Lista de exercícios Cal II

Lista de exercícios Cal II

(Parte 1 de 6)

Exercícios de Cálculo I

1 Equações diferenciais ordinárias

1.1 Separáveis e homogéneas

1. Resolva as equações diferenciais abaixo.

(d) dydx

(f) dydx

Resp: y = Ce

(h) dydx = ey sinx;

(i) dydx

(j) dydx

(k) dydx

(m) dydx = sinxcos2 y.

(n) xdydx = y logx;

(t) dydx = yx

2. Mostre que a curva x2 − y2 = c, para qualquer valor de c, satifaz a equação diferencial dxdy = x y em todos os seus pon- tos (note que a curva é uma curva de nível).

3. Ache uma equação da curva do plano xy que passa pelo ponto (2,3) e tem, em cada ponto (x,y), inclinação igual a

4. Repita o exercício anterior para o ponto

5. Mostre que a mudança de variáveis ξ = x−x0 e η = y−y0 transforma a equação

1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 2 na equação homogénea dξ = aξ + bη eξ + fη

6. Use a técnica do exercício anterior para

1.2 Equações diferenciais lineares de primeira ordem

7. Resolva as seguintes equações diferenciais:

(b)

(d) dydx

(f) dydx

8. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:(a)

;(b)

(c)

;(d) x2dydx

(f)

9. Para quais valores de y0 a solução do

10. Encontre as coordenadas do menor máximo local da solução do problema inicial {

1. Descreve o comportamente asintótico quando t → +∞ das soluções da equação diferencial y′ +ay = be−λt para

12. Resolve e descreve o comportamento asintótico quando t → ∞ da solução ao problema inicial{

Para qual t > 0 a solução vale pela primeira vez 12?

2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 3

1.3 Equações exatas. Fatores integrantes

13. Mostre que as equações diferenciais abaixo são exatas e resolva-as.

14. Mostre que as equações diferenciais abaixo admitem fatores integrantes dependentes somente de x e depois resolva-as.

15. Que condições devem satisfazer os coeficientes M(x,y) e N(x,y) se a equação Mdx+Ndy = 0 tem um fator integrante na forma µ(y), e que equação diferencial este fator integrante deve satisfazer ?

16. Ache um fator integrante na forma µ(y) para a equação

17. Ache um fator integrante na forma µ(y) para a equação

e depois resolva-a.

2 Função de uma variá- vel real a valores em R2 e

2.1 Propriedades dos espaços R2 e R3

2. Determine a equação, na forma vetorial,

23. Determine equações para as seguintes retas:

2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 4

24. Em que ponto a última reta do exercício anterior intersecta o plano xy?

26. Determine o único valor de c ∈ R para

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