 . 10 X 7 1 . 10 f) 2 R 2.104 4. 104 S X 5 R 2 . 10} X 10}S g) 1 } . 106 2 7 . 101 h) 1 4 . 107 X 7 1 . 101 X 101 Respostas: a) 46. 10} b) 19. 101 c) 35. 10} d) 107 e) 1,17.10 fS 25. 10} g) 5,5. 101 h) 0,83. .. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 20 Produtos notáveis: 1) Trinômio do Quadrado Perfeito: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. R" X ½S7 "7 X 2. ". ½ X ½7 Demonstração: R" X ½S7 R" X ½S. R" X ½S vL vv 'w R" X ½S7 "7 X 2. ". ½ X ½7 Exemplo: R" X 5S7 "7 X 2. " .5 X 57 "7 X 10" X 25 2) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. R" ½S7 "7 2. ". ½ X ½7 Demonstração: R" ½S7 R" ½S. R" ½S vL vv 'w R" ½S7 "7 2. ". ½ X ½7 Exemplo: R2 S7 27 2.2. X 7 2 4 X 7 3) O Produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. R " X ½ S . R " ½ S "7 ½7 Exemplos: a) R " X 3 S. R " 3 S "7 37 È Î b) R 4 S. R X 4 S ³Ð c) R 2" X 5 S. R 2" 5 S R 2" S7 57 ÑÈ Ï d) V 6È 1W. V 6È X 1W R 6È S7 17 ÆÐÈÑ ³ UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 21 Exercícios propostos: Calcular os produtos abaixo: a) R 2 X 3 S. R 2 3 S b) 5"R 4 S c) R 7 7 S. R7 X 7 S d) R" X 1S7 " X 1 Fatoração de polinômios: É escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Exemplos: a) Fatorar o polinômio 22"5 X 43"3 Podemos escrever o polinômio desta maneira: "7. ÈÆ X 2. . . ÈÆ ÈÆ. R"7 X 2 S Foi colocado em evidência : o maior divisor comum dos números . . . R4 , 2S e as potências repetidas de menor expoente: ÈÆ b) Fatorar o polinômio 6"2 3" 6"7 3" ÆÈ R 2" 1 S , . . . R6 , 3S Æ menor expoente: È c) Fatorar o polinômio 6 "4 X 4"3 12"2 6 "6 X 4"1 12"7 2 "7 R3 "7 X 2" 6 S . . . R6, 4 , 12S menor expoente: È d) Fatorar o polinômio 86'} X 201'7 86'} X 201'7 2. Ñ. . 7. . '1 X 5. Ñ. . . . . . R8, 20S Ñ 47'7R 27'1 X 5 S menor expoente: UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 22 Frações algébricas: O quociente de dois polinômios, indicado na forma fracionária, na qual duas ou mais variáveis aparecem no denominador, tendo o denominador não nulo ( ( 0S. Exemplos de frações algébricas: § 2"2X3"5 , } §~} , § §2 Adição e Subtração de frações algébricas: a) § 7§ X 71§ 1.§4§ X 7.7§4§ 1§~6§4§ §4§ 4§ m.m.c (2 , "7, 3 , "S 2 1, "7, 3 , " 3 1, "7, 1 , " " 1, " , 1, 1 " 1, 1 , 1, 1 6"7 b) § §Ó X 2§~Ó X Ó§ §Ó §. R§~ÓS R§ÓS.R§~ÓS X 2. R§ÓS R§ÓS.R§~ÓS X Ó§R§ÓS.R§~ÓS "2X".½X"½X½"V"½W.R"X½S "2X".½V"½W.R"X½S "R"X½SV"½W.R"X½S "V"½W Multiplicação e Divisão de frações algébricas: a) § R§ÓS . §/ R§~ÓS §.§ / R§ÓS.R§~ÓS § §Ó b) R§ÓS/ R§~ÓS : R§~ÓS R§ÓS R§ÓS / R§~ÓS . R§ÓS R§~ÓS R§ÓS R§~ÓS2 Atenção: Só podemos simplificar frações algébricas quando tiver produto no numerador, denominador ou em ambos. É errado: simplificar frações algébricas onde tem adição ou subtração no numerador,denominador ou em ambos. § § ~ 2 errado § 2 § errado § ~ 2 § 2 errado UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 25 FUNÇÕES: Função é uma relação que existe entre duas grandezas, tal que uma depende da outra. Exemplo: a) A área do quadrado depende do lado do quadrado, então dizemos que a área está em função do lado e escrevemos ¸ R ℓ S. Se ℓ varia então ¸ varia. b) Õ R S, v ê çã . cS Ö R S , wL çã v. Notação de Função: ×: M ± M ØÙÚíÛÙ RMS ± contra-domínio ( MS È ± Ü ×RÈS é uma função dos Reais nos Reais, onde para todo elemento È # ØÙÚíÛÙ RMS existe em correpondência um único elemento Ü ×RÈS # contra-domínio(MS que é a sua imagem. Definição de função: Sejam È Ü variáveis, tais que para cada valor atribuído a È existe em correspondência um único valor Þ . Dizemos que Ü é uma função de " e representamos por Ü ×RÈS È wáwL Lw v Ü wáwL v PLANO CARTESIANO: O plano cartesiano M é representado pelos eixos das abscissas, " " ØÙÚR"S # M ordenadas, " ½ ßÚR"S # M . à:1º. 2º , 3º 4º Os eixos se cruzam na origem do sistema, no ponto ·R0,0S, formando quatro regiões chamadas de quadrantes. ½ ( contra-domínio) º áâãäå´ ³º áâãäå´ RÈ Q 0, ½ U 0S RÈ U 0, ½ U 0S 0 È ( domínio da função ) Æº áâãäå´ Ñº áâãäå´ RÈ Q 0, ½ Q 0S RÈ U 0, ½ Q 0S UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 26 Representando no plano cartesiano o ponto P de coordenadas ·R", ½S. ½ R"S - - - - - -æ R abscissa, ordenada S 0 " " Exercícios: Representar no plano cartesiano os pontos abaixo: ·R 2 , 2 S ½ àR1 , 2S 4 ¹R 3 , 2S 3 ç 2 7 , 3 2 ÁR3 , 0S 1 èR 0 , 1S ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... " ÖR4 , 3S - 1 - 2 - 3 Construindo Gráficos de Funções: Seja a função Ü È com domínio nos reais 1º Passo: Atribuímos valores para a variável independente È, encontramos as imagens que são os valores de Ü 2º Passo: As coordenadas R", ½S colocamos no plano cartesiano 3º Passo: Traçamos a função que passa pelos pontos encontrados. " Ü È ·R", ½S 2 ½ 2. R2S 4 R 2 , 4S ½ 1 ½ 2. R1S 2 R1 , 2S 4 . 0 ½ 2 . 0 0 R 0 , 0S 3 1 ½ 2 . 1 2 R 1 , 2S 2 . 2 ½ 2 . 2 4 R2 , 4S 1 ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4... " - 1 . - 2 - 3 . – 4 Exercícios: Construir os gráficos das funções: a) ½ 2" X 1 'S ½ 2" 1 c) ½ 2" X 1 d) ½ 2" 1 e) ½ " f) ½ " " , ½ UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 27 Função Crescente: Seja a função Ü ×RÈS e sejam È³ e È elementos do domínio da função com È U "³ , dizemos que a função é Crescente se as imagens R"7S U R "2 ) Função Decrescente: Seja a função Ü ×RÈS e sejam È³ e È elementos do domínio da função com È U "³, dizemos que a função é Decrescente se as imagens R"7S Q R "2 ) Função Constante: Seja a função Ü ×RÈS e sejam È³ e È elementos do domínio da função com È U "³, dizemos que a função é Constante se as imagens R"2S R "7 ). Exemplo: A função é crescente nos intervalos: ½ Õ ê " ê ë e ì ê " ê í D E Ü ×RÈS A B C F G H I J 0 " A função é decrescente nos intervalos: ¸ ê " ê î K ê " ê Â A função é constante nos intervalos: î ê " ê Õ, ë ê " ê K , Â ê " ê ì Exercícios: Observando o esboço das funções nos gráficos, indique os intervalos do domínio onde a função for crescente, decrescente ou constante. ½ ½ ½ ½ 4 8 1 1 0 2 4 6 8 10 " 0 5 10 15 " 0 " 0 " UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 30 2) Ondas Triangulares: Utilizaremos a fórmula ½ ½3 R " "3 S , Ó § , · R "3 , ½3 S a) b) ½ ½ 6 2 7 35 2 7 0 2 4 6 8 " 0 7 14 21 28 " Á 4 Á 14 ¸ 6 ¸ 35 2 é , ê 0 ô Ó § 2 é , 0 ô X Ó § substituindo ·R 2, 0S # 2 na fórmula substituindo ·R 0, 0S # 2 na fórmula ½ ½3 R " "3 S ½ ½3 R " "3 S 2 ½ 0 4 7 R" 2S 2 ½2 0 1} R" 0S 2 ½2 3" X 6 0 ê " ê 2 2 ½2 5" 0 ê " ê 7 7 é , 0 , X Ó § 7 é , ê 0 ô Ó § substituindo ·R 2, 0 S # 7 na fórmula substituindo ·R 14, 0 S # 7 na fórmula ½ ½3 R " "3 S ½ ½3 R " "3 S 7 ½ 0 4 7 R" 2S 7 ½ 0 1} R" 14S 7 ½7 3" 6 2 ê " ê 4 7 ½7 5" X 70 7 ê " ê 14 P UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 31 c) ½ 10 2 7 0 5 10 15 20 " -10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Á 20 ¸ 10 2 é , ê 0 ô Ó § 7 é , 0 ô Ó § substituindo ·R 5, 0S # 2 na fórmula substituindo ·R 15, 0S # 7 na fórmula ½ ½3 R " "3 S 2 ½ 0 23 } R" 5S 7 7 ½ 0 23 } R" 15S 2 ½2 2" X 10 0 ê " ê 10 7 ½7 2" 30 10 ê " ê 20 3) Ondas Dentes de Serra: a) b) ½ ½ 4 2 2 7 5 0 3 6 9 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 " -5 Á 3 Á 0,2 ¸ 4 ¸ 5 2 é , ê 0 , Ó § 2 é , 0 , X Ó § ·R 3, 0S # 2substituindo na fórmula ·R 0, 0S # 2 substituindo na fórmula ½ ½3 R " "3 S ½ ½3 R " "3 S 2 ½ 0 6 1 R" 3 S 2 ½2 0 } 3,2 R" 0S 2 ½2 6 1 " X 4 0 ê " ê 3 2 ½2 50" 0 ê " ê 0,1 7 é , 0 , X Ó § , ·3R0,2 , 0S # 7 7 ½7 0 } 3,2 R" 0,2S 7 ½7 50" 10 0,1 ê " ê 0,3 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 32 4) Ondas trapezóides ½ õ Æ ö ÷ ×³ ÷È ø´ ¯ ê È ê ³ × ÷ ø´ ³ ê È ê 7 ×Æ ÷È X ³ ø´ ê È ê Æ 0 1 2 3 4 5 " Exercícios Propostos: Determine as funções para um período dos gráficos abaixo: a) b) ½ ½ 7 10 3 0 3 6 9 12 " 0 2 4 6 8 " c) d) ½ ½ 18 2 6 2 7 0 3 6 9 " 0 2 4 6 8 " -6 e) f) ½ ½ 20 2 35 2 7 0 5 10 15 20 25 " 0 7 14 21 28 " P UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 35 Função Exponencial do tipo: Ü ö R ³ ´ÈS , " 0 Muito utilizada em circuitos elétricos. Ü Quanto maior o È mais a curva se aproxima de A A . . . . . . . . . . . . . . . . . . A função tende a A quando È tende ao infinito. 0 " Tabela de valores de ´È Exemplo: Esboçar o gráfico da função ½ 2 R 1 § ) Solução: A = 2 " ½ ¸R1 "S Ü 0 2R1 3S 2.0 0 2 . . . . . . . . . . . . 1 2R1 2S 2R1 2 ) ¡ 1,26 2 2R1 7S 2R1 2 2) ¡ 1,73 3 2R1 3S 2R1 2 3) ¡ 1,9 Quanto maior o valor de x a função mais se aproxima de 2. ý ý ý ý Exercícios: Esboçar o gráfico das funções abaixo: a) ½ 3 R 1 §S b) ½ 2 R 1 7§S c) ½ 1 R 1 §S d) ½ 7 R 1 7§S " 3 2 1 0 1 2 3 § 0,05 0,14 0,37 1 2,72 7,39 20,09 0 1 2 3 4 " x UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 36 Logaritmo: É a operação inversa da potência ( cálculo do expoente n ) . Definição : Logaritmo de um número b real positivo, na base real positiva e diferente de 1 é o número ao qual se deve elevar a base para se obter a potência b. log% ' ¶ A ' ' üÙþäÛåÚãÙ ' U 0 µb # M~¤ . ø´, U 0 ( 1 üÙþäÛåÚÙ Exemplos: log7 16 ¶ 2A 16 Ñ é o logaritmo de 16 na base 2 log} 5 ¶ 5A 5 1 log% 1 ¶ A 1 ¯ é o logaritmo de 1 em qualquer base R U 0 ( 1S ¤ º ãÙ ´ÈÛøå´ logaritmo de número negativo o[R ÆS. Logaritmo Neperiano: Chamado de logaritmo Natural é o logaritmo que usa como base o número e ( constante de Euler). log@ ' ¶ A ' ou o[ ¶ ´ ln 1 ¶ 2 ln 1 0 ¶ 3 1 Propriedades dos logaritmos: ·2: o[R ö .S o[ ö X o[ Logaritmo do produto é a soma dos logaritmos. ·7: o[ ö o[ ö o[ Logaritmo do quociente é a diferença dos logaritmos. ¸çõ! ( ln ·1: o[ ´Ú q . o[ ´ Ú . ³ Ú Logaritmo da potência é o expoente da potência multiplicado pelo logaritmo da base dessa potência. ·6: o[ ö o[ ¶ ö Se dois logaritmos são iguais então seus logaritmandos também são. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 37 Função Logarítmica na base ´ 2,718 … ½ L" " ½ ln " 1 ln 1 = 0 e ln e = 1 ½ e2 ln e2 = 2.lne = 2.1 = 2 ½ L" e3 ln e3 = 3.lne = 3.1 = 3 e4 lne4 = 4.ln e = 4.1 = 4 ý Í Í Í Í Í Í Í ý 0 P(1,0) " lne . ln ý Í Í Í Í Í Í ý Conjunto dos números Naturais Equação Logarítmica na base ´ : Temos que isolar a incógnita da equação utilizando as propriedades de logaritmo. Exemplos: a) lnR " X 5S 1 Restrição: " X 5 U 0 µ " U 5 lnR " X 5S L sabemos que 1 ln " X 5 simplificamos os ln " 5 isolamos a incógnita " " 2,72 5 " ¡ 2,28 satisfaz a restrição: 2,28 U 5 Podemos resolver a mesma equação utilizando a definição de logaritmo: lnR " X 5S 1 ¶ 2 " X 5 " 2,72 5 µ " ¡ 2,28 bS ln 7" X ln 3" ln 5 Restrição: " U 0 lnR 7" . 3" S ln 5 7.3 ". " 5 21 "7 5 " √0,24 µ " X 0,5 " 0,5 não convém pois, " U 0 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 40 Exemplos: a) 0,7071067 äú ø´ 0,7071067 45° b) 0,8660254 äú úÙø 0,8660254 30° c) Tï 1,7320508 ï äú åþ1,7320508 ï 60° Exercícios propostos: Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo: a) ï 0,8660254 d) Tï 1 b) 0,7071067 e) T 2,7474774 c) T 1,7320508 fS Tï 1,7321 g) T 0,5773 h) T 1 Relações Fundamentais : 1) sen2α + cos2α = 1 2) åþ ø´ úÙø Ângulos Notáveis: ÂNGULOS 30° 45° 60° ç 1 2 √2 2 √3 2 √3 2 √2 2 1 2 T √3 3 1 √3 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 41 Exercícios propostos: 1) Calcule o que se pede nos triângulos retângulos abaixo: 4 6 9 8 2 9 √2 ï ï ï ï ï ï ï ï ï T ï T ï T ï 2) Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo: a) ï 0,8660254 d) Tï 1 b) 0,7071067 e) T 2,7474774 c) T 1,7320508 fS Tï 1,7321 g) T 0,5773 h) T 1 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 42 TRIGONOMETRIA Arco : de uma circunferência é qualquer segmento da circunferência limitado por dois pontos distintos B AB = arco menor e AÔB = ângulo central = " R ¸î S R ¸Ôî S " Unidades de medidas : Graus e radianos Grau ( ° ) 1 ° = 2 143 da circunferência, então 90° 2 6 da circunferência 180° 2 7 270° 1 6 360° 1 circunferência Radiano R äã S 1 raio da circunferência Õ 20 comprimento de uma circunferência 1 Õ 20 Conclusão: Õ 360° 20 , logo 90° 7 180° 0 90° 7 180° 0 0° 360° 20 ý ý 270° 1 7 Transformar graus para radianos e vice-versa: Regra de três simples 180° 0 30° " " 30° . 0 180° 06 Graus 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Radianos 06 0 4 0 3 0 2 π 30 2 2π O A UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 45 Função do tipo: Ü X ö ø´ È deslocamento do " " µ v. Ãá" ¸ ö vL ¸ U 0 , é v é ö á§?<; – <íA?<;7 ví õ 7& ·. Ãá" X ¸ ·. í ¸ Exemplo 1: Faça um esboço do gráfico da função Ü X Æ ø´È Solução: ¸ çã é ø´Ù. ½ Á 0 2 " " L 2 A ¸ 3 ' 2 µ õ 7& 77 0 ·. Ãá" X ¸ 2 X 3 5 0 7 0 17 20 " ·. í ¸ 2 3 1 Exemplo 2: Faça um esboço do gráfico da função Ü X Æ úÙøÈ Solução: ¸ çã é úÙøø´Ù. ½ Á 0 2 ¸ 3 ' 2 µ õ 7& 77 0 ·. Ãá" X ¸ 2 X 3 5 0 6 7 16 0 }6 " ·. í ¸ 2 3 1 Exemplo 3: Faça um esboço do gráfico da função Ü Ð ø´ ÑÈ Solução: ¸ çã é . ½ Á 0 2® 0 ¸ 6 ' 4 õ 7& 76 7 0 6 1 7 0 17 " ·. Ãá" X ¸ 0 X 6 6 ·. í ¸ 0 6 6 1 . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . 2 . ...................................... 1 . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . ......... 2...................................... 6 . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . . UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 46 Exercícios: 1) Esboçar o gráfico das funções abaixo: a) ½ 1 X " b) ½ 1 X " c) ½ 3 X 22" d) ½ 2 X 3 2" e) ½ 4" f) ½ 4" 2) Determine a função , para um período , de cada um dos gráficos abaixo: a) Tá é çã … … … … … … … … ½ Á ·. Ãá" ·. í ¸ 0 7 0 17 20 " ' Resposta: ½ b) Tá é çã … … … … … … … … ½ Á ·. Ãá" ·. í õ 7& ' ... 0 7 0 17 20 " ¸ Resposta: ½ 1 . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 47 çã : ½ R " X ïS A função ½ R " X ïS á em relação a função . A função ½ R " ïS á em relação çã . Exemplo 1: Esboçar o gráfico da função : Ü ø´ R È X Ð S Solução: A função seno está defasada em 30°em relação a função seno. ï 06 30° çã Á 20 ½ 30° ¸ 1 . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 234 1 4 4 44 }4 64 7 1 4 0 4 1 7 64 }4 0 4 4 17 234 224 20 " O ponto máximo : 90° 30° 60° 1 O ponto mínimo: 270° 30° 240° 4 Corta o " " nos pontos : Ð , 180° 30° 150° ÏÐ e 360° 30° 330° ³³Ð Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função : Ü ø´ R È X Æ S O ponto máximo : 90° 60° 30° 4 O ponto mínimo: 270° 60° 210° 706 Corta o " " nos pontos : Æ , 180° 60° 120° Æ e 360° 60° 300° ÏÆ ï 03 60° çã Á 20 ½ 60° ¸ 1 . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 234 1 4 4 44 }4 64 7 1 4 0 4 1 7 64 }4 0 4 4 17 234 224 20 " . . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . . 1 Á 20 30° . . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . . 1 Á 20 60° UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 50 - Sentido horário ou sentido negativo ( ). 4º Quadrante 0° R90°S: " X T R30°S 30° 0,5 µ é çã Ív, R"S " cosR30°S 30° 0,866 µ é çã ·, R"S " TR30°S T30° 0,577 µ T é çã Ív, TR"S T" 3º Quadrante R 90°S R180°S: " T X R120°S 120° R180° 60°S 60° 0,866 cosR120°S 120° R180° 60°S 60° 0,5 TR120°S T120° VTR180° 120°SW XT60° X 1,732 2º Quadrante R180° S R270°S: X T R210°S 210° V R180° X 30°SW X 30° X 0,5 cos R210°S 210° R180° X 30°S 30° 0,866 TR210°S T210° VX TR180° X 30°SW T30° 0,577 1º Quadrante R270°S R360°S: X R315°S 45° X 0,707 X cos R315°S 45° X0 ,707 T X TR315°S T45° X1 " UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 51 LIMITES DE FUNÇÕES ³ Idéia Intuitiva de Limite: Seja a figura de forma quadrada e de área igual a 1. A soma de todas as áreas hachuradas vai se aproximar de 1, dizemos que essa 1, matematicamente nunca será igual a 1, sempre haverá uma divisão da figura. + ³ Ñ® + ³ Ñ® + ³ Ñ® ... + ... ³ ³ ® ³ ® ³ ® ³ ® Quando as divisões tendem ao infinito a área da figura tende a 1. Definição: Dizemos que o limite da função ½ R " S, quando " tende a é o número real se e somente se, os números reais da imagem R " S permanecem bem próximo s de para os infinitos valores de " próximos de . y R " S lim R " S§±% 0 " lê-se: limite da função R " S quando " tende a é . R " S ± P " ± Limites Laterais: Para que exista limite é necessário que exista limite pela esquerda e pela direita do ponto e que esses limites sejam iguais. Lim§±% R " S lim§±%¦ R " S lim§±%! R " S ³ ù® 1⁄16 ³ ù® UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 52 Y Unicidade do limite: O limite quando existe é único. 4 Lim§±7¦R"S 4 0 1 2 3 x lim§±7!R"S 3 -3 . . . . . Exemplo1: Qual o limite da função R"S " X 2 quando " ± 0 , " ± 2 . Y 2 0 1 2 3 4 " -2. . . . . . . . . . . R"S " X 2 lim§±3R" X 2S lim§±3R0 X 2S 2 lim§±7R" X 2S lim§±7R2 X 2S 0 lim§±3¦R" X 2S lim§±3¦R0 X 2S 2 lim§±7¦R" X 2S lim§±7¦R2 X 2S 0 lim§±3!R" X 2S lim§±3!R0 X 2S 2 lim§±7!R" X 2S lim§±7!R2 X 2S 0 Exemplo 2: Calcular o lim"±1√" 1 lim§±2!√" 1 e lim§±}√" 1 Solução: A condição de existência desse limite é: O radicando " 1 0 µ " 1 , existe a função para valores maiores ou igual 1, portanto lim§±2¦√" 1 çã ã á , LT º L,. y " ½ lim§±2√" 1 lim"±1√1 1 lim"±1√0 0 1 0 lim§±2!√" 1 lim§±2!√1 1 lim§±2!√0 0 0 1 x 5 2 lim§±}√" 1 lim§±}√5 1 lim§±}√4 2 10 3 Não existe limite da função ½ √" 1 quando " ± 1 Supondo que a função ½ √" 1 for contínua para todo " 1 então o limite vai existir para quaisquer valores do domínio. Por exemplo: " ± 2 , " ± 3 ... " ± ∞ . ( º limR"S"±2 UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 55 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DERIVADA DE UMA FUNÇÃO : A função primitiva passa por um processo de derivação, derivando uma nova função chamada de função derivada . Seja a função ½ R " S contínua ( existe o limite da função no ponto e este limite é finito) " " X ∆" dois pontos de seu domínio. Acréscimo da variável independente È ∆" é a diferença entre o valor com o acréscimo e o primeiro valor. Ex: " 4 R " X ∆" S 9 então ∆" 5 é o acréscimo. Acréscimo da variável dependente Ü ∆½ é a diferença entre o valor que a função toma em " X ∆" e o valor da função em ". ∆½ R " X ∆" S – R " S. RAZÃO INCREMENTAL ∆Ü ∆È é a razão entre o acréscimo da variável dependente ½ em relação ao acréscimo da variável independente " . ½ Quando ∆" tende a zero ( ∆" ± 0 ) a razão ∆Ü ∆È vai chegar no limite, e esse limite é a função derivada em È. lim∆§±3 ∆Ó∆§ lim∆§±3 ER§~∆§S ER§S ∆§ çã w Definição : A derivada de uma função é o limite da razão entre o acréscimo da variável dependente em relação ao acréscimo da variável independente, quando esta última tende a zero. Representamos esta nova função pelos Símbolos da função derivada: ãÜ ãÈ = Ü´ ×´RÈS ããÈ Ü Lê-se : ã´äÛ*ã ã´ Ü ´Ú ä´üçãÙ È R" X ∆"S . . . . . . . . . . . . . . . . . . ½ R"S R") ...... 0 " ∆" R" X ∆"S " UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 56 PROCESSO DE DERIVAÇÃO ou Regra Geral de Derivação : Regra dos 4 Passos. Seja + R " S função e x um ponto fixo , pré-estabelecido 1º Passo: ½ X ∆½ R " X ∆" S Damos um ∆x à variável independente, implicando acréscimo ∆y na função (x coloca-se " X ∆" ) 2º Passo ∆½ R " X ∆"S ½ Fazemos a subtração da função,sabemos que y =f(x) ∆½ R " X ∆" S R " S Dividimos ∆" em ambos os membros da equação 3º Passo ∆Ó ∆§ E R §~ ∆§ S– E R § S ∆§ Fazendo ∆x→0 a razão ∆Ó ∆§ chega ao limite 4º Passo oZq∆È→¯ ∆Ü∆È = oZq∆È→¯ ×RÈ~∆ÈS ×RÈS ∆È = ãÜ ãÈ Esse limite é a derivada da função inicial Exemplos : Utilizando o processo definição de derivada calcule a derivada das funções abaixo: a) ½ = ÏÈ X Æ 1º Passo: 5" X 3 X ∆½ = 5R" X ∆"S X 3 2º Passo ∆½ = 5" X 5 ∆" X 3 5" 3 ∆½ = 5 ∆" 3º Passo ∆Ó ∆§ = } ∆§ ∆§ 4º Passo lim∆§→3 ∆Ó∆§ = lim∆§→3 5 = 5 ¹v: ã ãÈ ÏÈ X Æ = Ï UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 57 b) ½ " 1º Passo ½ X ∆½ R" X ∆"S 2º Passo ∆½ ". ∆" X ∆". " " 3º Passo 0Ó 0§ ©@A§.:;© ∆§~©@A ∆§.:;©§©@A§∆§ 4º Passo lim∆§±3 ∆Ó∆§ lim∆§±3 ©@A§.:;© ∆§~©@A ∆§.:;©§©@A§∆§ lim∆§±3 ©@A§.:;© ∆§∆§ X lim∆§±3 ©@A ∆§.:;©§∆§ lim∆§±3 ©@A§∆§ L∆§±3 ".∆" . lim∆§±3 cos∆" X lim∆§±3 ∆"∆" . lim∆§±3 " lim∆§±3 "∆" L∆§±3 ©@A§.∆§ . lim∆§±3 cos 0° X 1 . lim∆§±3 " lim∆§±3 ©@A§∆§ L∆"±0 ".∆" X lim∆"±0 " lim∆"±0 "∆" lim∆§±3 " " Resposta: ããÈ ø´È úÙøÈ UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 60 Exemplos de cálculo de derivadas usando a tabela: 1) Ü 3 ô Ü ´ ¯ 3 úÙøåå´ a) ½ 8 ô ½ ´ 0 b) ½ 1 ô ½ ´ 0 c) ½ 3 ô ½ ´ 0 d) ½ 0 ô ½ ´ 0 e) ½ ô ½ ´ 0 2) Ü È Ü . È úÙøåå´ : número ou letra a) Ü È ô Ü ´ ³ b) ½ " ô ½ ´ 1 c) ½ 2" ô ½ ´ 2 d) ½ "3 " ô ½ ´ "3 e) ½ " ô ½´ 3) Ü â ô Ü ´ . â³. â´ a) ½ "2 ô ½ ´ 2 . "21. 1 2" b) ½ 2"3 ô ½ ´ 2 .3. "31. 1 6"7 c) ½ "4 ô ½ ´ 4 . "41. 1 4" d) ½ R3"S1 ô ½ ´ 3 R3"S12. 3 3.3. R3"S7 9.9"7 81"7 e) ½ 7" ô ½ ´ 2. 72" . " ½ ´ 2. " . " UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 61 4) Ü * X â ô Ü ´ â ´ X * ´ a) ½ 5"7 X 3" 4 ô ½ ´ 5.2" X 3 0 10" X 3 § b) ½ "1 X 3" X 7" X ô ½ ´ 3 "7 3. 3" X 7 c) ½ "6 2" X " ô ½ ´ 4 "62 2. 2" X 4"1 2" X 5) Ü â .* ô Ü ´ â ´.* X u. v a) ½ " . " ô ½ ´ ´. w X u. v " ô ´ 1 ½ ´ 1. " X ". " w " ô w ´ " ½ ´ " X ". " b) ½ "7 . 5" ô ½ ´ ´. w X . w ´ "7 ô ´ 2" ½ ´ 2". 5" X "7. R55"S w 5" ô w ´ 5 5" ½ ´ 2". 5" 5"7. 5" 6) Ü â* ô Ü ´ â ´. * â .* ´ * a) ½ 8"4" ô ½ ´ ´. w .w ´ w2 8" ô ´ 8. 8" ½ ´ 8. 8" .V4"W 8" .R4SR4"S2 w 4" ô w ´ 4 ½ ´ 64". 8" 8 8" 16"2 b) ½ "" ô ½ ´ ´. w .w ´ w2 " ô ´ " ½ ´ R"S. " " .cosx R"S2 w " ô w ´ " ½ ´ ©@A§ 456 ©@A§ UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 62 7) Ü üâ ô Ü ´ â ´â a) ½ L2" ô ½ ´ ´ 2" ô ´ 2 ½ ´ 2 2" 2 § b) ½ L " " ô ½´ D ´D " ô ´ " ½ ´ " " ½ ´ T" c) ½ L R"7 3xS ô ½´ ´ "2 3x ô ´ 2" 3 ½ ´ 2"3 "23x 8) ½ ô ½ ´ ´. a) ½ 9" ô ½ ´ ´. 9" ô ´ 9 ½ ´ 9. 9" b) ½ " ô ½ ´ ´. " ô ´ " ½ ´ " . " c) ½ 2" ô ½ ´ ´. 2" ô ´ 2. 2" ½ ´ 2. 2". 2" UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 65 k) B CÓCB B l) ½ ". 5" CÓC§ 5"5" X 5 m) ½ 2"" CÓC§ 2" 2"2""2 n) ½ §. " CÓC§ §R " "S o) ½ §. " CÓC§ §R " "S p) : 1X1 C;CB 7@<R@<~2S q) ½ L" CÓC§ T" r) ½ √§ CÓC§ √@ $ 7 s) ½ √"73 CÓC§ 71 √§/ UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 66 Exercícios de derivada ( 2ª lista ): 1) Calcule as derivadas das funções abaixo: Respostas a) ½ 2" ½´ 2. 2" b) ½ 6" ½´ 6"6" c) ½ §. 3" ½´ §R3" X 3 3"S d) ½ §. " ½´ §R" X "S e) ½ ln " ½´ T" f) ½ 7" ½´ 2" g) ½ 7" ½´ 2" h) ½ @$©@A§ y´ > ?R6> 456 S 6> UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 67 i) y A§§ ½´ 26A§§ j) ½ 7§~ ½´ 7§~. L7 l) ½ √5" ½´ }7√}§ m) ½ :;©§ ½´ ". :;©§ n) ½ 7". L7" ½´ 7R1 X L7"S o) ½ lnRL"S ½´ 2§.A§ p) ½ 2§ ½´ 2§ Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 70 Interpretação Geométrica da Diferencial: tg 0 " " X ∆" " ´R"S ½" Tï m é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto de abscissa ". Assim temos; Tï CÓC§ razão entre as diferenciais ãÜ ãÈ. @Ü @È se diferencia de ãÜ ãÈ por quantidade muito pequena que denominamos de q. 0Ó 0§ CÓC§ X P multiplicando por ∆È , ambos os membros da igualdade temos, 0Ó 0§ .∆" ½" . ∆" X P.∆" quando ∆" ± 0 R P .∆ "S ± 0 ∆½ ½" .∆" X P.∆" ∆½ ½" .∆" mas , CÓC§ ´R"S e ∆" " ∆½ ´R"S . " ∆½ ± ½ ½ R"S. " temos então; ã×RÈS ×´RÈS . ãÈ , ãÜ Ü´. ãÈ ãÛ×´ä´úÛü ã´ Ü. ∆½ q ½ 0 ½ ï α ∆" " R"S … … … · R" X ∆"S … . … … … … Q Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 71 1) Cálculo Aproximado por diferenciais: Quando ãÈ for muito pequeno ( B" ± 0 S temos ∆Ü ¡ ãÜ , o acréscimo da função se aproxima da diferencial da função; ∆Ü ¡ ãÜ R" X ∆"S R"S ¡ ´R"S .∆" temos que ×RÈ X ∆ÈS ¡ ×RÈS X ×´RÈS .∆È Exemplo: Calcular por diferenciais o valor aproximada de 7,1, dado 7 ¡ 7,29. Fazendo 2,3} 2~3,3} §~∆§ " 1 B" 0, 05 R"S " ´R"S " Substituindo na equação ×RÈ X ∆ÈS ¡ ×RÈS X ×´RÈS .∆È 2~3,3} ¡ 2 X 2. 0,1 ¡ 2R1 X 0,05S 2,3} ¡ 2,858 2) Erros Pequenos: Quando se quer computar pequenos erros nos cálculos usamos a fórmula da diferencial Exemplo: Quais os erros aproximados no volume e na área de um cubo de aresta igual a 6 polegadas se um erro de 0,02 polegadas foi feito ao medir a aresta? Solução: Da fórmula da diferencial temos, ãÜ ×´RÈS. ãÈ " ' " v" Ö´ "1 ç 6. "7 Ö´ 3"7 ç´ 12. " R " 6 " 0,02S Ö Ö´. " ç ç´. " Ö 3"7. " ç 12". " Ö 3. 67. 0,02 ç 12.6.0,02 Ö 2,16 vL.1 ç 1,44 vL.7 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 72 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: Seja a função Ü ×RÈS • Derivadas: Símbolos de derivação ×´ RÈS Ùâ ãÜãÈ Ùâ Ü´ • Diferencial: Símbolos de diferenciação R"S ½ ãÜ Ü´ . ãÈ • Integral: Símbolo de integração CR"S C´R"S. " CÜ´ . ãÈ INTEGRAÇÃO: É o processo de achar a Função Primitiva = Integral ×RÈS , a operação inversa da função diferencial . A operação de integração é indicada pelo sinal de integração ∫ posto antes da diferencial ; C ãÜ C Ü´. ãÈ Ü çã ·w ßå´þäü Lê-se: TL ´R"S. " é TL R"S. ¸ L ãÈ P È é wáwL Tçã. A derivação e a integração são operações inversas d CÜ´. ãÈ Ü´. ãÈ ¤ ë ìó P øÛü C vw çã ç, v L vLw øÙÚ. EXEMPLO: Calcular a integral das funções abaixo: a) CúÙøÈ. ãÈ çã vw ½ " . " PL çã P T w " ? ½ " C ". " " b) C" ½ 1. " C1. " a função que originou a derivada ½´ 1 tem como função primitiva ½ " C" " c) C ". " ½´ " função primitiva é ½ §7 C". " "22 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 75 Exemplos: Calcularemos integrais com expressões diferenciais iguais a da tabela de integração: 1) C" " X 2) C1. " " X 3) C 4. " 4 .C " 4 . " X 4) C C§6 C 2 6 " 2 6 " X 5) C "1 . " §/!1~2 X §6 X 6) C C§§ " C"7 "2X12X1 "11 1 " X 7) C CDD C :;©§ C§©@A§ L X L" X , " ô ". " 8) C §. " § X 9) C 7.§. @¦.$7 @¦.$7 X 10) C ". " " X 11) C R 3. "S. " X 456 R1.§S 1 12) C ". " " X 13) C R 4. "S. " seR4"S 4 X = 15) C 7 ". " CR 2 7 X 2 7 2"S" X 2 7 " X ©@A7§6 X c 16) C L". " " . L" " X 17) C lnR7. "S . " " . ln R7. "S " X Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 76 Exercícios Resolvido: Calcular as integrais abaixo: a) CR2" X 3"S" C 2". " X C 3". " 456 R7.§S 7 X @ /.$ 1 1 456 R7§S~7.@/$ 4 X b) CR9" 2"7S" C9". " 2"7. " C9". " C 2"7. " 9. "22 2. " 3 3 X 7§4 6§ / 4 X c) CR1 X "S" C 1. " X "" C" X C ". " " X "22 X d) C ©@A§ . ". " " ". ". " é a função diferencial que será integrada C ©@A§. ". " C ©@A§ + c e) C 7". " 7" 2 7 2 7 2" C 1 2 1 2 . 2" . dx C 27 dx C 1 2 2". dx 2 7 " 27 . ©@A7§7 2 7 " ©@A7§6 X C Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 77 f) C 7". " 7" 2 7 X 2 7 2" C 1 2 X 1 2 . 2" . dx C 27 dx X C 1 2 2". dx 2 7 " X 27 . ©@A7§7 2 7 " X ©@A7§6 X c g) C 2§ " C x--2 dx "2X12X1 "11 1 " X Õ h) C√" . " √" " C "" §! ~2 § / / √§// 7√§.§1 7§√§1 X i ) C 2" X 2" Sabemos que 7" X 7" 1 C 1" " X Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 80 INTEGRAL DEFINIDA: É a integral definida por um intervalo [a,b] onde a e b são valores definidos e finitos a é o limite inferior e b é o limite superior . A representação da integral definida é G R"). " & % Lê-se: integral de a de R")". A operação é chamada de integração entre o limite superior b e o limite inferior a. A integral definida C R"). " &% será âÚ´äÛúÚ´å´ Ûþâü áä´ . y S ½ R") ç C R"). "&% " S é a área sob a curva de função ½ R") PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA: P1) C ¸. R"). " ¸.C R"). "&%&% ¸ é P2) C R") + TR"). " C R"). " + C TR"). "&%&%&% P3) C R"). " C R"). "%&%& os limites inferior e superior foram trocados , a integral troca de sinal. P4) C R"). " C R"). " + C R"). " # , '&::%&% TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO: Se R") é çã vw çã R")é wáL óL. C R"). " &% R") R') R) Se a integração for por partes: C . w . w C w. &%&% Exemplos: 1) C "762 . " §/ 1 2 6 = 21 "1 2 1 41 11 13 63 633 ³ wL áä´ ' w. ½ ½ R") "7 S 0 1 4 " 4 1 0 a c b b a b a Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 81 2) C ". " ". " 3 0 0° R1 1) wL áä´ ' w. ½ S 0 7 0 " 3) C 3 §. " 3C § 3§377373 3[7 3 37 1 ¡ , Ð ½ 0 1 2 " Exercícios resolvido: Dado o gráfico, determine a área da função para um período, utilizando integral definida. ½ a) 6 0 5 10 15 " Solução : C R")}3 . " + C TR")23} . " C 6. " + C 0. "23}}3 6C " + 0 6"3}}3 65 0 65 Æ¯ A área do retângulo ø´ . üåâä Ï . Ð Æ¯ 0 0 ç y Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 82 b) ½ 10 0 10 20 25 30 " Solução : A área de um triângulo ç '.L2 20.102 100 C ". " + C R" + 20). "7323233 §7 323 + C ". " + C 20. "73237323 27 "7323 C ". " + 20C "73237323 27 107 0 &§7 '23 73 + 20"2373 2337 27 "72373 + 2020 10 50 27 207 107 + 2010 50 27 400 100 + 200 50 1337 + 200 50 150 + 200 ³¯¯ c) y Solução 1: C ". " + C 2. " + C R" + 6)" §7 37466773 + 2C " C ". " + C 6. "46 4667 2 27 "737 + 2"76 § 7 64 + 6"64 27 27 07 + 24 2 27 "764 + 66 4 0 2 4 6 8 x 67 + 2.2 27 67 47 + 6.2 2 + 4 27 36 16 + 12 18 737 = 18 10 8 Solução 2 : A área do trapézio S = R%©@ %?;>~&%©@ <@A;>).%BD>%7 ç R4~7).77 ù d) y Solução: C ". " "37 20 0° 1 1 73 0 0 ¸ á ×âçõ´ø øÛÚéåäÛúø ´ÛÈÙ È é IJKö , v . ³ ô ³ + ¯ S S 7 S 0 7 0 7 20 " -7 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 85 EXERCÍCIOS: Calcular o valor médio e o valor eficaz das funções nos gráficos abaixo: Y y y 0 3 6 " 0 9 18 27 " 0 6 12 18 " Respostas: a) b) c) d) e) f) g) Ö< 2 4,5 4 0,64 4,5 0,64 2 Ö@E 2,84 5,2 4,6 0,71 4,96 0,71 2,84 a) b) c) ½ ½ ½ ½ d) e) f) g) 1 7 1 4 0 0 0 3 6 " -1 - 7 - 4 4 9 8 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 86 VETORES: O conceito de vetor surgiu na Mecânica onde envolviam problemas com soma de forças atuando no mesmo ponto ( regra do paralelogramo). GRANDEZAS ESCALARES E GRANDEZAS VETORIAIS: GRANDEZAS ESCALARES: São grandezas que ficam determinadas por um número real acompanhado pela unidade correspondente. Ex: 5 kg de massa, 2 m2de área, 15 cm de comprimento etc. GRANDEZAS VETORIAIS: São grandezas que necessitam além de um número real ,também de uma direção e de um sentido. Ex: Velocidade, aceleração, peso, campo magnético , força e outras. DEFINIÇÃO DE VETOR: É o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo sentido,e de mesmo comprimento. IMAGEM GEOMÉTRICA DE UM VETOR: Na figura abaixo, tem-se um conjunto de segmentos orientados de um único vetor, esses 4 segmentos orientados ou 4 imagens geométricas de um mesmo vetor. Um vetor possui infinitos segmentos orientados. Representa um único vetor NOTAÇÃO DE UM VETOR: Letra minúscula encimada por uma seta. Exemplo: WWWWX , ' WWWWX , WWWX , WWWWX , w WWWWX , Y WWWWWX , … B (extremidade do vetor) VETOR significa levado, transportado. O ponto A é levado até o ponto B. A (origem do vetor) MÓDULO: |WX| COMPRIMENTO é o número não negativo que indica o do vetor. |X| 4 X X X X I I I I IX Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 87 VETOR NULO: 0 WWWWX [ ¯ WWWWX[ ¯ , sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas. VETOR UNITÁRIO: | WWWWX | 1 é w óL TL 1. \ûõ] ]æ] õ]: R WWWWX ) possui o sentido contrário do vetor WWWWX . WWWWX – WWWWX ADIÇÃO DE VETORES: WWWWX X WWWWX WWWWX Sejam WWWX ' WWWX vetores a Soma WWWX X ' WWWX será o vetor Resultante ¹ WWWWX. A soma de n vetores é feita de modo que a extremidade de cada vetor coincide com a origem do vetor seguinte, o vetor resultante é o vetor que fecha a poligonal, tendo por origem , a origem do 1º vetor e por extremidade , a extremidade do último vetor. Exemplo: WWWX WWX WWWX X ' WWWX ¹ WWWX ' WWWX WWWX ¹ WWWX WWX X WWWX ¹ WWWX WWWX WWX ¹ WWWX WWWX X ' WWWX X WWX ¹ WWWX ¹ WWWX WWX ' WWWX WWWX WWWX X ' WWWX ' WWWX X WWWWX propriedade comutativa. WWWX X R WWWXS 0 WWWX oposto. Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 90 Co-Senos Diretores: Sejam os vetores WWWX b WWWX ortogonais , ï 90°, respectivamente paralelos aos eixos " ½ no plano cartesiano. v3§WWWWWX¹WX ½ é a medida algébrica da projeção do vetor ¹ WWWX sobre a direção do vetor WWWX v3bWWWWWX ¹ WWWX " é a medida algébrica da projeção do vetor ¹WX sobre a direção do vetor bWX . ï = argumento ï v0yWWWWWWX ¹ WWWX c¹WWWXc "¹ ô " ¹ . ï ï v0"WWWWWWWX¹ WWWX c¹WWWXc ½¹ ô ½ ¹ . ï ¹ WWWX ¼"7 X ½7 ½//bWX v;§WWWWWX¹WX ¹WX. ï µ v3§WWWWWX¹WX " " ¹WWX. ï proj3bWWWWWX¹WX ¹WX 0 v3§WWWWWX¹WX "//X v3bWWWWWX ¹WX ¹WX. ï v3bWWWWWX ¹WX ½ ½ ¹WX. ï θ arc tg Ó§ Exemplos: Calcule o módulo e o argumento do vetor resultante abaixo: a) ½ 5 R ï 0 5 " ½ b) 0 ï 3 " ï -1.. . .R . . . . Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 91 NÚMEROS COMPLEXOS Introdução: Por volta de 1500 dc, a impressão é que, com a criação dos números Reais não seria mais necessária a ampliação de nenhum campo numérico. O conjunto dos Nºs Reais é formado pela união dos conjuntos Racionais e Irracionais, os quais fazem parte da reta real. Já os radicais de números negativos √" não pertencem ao conjunto do nºs Reais, pois não existe raiz quadrada de um número negativo , ou , não existe um número que elevado ao quadrado resulte em um número negativo. Porém quando o matemático Cardano descobriu a fórmula para a equação de 3º grau, que fornecia raízes reais mediante expressões onde apareciam raízes quadradas de números negativos , fez –se a necessidade de criar um novo número , que denominaram de Unidade Imaginária Û devido a desconfiança deste novo número. Obs.:Para os estudos de circuitos utilizaremos o símbolo j como unidade imaginária para não confundir com o símbolo i de corrente elétrica . UNIDADE IMAGINÁRIA ( f ): f √³ âÛãã´ ÛÚþÛáäÛ f , # O expoente é um número múltiplo de 4 . f¯ ³ fÑ ³ fù ³ f³ ³ ... f³ f fÏ f fÎ f f³Æ f ... f ³ fÐ ³ f³¯ ³ f³Ñ ³ ... fÆ f f÷ f f³³ f f³Ï f ... Exemplos: ) 72} ? Dividimos 215 4 o resto da divisão , no caso 3, será o novo expoente 3 53 72} 1 b) 64 ? 46 4 então 64 7 1 2 11 Exercícios: a) 233 b) }32 c) 1 d) 67 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 92 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ( ) Podem ser representados em um eixo imaginário ... - j3 - j2 - j1 0 j1 j2 j3 ... j (eixo imaginário) Pode ser escrito de várias formas : Retangular, polar, trigonométrica e exponencial. A forma Polar e a Retangular são as mais utilizadas em circuitos elétricos. È ´ Ü ã ú FORMA RETANGULAR: ( ou algébrica ) g È + fÜ f √³ âÛãã´ ÛÚþÛáäÛ ´Rg) È Parte Real de Z ßÚRg) fÜ Parte imaginária de Z Se " 0 ô ¹Rh) 0 ô h 0 + ½ ô g fÜ R º ÛÚþÛáäÛÙ ¿âäÙ, Ü ( ¯) Se ½ 0 ô ImRZS 0 ô h " X . 0 ô h " Rº LS Exercícios: Identifique a parte real e a imaginária dos nºs complexos: a) h 2 X 3 b) h 4 X 6 S h 7 d) h 1 X e) h 6 2,7 S h 2 2 g) h 15 h) h 6,2 i) h 10 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 95 FORMA POLAR: Esta forma é a mais utilizada em cálculo de circuitos elétricos. ï U 0 P R", ½S # 1º 2ºP g _ ï T ï Q 0 P R", ½S # 3º 4ºP 180° Q ï Q 180° ½ h h " X ½ R ¹ ¼"7 X ½7 ÃóL h _ ï T h 0 " ï ½ ¹ µ ½ ¹. ï , Tï ½ " ï " ¹ µ " ¹. " , ï T ½" Forma trigonométrica: g R úÙø_ X fø´_ S, ï é T . A fórmula de Euler ´f_ úÙø_ X fø´_ , possibilita a Forma exponencial : g . ´f_ TRANSFORMAÇÃO DO Nº COMPLEXO Retangular para as outras formas é preciso calcular a resultante R e o argumento _. g Ñ X fÆ " 4 ½ 3 ô ¹ √47 X 37 ô ¹ 5 ï T 34 ô ï 36,9° Forma Polar: h 5 36,9° Forma Exponencial: h 5. 3,72 Forma Trigonométrica: h 5. R 36,9° X 36,9°S Polar para Retangular: é preciso calcular os valores de È Ü e as demais formas é só substituir R e ï. h 2√2 45° A Resultante ¹ 2√2 O Argumento ï 45° ou ï 6 " 2√2 45° µ " 2√2 . √77 R√2S7 2 µ " 2 ½ 2√2 45° µ ½ 2√2 . √77 R√2S7 2 µ ½ 2 Forma Retangular: h 2 X 2 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 96 Exercícios: 1) Transforme os números complexos da forma Retangular para a forma Polar, após , represente-os no plano cartesiano a forma ·L R w ). a) h 3 + 3 e) h 2 + 2 b) h 3 4 f) h 1 c) h 4 g) h 2,6 1,5 d) h 5 h) h 2 3 Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 97 Conjugado de um Nº Complexo ( g¤): Seja o nº complexo h " + ½ , o seu conjugado é g¤ È fÜ onde a parte real de h h¤ são iguais e a parte imaginária são simétricas. a) h " + ½ ô h¤ " ½ forma Retangular b) h ¹ ï ô g¤ ¹ ï forma Polar c) h ¹. k ô g¤ ¹. k forma Exponencial d) h ¹R ï + ï) ô g¤ ¹R ï ï) forma Trigonométrica Exemplos: Dado os nºs complexos abaixo, determine o seu conjugado. jy a) h 3 + 2 ô h¤ 3 2 j5,7 h 8 45° b) h 4 6 ô h¤ 4 + 6 c) h 8 45° ô h¤ 8 45° 0 ï 5,7 " d) h 6. ô h¤ 6. 5,7 h¤ 8 45° e) h 2√2 6 + 6 ô h¤ 2√2 6 – 6 OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS COMPLEXOS: Adição e Subtração: Sejam os números complexos g³ ´ g h2 "2 + ½2 h7 "7 + ½7 g³ + g RÈ³ + È) + fRÜ³ + Ü) g³ g RÈ³ È) + fRÜ³ Ü) *A adição só é feita na forma Retangular o que se faz necessário a transformação do nº complexo para mesma. Exemplo: h2 3 + 2 h2 + h7 R3 + 1) + R2 3) 4 h7 1 3 h2 h7 R3 1) + R2 R3)) 2 + 5 h7 + h2 R1 + 3) + R3 + 2) 4 h7 h2 R1 3) + R3 2) 2 5 ï 45°