apostila - Fenomenos de transporte

apostila - Fenomenos de transporte

FENÔMENOS DOS TRANSPORTES

Eduardo Emery Cunha Quites

FENÔMENOS DOS TRANSPORTES

O processo de transporte é caracterizado pela tendência ao equilíbrio, que é uma condição onde não ocorre

nenhuma variação. Os fatos comuns a todos processos de transporte são :

A Força Motriz O movimento no sentido do equilíbrio é causado por uma diferença de potencial

O Transporte Alguma quantidade física é transferida

O Meio A massa e a geometria do material onde as variações ocorrem afetam a velocidade e a

direção do processo

Como exemplos podemos citar :

Os raios solares aquecem a superfície externa de uma parede e o processo de transferência de calor faz com

que energia seja transferida através da parede, tendendo a um estado de equilíbrio onde a superfície interna

será tão quente quanto à externa.

Quando um fluido está entre duas placas paralelas e uma delas se movimenta, o processo de transferência de

quantidade de movimento faz com que as camadas de fluido adjacentes à placa se movimentem com

velocidade próxima à da placa, tendendo a um estado de equilíbrio onde a velocidade do fluido varia de V na

superfície da placa em movimente até 0 na superfície da placa estacionária.

Uma gota de corante é colocada em recipiente com água e o processo de transferência de massa faz com que

o corante se difunda através da água, atingindo um estado de equilíbrio, facilmente detectado visualmente.

1.

TRANSFERÊNCIA DE CALOR

1.1. INTRODUÇÃO

1.1.1. O QUE É e COMO SE PROCESSA?

Transferência de Calor (ou Calor) é energia em trânsito devido a uma diferença de temperatura. Sempre que

existir uma diferença de temperatura em um meio ou entre meios ocorrerá transferência de calor.

Por exemplo, se dois corpos a diferentes temperaturas são colocados em contato direto, como mostra a figura

1.1, ocorrera uma transferência de calor do corpo de temperatura mais elevada para o corpo de menor

temperatura até que haja equivalência de temperatura entre eles. Dizemos que o sistema tende a atingir o

equilíbrio térmico.

T1 T2

T

T

Se T1 > T2 .. T1 > T > T2

[ figura 1.1 ]

Está implícito na definição acima que um corpo nunca contém calor, mas calor é indentificado com tal quando

cruza a fronteira de um sistema. O calor é portanto um fenômeno transitório, que cessa quando não existe mais

uma diferença de temperatura.

Os diferentes processos de transferência de calor são referidos como mecanismos de transferência de calor.

Existem três mecanismos, que podem ser reconhecidos assim :

Quando a transferência de energia ocorrer em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um fluido,

em virtude de um gradiente de temperatura, usamos o termo transferência de calor por condução. A figura

1.2 ilustra a transferência de calor por condução através de uma parede sólida submetida à uma diferença de

temperatura entre suas faces.

[ figura 1.2 ]

Quando a transferência de energia ocorrer entre uma superfície e um fluido em movimento em virtude da

diferença de temperatura entre eles, usamos o termo transferência de calor por convecção. A figura 1.3

ilustra a transferência de calor de calor por convecção quando um fluido escoa sobre uma placa aquecida.

[ figura 1.3 ]

Quando, na ausência de um meio interveniente, existe uma troca líquida de energia (emitida na forma de

ondas eletromagnéticas) entre duas superfícies a diferentes temperaturas, usamos o termo radiação. A figura

1.4 ilustra a transferência de calor por radiação entre duas superfícies a diferentes temperaturas.

[ figura 1.4 ]

2.4. MECANISMOS COMBINADOS

Na maioria das situações práticas ocorrem ao mesmo tempo dois ou mais mecanismos de transferência de calor

atuando ao mesmo tempo. Nos problemas da engenharia, quando um dos mecanismos domina quantitativamente,

soluções aproximadas podem ser obtidas desprezando-se todos, exceto o mecanismo dominante. Entretanto, deve

ficar entendido que variações nas condições do problema podem fazer com que um mecanismo desprezado se

torne importante.

Como exemplo de um sistema onde ocorrem ao mesmo tempo vários mecanismo de transferência de calor

consideremos uma garrafa térmica. Neste caso, podemos ter a atuação conjunta dos seguintes mecanismos

esquematizados na figura 1.5 :

[ figura 1.5 ]

q1 : convecção natural entre o café e a parede do q6 : condução através da capa plástica

frasco plástico q7 : convecção natural da capa plástica para o ar

q2 : condução através da parede do frasco plástico

ambiente

q3 : convecção natural do frasco para o ar q8 : radiação entre a superfície externa da capa e as

q4 : convecção natural do ar para a capa plástica vizinhanças

q5 : radiação entre as superfícies externa do frasco e

interna da capa plástica

Melhorias estão associadas com (1) uso de superfícies aluminizadas ( baixa emissividade ) para o frasco e a

capa de modo a reduzir a radiação e (2) evacuação do espaço com ar para reduzir a convecção natural.

1.1.3. SISTEMAS DE UNIDADES

As dimensões fundamentais são quatro : tempo, comprimento, massa e temperatura. Unidades são meios de

expressar numericamente as dimensões.

Apesar de ter sido adotado internacionalmente o sistema métrico de unidades denominado sistema

internacional (S.I.), o sistema inglês e o sistema prático métrico ainda são amplamente utilizados em todo o

mundo. Na tabela 1.1 estão as unidades fundamentais para os três sistemas citados :

Tabela 1.1 - Unidades fundamentais dos sistemas de unidades mais comuns

SISTEMA TEMPO, t COMPRIMENTO,L MASSA ,m TEMPERATURA

S.I. Segundo,s metro,m quilograma,kg Kelvin,k

INGLÊS Segundo,s pé,ft libra-massa,lb Farenheit,oF

MÉTRICO Segundo,s metro,m quilograma,kg celsius,oC

[ 1 pé = 12 polegadas ou 1 ft (foot ) = 12 in (inch) ou 1’ = 12’’ ]

Unidades derivadas mais importantes para a transferência de calor, mostradas na tabela 1.2, são obtidas por

meio de definições relacionadas a leis ou fenômenos físicos :

Lei de Newton : Força é igual ao produto de massa por aceleração ( F = m.a ), então :

1 Newton ( N ) é a força que acelera a massa de 1 Kg a 1 m/s2

Pressão é força aplicada por unidade de área ( P = F / A ), então :

1 Pascal ( Pa ) é a pressão resultante quando uma força de 1 N é aplicada em uma área de 1 m2

Trabalho ( Energia ) é o produto da força pela distância ( t = F.x ), então :

1 Joule ( J ) é a energia dispendida por uma força de 1 N em 1 m

Potência é trabalho na unidade de tempo ( P = t / t ), então :

1 Watt ( W ) é a potência dissipada por uma força de 1 J em 1 s

Tabela 1.2 - Unidades derivadas dos sistemas de unidades mais comuns

SISTEMA FORÇA, F PRESSÃO, P ENEGIA, E POTÊNCIA, P

S.I. Newton,N Pascal, Pa Joule,J Watt,W

INGLÊS libra-força,lbf lbf/pol2 lbf-ft (Btu) Btu/hMÉTRICO kilograma-força,kgf Kgf/cm2 kgm (kcal) kcal/h

As unidades mais usuais de energia ( Btu e Kcal ) são baseadas em fenômenos térmicos, e definidas como :

Btu é a energia requerida na forma de calor para elevar a temperatura de 1lb de água de 67,5 oF a 68,5 oF

Kcal é a energia requerida na forma de calor para elevar a temperatura de 1kg de água de 14,5 oF a 15,5 oF

Em relação ao calor transferido, as seguintes unidades que são, em geral, utilizadas :

q& - fluxo de calor transferido (potência) : W, Btu/h, Kcal/h ( potência )

Q- quantidade de calor transferido (energia) : J, Btu, Kcal ( energia )

Algumas relações de conversão dasnidades :

1 N = 0,102 kgf = 0,2249 lbf

1 Pa = 0,102 kgf/m2 = 0,000145 lbf/pol2

1J = 0,0009478 Btu = 0,00023884 Kcal

1 W = 3,41214 Btu/h = 0,85984 Kcal/h = 0,001359 CV = 0,001341 HP

1.2. CONDUÇÃO

1.2.1. LEI DE FOURIER

A lei de Fourier foi desenvolvida a partir da observação dos fenômenos da natureza em experimentos.

Imaginemos um experimento onde o fluxo de calor resultante é medido após a variação das condições

experimentais. Consideremos, por exemplo, a transferência de calor através de uma barra de ferro com uma das

extremidades aquecidas e com a área lateral isolada termicamente, como mostra a figura 1.6 :

[ figura 1.6 ]

Com base em experiências, variando a área da seção da barra, a diferença de temperatura e a distância entre as

extremidades, chega-se a seguinte relação de proporcionalidade:

q&

a

A.

T

x

..

A proporcionalidade pode se convertida para igualdade através de um coeficiente de proporcionalidade e a Lei

de Fourier pode ser enunciada assim: A quantidade de calor transferida por condução, na unidade de tempo, em

um material, é igual ao produto das seguintes quantidades:

dT

q&

=-kA ..

( eq. 1.1 )

dx

onde,

q&, fluxo de calor por condução ( Kcal/h no sistema métrico);

k, condutividade térmica do material;

A, área da seção através da qual o calor flui, medida perpendicularmente à direção do fluxo ( m2);

dT dx, razão de variação da temperatura T com a distância, na direção x do fluxo de calor ( oC/h )

.. A razão do sinal menos na equação de Fourier é que a direção do aumento da distância x deve ser a direção

do fluxo de calor positivo. Como o calor flui do ponto de temperatura mais alta para o de temperatura mais

baixa (gradiente negativo), o fluxo só será positivo quando o gradiente for positivo (multiplicado por -1).

O fator de proporcionalidade k ( condutividade térmica ) que surge da equação de Fourier é uma propriedade de

cada material e vem exprimir maior ou menor facilidade que um material apresenta à condução de calor. Sua

unidade é facilmente obtida da própria equação de Fourier, por exemplo, no sistema prático métrico temos :

.....

.....

dT

Kcal h Kcal

q&

q&

=-

k.A.

.

k

=-

=

dT

dx

oC h.m. oC

A.

2

m

dx

.

=

.

m

WW

Nosistema internacional(SI),fica assim:

2 K m.K

m.

m

Os valores numéricos de k variam em extensa faixa dependendo da constituição química, estado físico e

temperatura dos materiais. Quando o valor de k é elevado o material é considerado condutor térmico e, caso

contrário, isolante térmico. Com relação à temperatura, em alguns materiais como o alumínio e o cobre, o k

varia muito pouco com a temperatura, porém em outros, como alguns aços, o k varia significativamente com a

temperatura. Nestes casos, adota-se como solução de engenharia um valor médio de k em um intervalo de

temperatura..

1.2.2. CONDUÇÃO DE CALOR EM UMA PAREDE PLANA

Consideremos a transferência de calor por condução através de uma parede plana submetida a uma diferença

de temperatura. Um bom exemplo disto é a transferência de calor através da parede de um forno, como pode ser

visto na figura 1.7, que tem espessura L, área transversal A e foi construído com material de condutividade

térmica k. Do lado de dentro do forno uma fonte de calor mantém a temperatura na superfície interna da parede

constante e igual a T1 enquanto que a temperatura da superfície externa permaneça igual a T2.

[ figura 1.7 ]

Aplicado a equação de Fourier, tem-se:

dT

q&

=-k.A.

dx

Fazendo a separação de variáveis, obtemos :

q&.dx =-k.A.dT ( eq. 1.2 )

Na figura 1.7 vemos que na face interna ( x=0 ) a temperatura é T1 e na face externa ( x=L ) a temperatura é

T2. Para a transferência em regime permanente o calor transferido não varia com o tempo. Para a área

transversal da parede “A” e a condutividade “k” constantes, a integração da equação 1.2, fica assim:

LT

q&..

dx =-k.A..

12 dT q&.(L -

0)=-k.A.(T2 -T1 )

0 T

q&.L =

k.A.(T1 -

T2 )

Considerando que ( T1 - T2 ) é a diferença de temperatura entre as faces da parede (.T ), o fluxo de calor a que

atravessa a parede plana por condução é :

k.A

( eq. 1.3 )

q&

=

..T

L

Para melhor entender o significado da equação 1.3 consideremos um exemplo prático. Suponhamos que o

engenheiro responsável pela operação de um forno necessita reduzir as perdas térmicas pela parede de um forno

por razões econômicas. Considerando a equação 1.3, o engenheiro tem as opções listadas na tabela 1.3 :

Tabela 1.3- Possibilidades para redução de fluxo de calor em uma parede plana.

OBJETIVO VARIÁVEL AÇÃO

Reduzir k trocar a parede por outra de menor condutividade térmica

Reduzir q&

Reduzir A reduzir a área superficial do forno

Aumentar L aumentar a espessura da parede

Reduzir .T reduzir a temperatura interna do forno

OBS : Trocar a parede ou reduzir a temperatura interna podem ser ações de difícil implementação; porém, a

colocação de isolamento térmico sobre a parede cumpre ao mesmo tempo as ações de redução da condutividade

térmica e aumento de espessura da parede.

Exercício R.1.2.1. Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de comprimento, 6 m

de largura e 3 m de altura a 22 oC. As paredes da sala, de 25 cm de espessura, são feitas de tijolos com

condutividade térmica de 0,14 Kcal/h.m.oC e a área das janelas são consideradas desprezíveis. A face externa

das paredes pode estar até a 40 oC em um dia de verão. Desprezando a troca de calor pelo piso e teto, que estão

bem isolados, pede-se o calor a ser extraído da sala pelo condicionador ( em HP ). Dado: 1HP = 641,2 Kcal/h

6m

15m T1

T2

k

L

q

6m

15m T1

T2

k

L

q

T1 =

40 oC T2 =

22 oC

k =

014 Kcal hm o

,

.. C

L =

25cm =

,

0 25 m

3m

615 ×

3m

sala : ×

Desconsiderando a influência de janelas, a área lateral das paredes, desprezando o piso e o teto, é :

2

A =

2 ×(6 ×

3)+

2 ×(15×

3)=

126m

Utilizando a equação 1.3, temos :

o 2

k.A 0,14(Kcal h.m. C)×126m

o

q&

=

.(T1 -

T2 )=

×(40 -

22)

C =

1270Kcal h

L 0,25m

1 HP

q&

=

1270 Kcal

h

=

, HP

×

1 979

641 2 , Kcal

h

q&.

2 HP

Portanto a potência requerida para o condicionador de ar manter a sala refrigerada é :

1.2.3. ANALOGIA ENTRE RESISTÊNCIA TÉRMICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

Dois sistemas são análogos quando eles obedecem a equações semelhantes. Por exemplo, a equação 1.3 que

fornece o fluxo de calor através de uma parede plana pode ser colocada na seguinte forma:

.T

q&

=

L ( eq. 1.4 )

k.A

O denominador e o numerador da equação 1.4 podem ser entendidos assim :

• ( .T ) , a diferença entre a temperatura é o potencial que causa a transferência de calor

( L / k.A ) é equivalente a uma resistência térmica (R) que a parede oferece à transferência de calor

Portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser expresso da seguinte forma :

.T

( eq. 1.5 )

q&

=

onde, .T é o potencial térmico e

R

R é a resistência térmica da parede

Se substituirmos na equação 1.5 o símbolo do potencial de temperatura .T pelo de potencial elétrico, isto é, a

diferença de tensão .U, e o símbolo da resistência térmica R pelo da resistência elétrica Re, obtemos a

equação 1.6 ( lei de Ohm ) para i, a intensidade de corrente elétrica :

.U

i =

( eq. 1.6 )

Re

Dada esta analogia, é comum a utilização de uma notação semelhante à usada em circuitos elétricos, quando

representamos a resistência térmica de uma parede. Assim, uma parede de resistência R, submetida a um

potencial .T e atravessada por um fluxo de calor q&, pode ser representada como na figura 1.8 :

[ figura 1.8 ]

1.2.4. ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM SÉRIE

Consideremos um sistema de paredes planas associadas em série, submetidas a uma diferença de temperatura.

Assim, haverá a transferência de um fluxo de calor contínuo no regime permanente através desta parede

composta. Como exemplo, analisemos a transferência de calor através da parede de um forno, que pode ser

composta de uma camada interna de refratário ( condutividade k1 e espessura L1), uma camada intermediária

de isolante térmico ( condutividade k2 e espessura L2) e uma camada externa de chapa de aço ( condutividade

k3 e espessura L3). A figura 1.9 ilustra o perfil de temperatura ao longo da espessura desta parede composta :

T1 1k k2

T2

k3

T3

T4

.

q

L

L

L2

1

3

[ figura 1.9 ]

O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes planas

individualmente :

kA.1 kA2. 3.

12 kA3

q&

=

.(T-

T); q&

=

.(T-

T); q&

=

.(T-

T)

12 2334

LL L

1 2 3 ( eq. 1.7 )

Colocando em evidência as diferenças de temperatura nas equações acima e somando membro a membro,

obtemos:

q&.L

(T-T) =

1

12 k.A

11

q&.L

(T -

T) =

2

23 k.A

22

q&.L

(T3 -

T4) =

3

k3.A3

ou,

q&.Lq&.Lq&.L

12 3

T-

T +

T -

T +

T -

T =+

+

12 2334

k.Ak.Ak.A

11 22 33

qL&. qL&. qL

12 3

T1 -

T4 =+

+

&.

( eq. 1.8 )

kA.1 kA2 .3

.

12 kA3

Colocando em evidência o fluxo de calor q& e substituindo os valores das resistências térmicas em cada parede

na equação 1.8 , obtemos o fluxo de calor pela parede do forno :

T1 -

T4

q&=

( eq. 1.9 )

T1 -T4 =

q&.(R1 +

R2 +

R3) .

R+

R +

R

12 3

Portanto, para o caso geral em que temos uma associação de paredes n planas associadas em série o fluxo de

calor é dado por :

n

(.T)

total

( eq. 1.10 )

q&

=

,ondeRt =SRi =

R1 +

R2 +···+

Rn

Rt i=1

1.2.5. ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM PARALELO

Consideremos um sistema de paredes planas associadas em paralelo, como na figura 1.10, submetidas a uma

diferença de temperatura constante e conhecida. Assim, haverá a transferência de um fluxo de calor contínuo no

regime permanente através da parede composta. Faremos as seguintes considerações :

Todas as paredes estão sujeitas a mesma diferença de temperatura;

As paredes podem ser de materiais e/ou dimensões diferentes;

[ figura 1.10 ]

O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes planas

individualmente :

kA1. 2.

1 kA2

q&

=

.(TT-

); q&

=

.(TT )

-

( eq. 1.11 )

1 122 12

L1 L2

O fluxo de calor total é igual a soma dos fluxos da equação 1.11 :

.k .A ..k .A ..k .Ak .A .

11 22 1122

q&

=

q&1 +

q&2 =..(T1 -

T2).+..(T1 -

T2).=.+

..(T1 -

T2) ( eq. 1.12 )

LL LL

.

1 ..

2 ..

12 .

L 1 kA

.

Como R =

.=

( eq. 1.13 )

kA. RL

Substituindo a equação 1.13 na equação 1.12, obtemos :

.

11 .

(T1 -

T2) 111

q&

=.+

..(T1 -

T2) =

onde, =+

RR RRRR

.

12 .

tt 12

Portanto, para o caso geral em que temos uma associação de n paredes planas associadas em paralelo o fluxo de

calor é dado por :

n

(.T )

1 111 1

total

q&

=

,onde =S=+

+···+

( eq. 1.14 )

R Ri=1 RRR R

t ti 12 n

Exercício R.1.2.2. Uma camada de material refratário ( k=1,5 kcal/h.m.oC ) de 50 mm de espessura está

localizada entre duas chapas de aço ( k = 45 kcal/h.moC ) de 6,3 mm de espessura. As faces da camada

refratária adjacentes às placas são rugosas de modo que apenas 30 % da área total está em contato com o aço.

Os espaços vazios são ocupados por ar ( k=0,013 kcal/h.m.oC ) e a espessura média da rugosidade de 0,8 mm.

Considerando que as temperaturas das superfícies externas da placa de aço são 430 oC e 90 oC,

respectivamente; calcule o fluxo de calor que se estabelece na parede composta. OBS : Na rugosidade, o ar está

parado (considerar apenas a condução)

kaço =

45Kcal h.m. oC kref =1,5Kcal h.m. oC

kar =

0,013Kcal h.m. oC

Lref =

50mm

L =

6,3mm =

0,0063mL =

0,8mm =

0,0008m

aço rug

L'=

50 -(2×0,8)=

48,4mm =

0,0483m

ref

T1 =

430 oC T2 =90oC

9

Cálculo das resistências térmicas ( para uma área unitária ) :

Lrug 0,0008 o

Laço 0,0063 o

R1 ==

=

0,00014h. C Kcal R3 ==

=

0,0018h. C Kcal

k .A 1,5×(0,3×1)

k .A 45 ×1

aço ref

Lref 0,0484 o

Lrug 0,0008 o

R2 ==

=

0,08791h. C Kcal R1 ==

=

0,0323h. C Kcal

k .A 0,013×(0,7 ×1)

k .A 1,5×1

ar ref

A resistência equivalente à parede rugosa ( refratário em paralelo com o ar ) é :

1111

1

o

=+=+

.

R23=000176

.

// , h C Kcal

RR 0

08791

0

0018

R ,,

23// 23

A resistência total, agora, é obtida por meio de uma associação em série :

=

0

0361

h C Kcal

R =

R +

R +

R +

R +

R ,. o

t 12//342//31

Um fluxo de calor é sempre o (DT)total sobre a Rt , então :

(.T )

T -

T 430 -

90

total 12

q&=

9418 Kcal h

q&

=

==

Î

Rt Rt 0,0361

1.2.6. CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE CONFIGURAÇÕES CILÍNDRICAS

Consideremos um cilindro vazado submetido à uma diferença de temperatura entre a superfície interna e a

superfície externa, como pode ser visto na figura 1.11.

[ figura 1.11 ]

O fluxo de calor que atravessa a parede cilíndrica poder ser obtido através da equação de Fourier, ou seja :

dT dT

q&

=-kA .. onde é o gradiente de temperatura na direção radial

dr dr

Para configurações cilíndricas a área é uma função do raio :

A =

2.p.r.L

Substituindo na equação de Fourier, obtemos :

.

q =-k.(2.p.r.L). dT

dr

Fazendo a separação de variáveis e integrando entre T1 em r1 e entre T2 em r2, chega-se a:

rdr T

q

. .r

2 =-k.2.p.L..T

2.dT

1 r 1

q

.

.[ln r -

ln r ]=

-

k .2.p

.L.(T -

T1 )

21 2

Aplicando-se propriedades dos logaritmos, obtemos :

.

r2 .

q

.

..ln .=k.2.p.L.(T1 -T2 )

r

.

1 .

O fluxo de calor através de uma parede cilíndrica será então :

k.2.p.L

q&=

.(T1 -T2 )

( eq. 1.15 )

.

r .

.ln 2 .

..

r

.

1 .

O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede cilíndrica. Devido à analogia com a

eletricidade, um fluxo de calor na parede cilíndrica também pode ser representado como :

.T

q&

=

onde, .T é o potencial térmico e R é a resistência térmica da parede cilíndrica

R

Então para a parede cilíndrica, obtemos :

.r .

ln.2 .

r

.

1 .

k.2.p.L .T

R =

q&

=

..T =

Î

( eq. 1.16 )

k.2.p.L

.

r .

R

.ln 2 .

..

r

.

1 .

Para o caso geral em que temos uma associação de paredes n cilíndricas associadas em paralelo, por analogia

com paredes planas, o fluxo de calor é dado por :

n

(.T )

total

q&

=

onde,Rt =SRi =R1 +R2 +L

+Rn

( eq. 1.17 )

Rt i=1

1.2.7. CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE UMA CONFIGURAÇÃO ESFÉRICA

Consideremos uma esfera oca submetida à uma diferença de temperatura entre a superfície interna e a

superfície externa, como pode ser visto na figura 3.12.

[ figura 1.12 ]

O fluxo de calor que atravessa a parede esférica poder ser obtido através da equação de Fourier, ou seja :

dT dT

q&

=-

.. l

kA onde é o gradiente de temperatura na direção radia

dr dr

Para configurações cilíndricas a área é uma função do raio : A =4.p.r 2

Substituindo na equação de Fourier, obtemos :

.

2 dT

q =-k.(4.p.r ).

dr

Fazendo a separação de variáveis e integrando entre T1 em r1 e entre T2 em r2, chega-se a :

.

2 2.

-2 .

1

q .rr .dr =-4.k.p..T .dT q..-r-

r1 T1 .

.

2

r ..

T .

.

4.k.p.

2

.=-

.T

.

1

1 .

T .

r .

. ..

.

1 .1 ..

11 .

q..-

-..

..

.=-4.k.p.(T2 -

T1 )

q..-

.=

4.k.p.(T1 -

T2 )

rr rr

.

1 .

2 ..

.

12 .

O fluxo de calor através de uma parede esférica será então :

4.k.p

q&

=

.(T1 -

T2 )

( eq. 1.18 )

.

11 .

..

..

rr

.

12 .

O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede esférica:

.T

q&

=

onde, .T é o potencial térmico; e R é a resistência térmica da parede

R

Então para a parede esférica, obtemos :

.

11 .

..

-

..

rr

.

12 .

4.k.p.T

R =

q&

=

..T =

Î

( eq. 1.19 )

4.k.p

.

11 .

R

..

-

..

rr

.

12 .

Para o caso geral em que temos uma associação de paredes n esféricas associadas em paralelo, por analogia

com paredes planas, o fluxo de calor é dado por :

n

(.T )

total

q&

=

onde,Rt =SRi =

R1 +

R2 +

L

+

Rn

( eq. 1.20 )

Rt i=1

Exercício R.1.2.3. Uma parede de um forno é constituída de duas camadas : 0,20 m de tijolo refratário (k = 1,2

kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal/h.m.oC). A temperatura da superfície interna do

refratário é 1675 oC e a temperatura da superfície externa do isolante é 145 oC. Desprezando a resistência

térmica das juntas de argamassa, calcule :

a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede;

b) a temperatura da interface refratário/isolante.

parede de refratário :

L1 =

020 mk1 =

1 2 , Kcal hm .. oC

,

parede de isolante :

L2 =

013 , mk2 =

0 15 , Kcal hm o

.. C

T1 =

1675oC T3 =

145oC

a) Considerando uma área unitária da parede ( A=A1=A2=1 m2 ), temos :

(.T )

T -

TT -

T 1675 -145

2

total 13 13

q =

1480,6Kcal h(pm )

q&

===

=

RR +

RL1 L2 0,20 0,13

t ref iso

++

k1.Ak2.A 1,2 ×1 0,15×1

b) O fluxo de calor também pode ser calculado em cada parede individual. Na parede de refratário, obtemos :

T -

TT -

Tk .A 1,2 ×1

12 12 1

T2 =

1428 2

, oC

q&

===

.(T1 -

T2 )

1480,6 =

×(1675 -

T2 )

Rref L1 L1 0,20

k1.A

Exercício R.1.2.4. Um tanque de aço ( k = 40 Kcal/h.m.oC ), de formato esférico e raio interno de 0,5 m e

espessura de 5 mm, é isolado com 1½" de lã de rocha ( k = 0,04 Kcal/h.m.oC ). A temperatura da face interna

do tanque é 220 oC e a da face externa do isolante é 30 oC. Após alguns anos de utilização, a lã de rocha foi

substituída por outro isolante, também de 1½" de espessura, tendo sido notado então um aumento de 10% no

calor perdido para o ambiente ( mantiveram-se as demais condições ). Determinar :

a) fluxo de calor pelo tanque isolado com lã de rocha;

b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante;

c) qual deveria ser a espessura ( em polegadas ) do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor que

era trocado com a lã de rocha.

r1 =,05 m

r2 05 +0 005 = ,0 505 m

= , ,

r3 = ,0 505 + 15 x 0 0254 = ,

, , 0 5431 m

k1 = 40 Kcal /..oC k2 = 0 04 Kcal /.. oC

hm , hm

T1 =

220 oC T3 =

30 oC

.

11 ..

11 .

111 1

..

-..

..

-..

-

-

.

r1 r2 ..

r2 r3 .

0,5 0,505 0,505 0,5431 o

a) R =+=+

=

0,000039 +

0,276364 =

0,2764h. C Kcal

tk1.4p

k2 .4p

40×

4p

0,04×

4p

(.T )total 220 -

30

q&

==

=

687,41Kcal h

Rt 0,2764

b) Levando em conta a elevação do fluxo de calor :

&

, ×

q =

, ×

687 41 =

,

q'=

11 &

11 , 75615 Kcal h

T1 -

T3 220 -

30

q&

=

756,15 ==

.

11 ..

11 ..

11 .

..

-..

..

-..

.

-

.

rr rr 0,505 0,5431

.

12 ..

23 ..

.

+

0,000039 +

k .4p

k .4p

kiso ×

4p

1 iso

kiso =

0 044Kcal hm o

,

.. C

c) Para manter o fluxo de calor deve ser usada uma maior espessura isolante :

T2 -

T3 220 -

30

q&

=

687,41==

.

r3 '=

0,5472m

.

11 ..

11 .

..

-..

..

-..

rr 0,505 r'

.

23 ..

3 .

kiso .4p

0,044 ×

4p

e =

422 , cm =

, ''

1 66

3 r2, ,, =

4 22 cm

e =

r'-=

0 5472 -

0 505 =

0 0422 m ,

Exercício R.1.2.5. Um tubo de aço ( k = 35 kcal/h.m.oC ) tem diâmetro externo de 3”, espessura de 0,2”, 150 m

de comprimento e transporta amônia a -20 oC ( convecção na película interna desprezível ). Para isolamento do

tubo existem duas opções : isolamento de borracha ( k = 0,13 kcal/h.m.oC ) de 3” de espessura ou isolamento de

isopor ( k = 0,24 kcal/h.m.oC ) de 2” de espessura. Por razões de ordem técnica o máximo fluxo de calor não

pode ultrapassar 7000 Kcal/h. Sabendo que a temperatura na face externa do isolamento é 40 oC, pede-se :

a) As resistências térmicas dos dois isolamentos;

b) Calcule o fluxo de calor para cada opção de isolante e diga qual isolamento deve ser usado;

c) Para o que não deve ser usado, calcule qual deveria ser a espessura mínima para atender o limite.

ka =

35Kcal h.m. oC Te =

40 oC

ke =

0,13 Kcal h.m. oC Ti =-20 oC

ki =

0,24 Kcal h.m. oC L =

150m

r2 =

1,5 '

''=

1,5×

0,0254 =

0,0381m

r1 =

1,5 '

''-

0,2''

=

1,3''

=

0,03302m

r =

r =

1,5''

+

3 '

''=

4,5 '

''=

0,1143m

3.e

r3 =

ri =

1,5 '

''+

2''

=

3,5 '

''=

0,0889m

a) cálculo das resistências :

.

0,1143 ..

0,0889 .

ln..

re .

ln..

ln..

.

.

0,0381.

o

.

r2 ..

0,0381.

o

Re ==

=

0,00897h. C Kcal Ri ==

0,00375h. C Kcal

ke .2.p.L 0,13 ×

2 ×p

×150

0,24 ×

2 ×p

×150

b) cálculo dos fluxos de calor :

Te -Ti 40 -

(-

20)

q&e ==

.

q&

e =

6685,7 Kcal h

Re +

Ra .

0,0381 .

ln..

.

0,03302 .

0,00897 +

35×

2×p

×150

T -

T 40 -

(-

20)

q&

=

ei =.

q&

=

15981,7 Kcal h

i Ri +

Ra 0,00375 +

0,0000043 e

==> DEVE SER USADO O ISOLAMENTO DE BORRACHA

c) cálculo da espessura

T -

T 40 -

(-

20)

60

q&

=

ei =.7000 =

exig R +

R .

r'.

.

ri '.

ia i

ln..

ln..

.

0,0381..

0,0381.

+

0,0000043 +

0,0000043

0,24 ×

2 ×p

×150 942,48

.

ri '.

1,93784 ri '

ln.

.=

1,93784 .

e =

ri '=

0,265m =

10,4''

.

e =

10,4''

-1,5''

=

8,9''

.

0,0381.

0,0381

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

Exercício P.1.2.1. Em uma indústria farmacêutica, pretende-se dimensionar uma estufa. Ela terá a forma cúbica

de 1 m de lado e será construída de aço (k = 40 kcal/h.m. oC), com 10 mm de espessura, isolada com lã de vidro

(k= 0,08 kcal/h.m. oC) e revestida com plástico (k= 0,2 kcal/h.m. oC) de 10 mm de espessura. O calor será

inteiramente gerado por resistências elétricas de 100 O, pelas quais passará uma corrente de 10 A (P = R . i2 ).

Não pode ser permitida uma perda de calor superior a 10 % do calor gerado. Sabendo-se que as temperatura

nas faces das paredes, interna e externa, são respectivamente 300 oC e 20 oC, pede-se :

a) a resistência térmica exigida na parede da estufa;

b) a espessura da lã de vidro.

DADO : 1 W = 0,86 Kcal/h

Respostas : 0,326 h.oC/Kcal ; 152,1 mm

Exercício P.1.2.2. Um tubo de aço ( k = 35 kcal/h.m.oC ) tem diâmetro externo de 3”, espessura de 0,2”, 150 m

de comprimento e transporta amônia a -20 oC ( convecção desprezível ). Para isolamento do tubo existem duas

opções : isolamento de espuma de borracha ( k = 0,13 kcal/h.m.oC ) de 3” de espessura e isolamento de isopor (

k = 0,24 kcal/h.m.oC ) de 2” de espessura. Por razões de ordem técnica o máximo fluxo de calor não pode

ultrapassar 7000 Kcal/h. Sabendo que a temperatura na face externa do isolamento é 40 oC, pede-se :

a) As resistências térmicas dos isolantes;

b) Calcule o fluxo de calor para cada opção e diga qual isolamento deve ser usado;

c) Para o que não servir, calcule qual deveria ser a espessura mínima para atender o limite de fluxo de calor.

Respostas : 0,00897 h.oC/Kcal e 0,00375 h.oC/Kcal ; 6685,7 Kcal/h 15981,7 Kcal/h ; 8,9”

Exercício P.1.2.3. Um forno de 6 m de comprimento, 5m de largura e 3 m de altura tem sua parede constituída

de 3 camadas. A camada interna de 0,4 m é de tijolos refratários ( k=1,0 kcal/h.m.oC ). A camada intermediária

de 0,30 m tem a metade inferior de tijolos especiais ( k=0,20 kcal/h.moC ) e a metade superior de tijolos

comuns ( k=0,40 kcal/h.m.oC). A camada externa de 0,05m é de aço ( k=30 kcal/hm oC). Sabendo-se que a

superfície interna está a 1700 oC e a superfície externa está a 60 oC . Pede-se :

a) o fluxo de calor pela parede

b) considerando que após, alguns anos o fluxo de calor aumentou 10 % devido ao desgaste da camada de

refratários. Calcular este desgaste supondo que o mesmo foi uniforme em todo o forno.

Respostas : 77222 Kcal/h ; 12,7 cm

Exercício P.1.2.4. Um reservatório metálico ( k = 52 W/m.K ), de formato esférico, tem diâmetro interno 1,0 m

, espessura de 5 mm, e é isolado com 20 mm de fibra de vidro ( k = 0,034 W/m.K ). A temperatura da face

interna do reservatório é 200 oC e a da face externa do isolante é 30 oC. Após alguns anos de utilização, a fibra

de vidro foi substituída por outro isolante, mantendo a mesma espessura de isolamento. Após a troca do

isolamento, notou-se uma elevação de 15% na transferência de calor, bem como uma elevação de 2,5 oC na

temperatura da face externa do isolante. Determinar :

a) o fluxo de calor antes da troca do isolamento;

b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante;

c) qual deveria ser a espessura do novo isolamento para que as condições de temperatura externa e fluxo

voltassem a ser as mesmas de antes.

Respostas : 871,6 W ; 0,042 W/m.K ; 29,4 mm

Exercício P.1.2.5. Uma longa camada isolante de 9 mm de espessura é utilizada como isolante térmico de um

equipamento. A camada isolante é composta de borracha e possui um grande número de vazios internos de

seção quadrada e preenchidos com ar parado, conforme mostra o esquema na figura abaixo. A condutividade

térmica da borracha é 0,097 W/m.K e a condutividade térmica do ar parado é 0,022 W/m.K. Considerando que

a temperatura da face quente da camada é 120 °C e a da face fria é 45 °C, determine:

a) a fluxo de calor transferido por unidade de área da camada isolante;

b) a percentagem de variação do fluxo de calor caso a camada isolante seja substituída por outra de borracha

maciça de mesma espessura.

3 mm

3 mm

3 mm

Ar parado 3 mm

Borracha

3 mm

Respostas : 667,96 W ; +21%

1.3. CONVECÇÃO

1.3.1. LEI BÁSICA

O calor transferido por convecção, na unidade de tempo, entre uma superfície e um fluido, pode ser calculado

através da relação proposta por Isaac Newton :

q&

=

h.A..T

onde, ( eq. 1.21 )

q.

= fluxo de calor transferido por convecção ( kcal/h);

A = área de transferência de calor (m2);

.T = diferença de temperatura entre a superfície (Ts) e a do fluido em um local longe da superfície (T8 ) (oC);

h = coeficiente de transferência de calor por convecção ou coeficiente de película.

A figura 1.13 ilustra o perfil de temperatura para o caso de um fluido escoando sobre uma superfície aquecida.

[ figura 1.13 ]

A simplicidade da equação de Newton é ilusória, pois ela não explícita as dificuldades envolvidas no estudo da

convecção. O coeficiente de película é, na realidade, uma função complexa do escoamento do fluido, das

propriedades físicas do meio fluido e da geometria do sistema. A partir da equação 1.21, podem ser obtidas as

unidades do coeficiente de película. No sistema métrico, temos:

q&.

Kcal .

h =

..

(eq. 1.22 )

A ·.T .

h ·

m2 ·oC .

Analogamente, nos sistemas Inglês e Internacional, temos :

W

Sistema Iinternacional .

2

m.K

1.3.2. CAMADA LIMITE

Quando um fluido escoa ao longo de uma superfície, seja o escoamento em regime laminar ou turbulento, as

partículas na vizinhança da superfície são desaceleradas em virtude das forças viscosas. A porção de fluido

contida na região de variação substancial de velocidade, ilustrada na figura 1.14, é denominada de camada

limite hidrodinâmica.

[ figura 1.14 ]

Consideremos agora o escoamento de um fluido ao longo de uma superfície quando existe uma diferença de

temperatura entre o fluido e a superfície. Neste caso, O fluido contido na região de variação substancial de

temperatura é chamado de camada limite térmica. Por exemplo, analisemos a transferência de calor para o caso

de um fluido escoando sobre uma superfície aquecida, como mostra a figura 1.15. Para que ocorra a

transferência de calor por convecção através do fluido é necessário um gradiente de temperatura ( camada

limite térmica ) em uma região de baixa velocidade ( camada limite hidrodinâmica ).

[ figura 1.15 ]

O mecanismo da convecção pode então ser entendido como a ação combinada de condução de calor na região

de baixa velocidade onde existe um gradiente de temperatura e movimento de mistura na região de alta

velocidade. Portanto :

.

região de baixa velocidade .. a condução é mais importante

.

região de alta velocidade .. a mistura entre o fluido mais quente e o mais frio é mais importante

1.3.3. DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE PELÍCULA (h)

Como visto anteriormente, o coeficiente h é uma função complexa de uma série de variáveis relacionadas com

as seguintes características. Logo, h é uma função do tipo :

h =

f (D, µ, .,cp ,k,d

,V , g,.T )

onde,

( eq. 1.23 )

D: é a dimensão que domina o fenômeno da convecção. Ex: diâmetro de um tubo, altura de uma placa, etc

µ: viscosidade dinâmica do fluido; .: densidade do fluido;

cp: calor específico do fluido;

k : condutividade térmica do fluido;

d : coeficiente de expansão volumétrica V : velocidade do fluido;

g : aceleração da gravidade;

.T : diferença de temperatura entre a superfície e o fluido

Uma fórmula que levasse em conta todos estes parâmetros seria extremamente complexa. O problema é, então,

contornado dividindo-se o estudo em casos particulares. Para cada caso são obtidas equações empíricas através

da técnica de análise dimensional combinada com experiências, onde os coeficientes de película são calculados

a partir de equações empíricas obtidas correlacionando-se os dados experimentais com o auxílio da análise

dimensional. Os resultados são obtidos na forma de equações dimensionais conforme o regime de escoamento:

Para Convecção Forçada a equação é do tipo:

Nu =

F(Re,Pr)

h.DD.V..

cp.µ

( eq. 1.24 )

onde, Nu (Nusselt)=

; Re(Reynolds)=

Pr(Prandt)=

k

µ

k

Para Convecção Natural a equação é do tipo:

D3.d

.g..T

Nu =

F(Gr, Pr)

onde, Gr (Grashof )=

2

( eq. 1.25 )

µ

Exercício R.1.3.1. Em uma placa plana de 150 mm de comprimento e 100 mm de largura, eletricamente

aquecida, a máxima temperatura permissível no centro da placa é 135 °C. Para este caso específico o número de

Grashof é 2,2 x 107 e o número de Prandt é 0,7. Sabendo que a equação empírica, obtida com o auxílio da

análise dimensional, que descreve a convecção natural ( regime laminar ) em uma placa plana é dada pela

equação abaixo:

14

14

h.L

Nu = 0,555×Gr

×Pr

onde, Nu = (L : comprimento da placa)

k

Calcular o fluxo de calor por transferido por convecção, por ambos lados da placa, para o ar atmosférico a 25

°C ( kar = 0,026 Kcal/h.m.°C ).

A dimensão característica ( L ) é comprimento da placa : L =0,15 m

O de coeficiente de película do ar em volta da placa é calculado a partir da equação dimensional

hL

11

.

Nu = =0,555 ×

Gr 4 ×

Pr 4

kar

1

0,15

7 14

2 o

4

= 0,555×(2,2×10 )

×(0,7).

h =

6,03Kcal h.m . C

0,026

O fluxo de calor por convecção é obtido pela equação de Newton ( equação 1.21 ) :

q&

=

h.A..T =

6,03×[2 ×(0,10 ×

0,15)]×

(135 -

25)

&

=

, Kcal h

q 19 86

Exercício R.1.3.2. Em uma instalação industrial, ar quente a 300 °C flui sobre uma placa fina metálica plana,

com velocidade de 36 km/h. Como a placa contém alguns sensores, a mesma deve ser mantida a uma

temperatura de 27 °C. Para isto, utiliza-se um sistema de refrigeração composto por tubos sob a placa, por onde

circula água de refrigeração. Considerando que a placa é quadrada, com 1,5 m de lado, determine o fluxo de

calor a ser extraído pelo sistema de refrigeração para manter a placa na temperatura de 27 °C.

Dados/Informações Adicionais para o Exercício:

- Considere regime permanente e despreze os efeitos da radiação e da condução.

-Para fluxo laminar ( Re < 500000 ) seguinte correlação adimensional é apropriada:

Nu =

0,664 . ReL

12 . Pr 12

-Para fluxo turbulento ( Re > 500000 ) seguinte correlação adimensional é apropriada:

1

Nu =

0,0296.Re45.Pr 3, onde :

h.L

- Número de Nulsselt : NuL =

k

onde: h : coeficiente de película ( W/m2.K )

L : largura da placa ( m )

k : condutividade térmica do ar ( W/m.K )

v8

.L

- Número de Reynolds : ReL =

.

onde:

v8 : velocidade do fluxo de ar ( m/s )

. : viscosidade cinemática do ar ( m2/s )

- Número de Prandt : Pr ( função da temperatura da película )

- As propriedades do ar e o número de Prandt são tabelados em função temperatura da película.

Calculando a temperatura da película ( média entre a superfície o fluxo de ar ), obtemos os dados em

uma tabela de propriedades do ar :

TS +T8

27 +

300

Tf ==

=163.5°C

22

- condutividade térmica do ar : k = 0,0364 W/m.K

-viscosidade cinemática do ar : . = 3,13 x 10-5 m2/s

-Número de Prandt :

Pr = 0,687

v8

= 36 km/h = 10 m/s Ar Quente

L= 1,5 m

.= 3,13E-05 m2/s

k= 3,64E-02 W/m.K

Tar= 300 °C

1,5

Tchapa= 27 °C

Pr= 0,687

Cálculo do número de Reynolds:

v .L 10 ×1,5

Re =8=

=

478522,00

.

3,13 ×10-5

Portanto, a equação escolhida é :

22

Nu =

0,664 . ReL

1 .Pr1

11

Nu =

0,664 . 478522 2 . 0,687 2

Nu =380,71

Com o número de Nulsselt, calculamos o coeficiente de película

h. L Nu ×

k 380,71×0,0364

Nu =.

h ==

=

9,24W

m2.K

kL 1,5

O fluxo de calor transferido por convecção para a placa é obtido pela equação de Newton e é também

o fluxo de calor que tem que ser extraído pelo sistema de refrigeração :

q&

=

h.A.(TS -T8)

22

q&

=9,24{W

m .K}×

(1,5×1,5){m }×

[(300 +

273)-(27 +

273)]{K}

q&

=5674,83 W

1.3.4. RESISTÊNCIA TÉRMICA NA CONVECÇÃO

Como visto anteriormente, a expressão para o fluxo de calor transferido por convecção é :

.T

q

.

=

h.A..T ou q&

=

1

h.A

Um fluxo de calor é também uma relação entre um potencial térmico e uma resistência :

.

.T

q =

R

Igualando as equações obtemos a expressão para a resistência térmica na convecção :

1

R =

( eq. 1.26 )

h.A

1.3.5. MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR (CONDUÇÃO-CONVECÇÃO)

Consideremos uma parede plana situada entre dois fluidos a diferentes temperaturas. Um bom exemplo desta

situação é o fluxo de calor gerado pela combustão dentro de um forno, que atravessa a parede por condução e

se dissipa no ar atmosférico.

[ figura 1.16 ]

Utilizando a equação de Newton ( equação 1.21 ) e a equação para o fluxo de calor em uma parede plana (

equação 1.3 ), podemos obter as seguintes equações para o fluxo de calor transferido pelo forno :

k.A

q&

=

h1.A.(T1 -

T2 )

q&

=(T2 -

T3 )

q&

=

h2.A.(T3 -

T4 )

L

Colocando as diferenças de temperatura em evidência e somando membro a membro, obtemos :

(T1 -

T2) =

q&

h1.A

q&.L

(T2 -

T3) =

k.A

(T -

T ) =

q&

34 h2.A

.

1 L 1 .

T1 -

T2 +

T2 -

T3 +

T3 -

T4 =

q&...

++

..

h .Ak.Ah .A

.

12 .

Substituindo as expressões para as resistências térmicas à convecção e à condução em parede plana na equação

acima, obtemos fluxo de calor transferido pelo forno :

T -TT -T (.

)

14 14 T total

q&

=

=.

q&

=

( eq. 1.27 )

1 L 1 R +

R +

R Rt

++

123

hA k.A hA

1. 2.

Portanto, também quando ocorre a ação combinada dos mecanismos de condução e convecção, a analogia com

a eletricidade continua válida; sendo que a resistência total é igual à soma das resistências que estão em série,

não importando se por convecção ou condução.

Exercício R.1.3.3. A parede de um edifício tem 30,5 cm de espessura e foi construída com um material de k =

1,31 W/m.K. Em dia de inverno as seguintes temperaturas foram medidas : temperatura do ar interior = 21,1

oC; temperatura do ar exterior = -9,4 oC; temperatura da face interna da parede = 13,3 oC; temperatura da face

externa da parede = -6,9 oC. Calcular os coeficientes de película interno e externo à parede.

T1 =

21,1 0 Ck =

1,31 W

m .K

T 2 =

13,3 0 CA =

1m 2

T 3 =-

6,9 0 CL =

0 ,305 m

T 4 =-

9,4 0 C

O fluxo de calor pode ser obtido considerando a condução através da parede :

.TT -

T 13,3 -

(-

6,9)

q&

=

86 76 , Wp / m2

q

.

==

23 =

R2 L 0,305

k.A 1,31×1

Considerando agora a convecção na película externa :

T -

TT -

T 21 1 -

,

, 133

12 12

hi =

11 12 Wm 2.k

,

q

.

==

.

,

86 76 =

R 11

1

hA h 1

. ×

i 1

Agora, na película externa :

-

6,9 -

(-

9,4)

he =

34 72 Wm 2. K

,

86,76 =

1

he×1

Exercício R.1.3.4. Um reator de paredes planas foi construído em aço inox e tem formato cúbico com 2 m de

lado. A temperatura no interior do reator é 600 oC e o coeficiente de película interno é 45 kcal/h.m2.oC.

Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se isola-lo com lã de rocha ( k= 0,05 kcal/h.m.oC) de modo a

reduzir a transferência de calor. Considerando desprezível a resistência térmica da parede de aço inox e que o ar

ambiente está a 20oC com coeficiente de película 5 kcal/h.m2.oC, calcular :

a) O fluxo de calor antes da aplicação da isolamento;

b) A espessura do isolamento a ser usado, sabendo-se que a temperatura do isolamento na face externa deve ser

igual a 62 oC;

c) A redução ( em % ) do fluxo de calor após a aplicação do isolamento.

har =

5Kcal h.m2. oC hi =

45Kcal h.m2. oC

o 2

kiso =

0,05Kcal h.m. CA =

6 ×(2 ×

2)=

24m

oo o

T =

600 CT =

20 CT =

62 C

iar s

a) Desprezando a resistência do inox e a variação da área devido à espessura do isolante, o fluxo antes do

isolamento é dado por :

()

T -

600 -

20

.

T

total i ar

&

, Kcal h

q =

62640 4

q&

==

=

R 11 11

t ++

hi .A har .A 45.24 5.24

b) Após o isolamento o fluxo pode ser calculado na camada limite externa :

s -

Tar -

T 6220

q&'=

=

=5040

Kcal h

11

hA..

ar 524

A espessura do isolamento é calculada levando em conta as resistências da película interna e do isolante :

Ti -

Ts 600 -

62

L =

0 1273 , m =

12 73 cm

,

q&

=.

5040 =

1 L 1 L

++

i . k . A 4524 ,

hA iso . 0 05 24 .

-

, -

5040

qq'

62640 4

%Redução =

9195 , %

q&

62640

c) %Redução =

&&

×100 =×100 Þ

Exercício R.1.3.5. Um tanque de formato cúbico é utilizado para armazenar um produto químico a 210 oC, com

coeficiente de película de 80 W/m2.°C. A parede do tanque é constituída de uma camada interna à base de

carbono ( k = 22 W/m.K ) de 40 mm de espessura, uma camada intermediária de refratário ( k = 0,212 W/m.K )

e um invólucro de aço ( k = 60 W/m.K) com 10 mm de espessura. Por motivo de segurança dos trabalhadores, a

temperatura da superfície externa do aço não deve ser maior que 60 °C. Considerando que a temperatura

ambiente é 30 °C, com coeficiente de película externo de 20 W/m2.K, determine:

a) a espessura mínima do refratário para atender a condição de segurança;

b) a temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for substituída por uma de isolante ( k =

0,0289 W/m.K) de mesma espessura.

T1

L1 =

40m=

0 04 m

m ,

L2 =

10m=

0 01 m

m ,

k1 =

22Wm.K

2 0 0289 WmK

k2 =

0 212 , WmKk . '=

,

.

k=

60 Wm.K

T6 3

2

hi =

80WmK

.

2

he =

20WmK

.

ooo

T=

210 CT =

60 CT =

30 C

1 56

L1 L2L3

a) Para uma área unitária de parede ( A = 1 m2 ), o fluxo de calor poder ser calculado na película externa :

TT 60 -

30

4 -

5

2

q&=

1 =

1 =

600 W (

pm )

. 20 ×

hA 1

De posse do fluxo, e considerando as resistências térmicas entre 210 e 60 °C, podemos fazer :

TT 210 -

q&=

1 -

5 .

600 =

60

LL 1, L ,

1 L 004 001

123 2

+++

+++

. kA. kA . 80 ×

1 22 ×

1 0 212 ×

1 60 ×

hA . kA ,1

i 123

L2 =

005 m=

50 mm

,

b) O novo fluxo de calor, menor devido ao uso do isolante de baixa condutividade ( k = 0,0289 W/m.K ), é

obtido considerando as duas únicas temperaturas que não variam :

-

210 -

TT 30

q&'=

16 =

1 004 005 ,

LL L 1 1, , 001 1

123

++++

++

++

.. kA . .80 ×

1 22 ×

1, ×

1 60 ×

1 20 ×

1

hA kA '. kA hA 00289

i 123 e

2

q&=

100,3 W (

pm )

Novamente, na película externa, podemos obter a temperatura da superfície do aço :

'-

'-

30

TT T

56 5

q&'=

.

100 3 , =.

11

T5 '=

35 oCExercício R.1.3.6. Um recipiente esférico é usado para armazenar nitrogênio líquido a 77 K (ponto de

ebulição). O recipiente tem 0,5m de diâmetro interno e é isolado com uma camada de pó de sílica (k = 0,0017

W/m.K). A isolação tem 25 mm de espessura e sua superfície externa está exposta ao ar a 300 K. O coeficiente

de película externo é 20 W/m2.K. O calor latente de vaporização e a densidade do nitrogênio são 2x105 J/Kg e

804 Kg/m3, respectivamente. Desprezando as resistências térmicas da película interna e das paredes metálicas

do recipiente, calcular :

a) Fluxo de calor transferido para o nitrogênio

e. 20 ×

hA 1

b) Taxa de evaporação do nitrogênio em litros/dia (existe um respiro para a saída dos gases)

TN =

77K Tar =

300K

2

ksi =

0,0017W

m2.K

.Hv =

2 ×105 J Kg

3

.N =

804Kg

m

2

r1 =

0,25m

r2 =

0,25 +

0,025 =

0,275m

a) O fluxo de calor transferido pode ser calculado assim :

.

(.T )

Tar -

TN

total 2

q ==

conv cond cond conv

RR +

R +

R +

R

t ar Si açoN

2

cond conv

Desprezando : R ˜

0eR ˜

0, temos :

aço N

2

. Tar -

TN

q

.

=

13 06W

,

11 .

1 .

11 ..

q =

2

+

.

..

-

..

.

har ×

4 ×p

×

r22 4 ×p

.kSi .

r1 r2 ..

b) A energia recebida pelo N2 , utilizada na evaporação, é o produto da massa pelo calor latente de vaporização

Q =

m..Hv

Conhecendo a taxa de transferência de energia (calor), podemos obter a taxa de evaporação :

.. .

q

.

13,06

q =

m..Hv .m ==

5

sJ=

6,53×10-5 Kg

s

.Hv 2 ×10 J Kg

-5 Kg sh

m

.

=

, ×10 ×

3600 ×

24 =

, Kg dia

653 564

s h dia

m

.

5,64 Kg dia 3

V

.

=

7 litros dia

/

.

804 Kg

V

.

==

3 =

0,007 m

dia

m

Exercício R.1.3.7. Um copo de refrigerante pode ser considerado como um cilindro de 20 cm de altura e 7 cm

de diâmetro. As paredes do copo são de um plástico muito fino e com resistência térmica desprezível. Dentro

do copo são colocados 2 cubos de gelo com 3 cm de lado, de modo que o mesmo fica cheio até a borda com a

mistura gelo-refrigerante que permanece a 0 oC até a fusão completa do gelo. O copo está depositado sobre uma

superfície bem isolada, de modo que devem ser consideradas apenas as transferências de calor pelas áreas

laterais e superior. Considerando que o ar ambiente está a 25 oC, com coeficiente de película de 25

Kcal/h.m2.oC, e que a densidade e o calor latente de fusão do gelo são 935 Kg/m3 e 80,6 Kcal/Kg,

respectivamente, calcular :

a) O fluxo de calor transferido entre o ambiente e a mistura gelo-refrigerante; e

a) O tempo necessário para a fusão completa do gelo.d

q1

r =

4,5cm =

0,045mL =

20cm =

0,2m

o

Tar =

35 Ch =

35Kcal h.m2 .oC

q 2

temp.da mistura gelo/água .

Tp =0 oC

.g =

935Kg

m3 .Hf =

80,6Kcal Kg

lado do cubo de gelo .

d =

3cm =

0,03m

L

r

Cálculo do fluxo de calor para o copo ( desprezando a área da base ) :

Área superior Æ

A =p

.r =p

×(

, )=

0 006362 m

1 0045 2 , 2

Área lateral Æ

A2 =2 prL =2 ××

0 045 ×, =0 05655 2

... p

, 02 , m

qqq hA (TT )

.. TT )

&&

&

=+=.. -+hA (-

12 1 ar p 2 ar p

q&=q&1 +q&2 =35×0,006362 ×(35 -0)+35×0,05655×(35 -0)

&=, Kcal h

q 77 0672

Cálculo do calor necessário para a fusão do gelo :

33 3

Volume dos cubos Æ

V =2 L =2 ×0 03 =0 000054 m

.()

(, )

,

Massa da placa Æ

m =..V =935(Kg m )×, m =0 05049 , Kg

3 0 000054 3

g

Q =

Hf .m =

, Kcal Kg ×0 05049 , Kg =4 0695 , Kcal

.

80 6

QQ , Kcal

4 0695

t =317min

,

&=.t ==

=,

q 00528 h ..

tq&77 0672 , (Kcal h )

Exercício R.1.3.8. Um cabo elétrico de 10 mm de diâmetro tem resistência elétrica por unidade de

comprimento de 0,001 O/m. e é revestido por uma camada de material plástico de 1 mm de espessura e

condutividade térmica 0,20 W/m.K. O cabo vai ser utilizado em uma ambiente cujo ar está na temperatura de

27 °C, com coeficiente de película de 10 W/m2.K. Se o plástico usado suporta no máximo 177 °C sem se

derreter, determine a máxima corrente elétrica que pode passar pelo cabo.

.

r1 = 5 mm = 0,005 m

q

r2 = 5 mm + 1 mm = 6 mm = 0,006 m

k = 0,20 W/m.K

h = 10 W/m2.K

L = 1m .. R = 0,001 O

r1

r2

Cálculo do calor transferido na temperatura máxima ( 177 °C )

T -TT -T 177 -27

max ar max ar

q ===

=53.62W

m

Rp +Rar ln(r2

r1) 1 ln(0.006 0,005) 1

+

+

k.2.p.Lh.(2.p.r2.L) 0,20.2.p.1 10.(2.p.0,006.1)

Determinação da corrente máxima

P =R.i 2 .

53,62 =0,001.i 2 .

i =231,6 A

EXERCÍCIOS PROPOSTOS :

Exercício P.1.3.1. Uma parede de um forno é constituída de duas camadas : 0,20 m de tijolo refratário (k =1,2

kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (0,15 kcal/h.m.oC). A temperatura dos gases dentro do forno é 1700oC

e o coeficiente de película na parede interna é 58 kcal/h.m2.oC. A temperatura ambiente é 27 oC e o coeficiente

de película na parede externa é 12,5 kcal/h m2 oC. Calcular :

a) o fluxo de calor por m2 de parede;

c) a temperatura nas superfícies interna e externa da parede.

Respostas : 1480,6 Kcal/h (p/m2 ) ; 145 oC

Exercício P.1.3.2. Um forno retangular de uma fábrica de cerâmica está isolado com duas camadas, sendo a

primeira , que está em contato com a carga do forno, de refratário especial ( k= 0,6 kcal/h.m.oC ) e a outra de

um bom isolante ( k= 0,09 kcal/h.m.oC ). Sabe-se que a temperatura da face interna do forno é 900 oC e que a

temperatura do ar ambiente é 20 oC ( h = 20 kcal/hm oC). O fluxo de calor através da parede do forno, de 40

cm de espessura, é igual a 800 kcal/h m . Pede-se :

a) A espessura de cada camada que forma a parede do forno

b) A temperatura da interface das camadas

c) Se for especificada uma temperatura máxima de 30 oC na parede externa do forno, qual a nova espessura

isolante necessária?

Respostas : 0,359 m e 0,0405 m ; 420 oC ; 0,337 m

Exercício P.1.3.3. Um submarino deve ser projetado para proporcionar uma temperatura agradável à tripulação

não inferior a 20 oC. O submarino pode ser idealizado como um cilindro de 10 m de diâmetro e 70 m de

comprimento. O coeficiente de película interno é cerca de 12 kcal/h.m2.°C, enquanto que, no exterior, estima-

se que varie entre 70 kcal/h.m2.°C (submarino parado) e 600 kcal/h.m2.°C (velocidade máxima). A construção

das paredes do submarino é do tipo sanduíche com uma camada externa de 19 mm de aço inoxidável ( k=14

Kcal/h.m.°C ), uma camada de 25 mm de fibra de vidro ( k=0,034 Kcal/h.m.°C ) e uma camada de 6 mm de

alumínio ( k=175 Kcal/h.m.°C) no interior. Determine a potência necessária ( em kW ) da unidade de

aquecimento requerida se a temperatura da água do mar varia entre 7 °C e 12 °C. DADO : 1 KW = 860 Kcal/h

Resposta : 40,2 KW ; 50 mm ; 35 °C

Exercício P.1.3.4. Um reservatório esférico ( k = 1,65 kcal/h.m.oC ) de diâmetro externo 1,2 m e interno 1,1 m

é aquecido internamente por resistência elétrica de modo a manter a temperatura da superfície externa a 90 oC.

Quando água de chuva a 25 oC flui pelo lado externo do reservatório, durante uma tempestade, a potência

requerida na resistência é 140 KW. Quando ar atmosférico a 25 oC flui pelo lado externo do reservatório,

durante uma ventania, a potência requerida é 20 KW.

a) Calcular os coeficientes de película para os fluxos de água e ar.

b) Calcular a temperatura da superfície interna do reservatório em ambos casos.

DADO : 1 KW = 860 kcal/h

Resposta : 58,5 e 409,5 Kcal/h.m2.°C ; 215,7°C e 969,8 °C

Exercício P.1.3.5. Um tanque de formato cúbico, com 1 m de lado, é utilizado para armazenar um produto

químico a 210 oC, com coeficiente de película interno de 80 W/m2.K. A parede do tanque é constituída de uma

camada interna de carbono ( k = 22 W/m.K ) de 40 mm de espessura, uma camada intermediária de refratário (

k = 0,212 W/m.K ) e um invólucro de aço ( k = 60 W/m.K) de 10 mm de espessura. Por motivo de segurança

dos trabalhadores, a temperatura da superfície externa do aço não deve ser maior que 60 oC. Considerando que

a temperatura ambiente é 30 oC, com coeficiente de película externo de 20 W/m2.K, determine:

a) o fluxo de calor na condição de segurança, ou seja, 60°C na superfície externa do aço

b) a espessura do refratário para atender a condição de segurança

a temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for substituída por de uma de isolante ( k =

0,0289 W/m.K) de mesma espessura.

Resposta : 3600 W

Exercício P.1.3.6. Ar na pressão de 6 kN/m2 e temperatura de 300 °C , fluí com velocidade de 10 m/s sobre

uma placa plana de comprimento 0,5 m e 0,25 m de largura. Determine a taxa de transferência de calor

necessária para manter a superfície da placa na temperatura de 27 °C. Dados:

- Considere regime permanente e despreze os efeitos da radiação.

- Para fluxo laminar ( Re <5×105 ) seguinte correlação adimensional é apropriada para este tipo de

escoamento:

11 h. Lv8

.L

Nu =

0,664 . Re 22

. Pr

, onde : Nu =

e Re =(L =

comprimento da placa)

L LL

k .

- As propriedades estimadas do ar e o número de Prandt são:

-42

.=

5,21×10 m/s k =

0,0364W / m.K Pr =

0,687

Resposta : 142,65 W

Exercício P.1.3.7. Água a T = 40 °C, flui sobre uma placa de alumínio de 10 mm de espessura. A placa

é eletricamente aquecida do lado oposto ao da água. A superfície sob a água esta a T = 59,8 °C e a

superfície oposta está a 60 °C. Para as condições de regime permanente, determine o coeficiente de

transferência de calor (coeficiente de película) entre a água e a placa. A condutividade térmica do

alumínio é k = 204,1 W/m.K ( a 60 °C )

Resposta : 206,1 W/m2.K

1.4. ALETAS

1.4.1. CONCEITO

Para um melhor entendimento do papel desempenhado pelas aletas na transferência de calor consideremos um

exemplo prático. Consideremos um sistema de aquecimento que utiliza água quente que escoa por uma

tubulação. O fluxo de calor transferido para o ambiente pode ser obtido pela seguinte expressão:

Ti

-

Te Ti

-

Te

q&

=

=

R1

R2

+

R3

ln

..

..

+

r

2

( eq. 1.28 )

1

1

r

1

+

+

.2

Analisemos os meios de elevar a transferência de calor através da redução das resistências térmicas

p

hi .Ai k

L he Ae

.

Ai

.

.

necessário mudança de dimensões

necessário aumento de velocidade de escoamento

...

aumentar

aumentar

..

aumentar..2.1r

p

...

aumentar

aumentar

1

R1

=

hi

hi .Ai

..

.

...

...

ln

1r

..

.

..

.

reduzir

.

necessário reduzir a espessura da parede

r

2

R1

r

2

=

k

L

k

.

necessário troca do material da parede

he necessário aumento de velocidade de escoamento

.

1

R1

=

mudança de dimensões ou COLOCAÇÃO DE ALETAS

.

hi .Ai

Ae

O aumento da superfície externa de troca de calor pode ser feito através de expansões metálicas denominadas

aletas, como mostra a figura 1.16

[ figura 1.16 ]

1.4.2. EFICIÊNCIA DE UMA ALETA

Consideremos uma superfície base sobre a qual estão fixadas aletas de seção transversal uniforme, como mostra

a figura 1.17. As aletas tem espessura e, altura l e largura b. A superfície base está na temperatura Ts maior

que a temperatura ambiente T8

[ figura 1.17 ]

O fluxo de calor total transferido através da superfície com as aletas é igual ao fluxo transferido pela área

exposta das aletas ( AA ) mais o fluxo transferido pela área exposta da superfície base ( AR ) :

.q&R =

h.AR .(TS -

T8)

q&=

q +

q , onde .

( eq. 1.29 )

RA .q&A =

h.AA .(T? -

T8)

A diferença de temperatura para a área das aletas (T? -T8) é desconhecida. A temperatura Ts é da base da aleta,

pois à medida que a aleta perde calor, a sua temperatura diminui, ou seja, AA não trabalha com o mesmo

potencial térmico em relação ao fluido.

Por este motivo q&A , calculado com o potencial (Ts-T8), deve ser corrigido, multiplicando este valor pela

eficiência da aleta ( . ). A eficiência da aleta pode ser definida assim :

calor realmente trocado pela aleta

.=

calor que seria trocado se AA estivesse na temperatura TS

Portanto,

q&

.=

h.AA .(TSA

-

T8)

Da equação 6.18 obtemos o fluxo de calor trocado pela área das aletas :

q&A =

h.AA .(TS -

T8)..

( eq. 1.30 )

Partindo de um balanço de energia em uma aleta de seção uniforme, pode ser obtida uma expressão para o

fluxo de calor realmente transferido pela aleta, o que permite o cálculo da eficiência conforme a expressão

abaixo :

.=

tagh(m.l)

( eq. 1.31 )

m.l

m.Lm.L

hP e -

e

.

onde, m =

( coeficiente da aleta ) e tagh(m.L)=

m.Lm.L

.

kAt e +

e

A equação 1.31 indica que a eficiência da aleta é uma função do produto "m.l". Observando uma tabela de

funções hiperbólicas nota-se que a medida que o produto "m.l" aumenta a eficiência da aleta diminui, pois o

numerador aumenta em menor proporção.

De volta à equação 1.29, o fluxo de calor trocado em uma superfície aletada por ser calculado assim :

&

=

&

+

q

qqR &A

q&

=

h.A .(T -

T )+

h.A .(T -

T )..

Rs 8

As 8

Colocando o .T e o coeficiente de película em evidência, obtemos :

q&

=

h.(A +..A )(

. T -

T8)

( eq. 1.32 )

R As

1.4.3. TIPOS DE ALETAS

Vários tipos de aletas estão presentes nas mais diversas aplicações industriais. A seguir veremos alguns dos

tipos mais encontrados industrialmente e aproveitaremos também para calcular o coeficiente da aleta ( m ).

¾

Aletas de Seção Retangular

[ figura 1.18 ]

Na figura 1.18, considerando que a aleta tem espessura b e largura e ( espessura pequena em relação à largura),

o coeficiente da aleta m pode ser calculado assim :

hP. P=×b+×e.2 ×b

22

m=

kA.t Atbe

2 ×h

h××b

2

m=

m=

.

( eq. 1.33 )

ke

×

kbe

××

¾

Aletas Curvas

[ figura 1.19 ]

hP P=2 ×(2 ×p×r)+2 ×e.4 ×p×r

.

m=

kAt At =2 ×p×r×e

.

2 ×h

h×4×p×r

m=

m=

.

( eq. 1.34 )

ke

×

k×2×p×r×e

¾

Aletas Pino

[ figura 1.20 ]

Em certas aplicações aletas tipo pino são necessárias para não prejudicar demasiadamente o coeficiente de

película. A figura 1.20 mostra uma aleta pino de seção circular. Neste caso o cálculo do coeficiente m é feito

assim :

P=2 ×p×r

hP

.

m=

A=p×r2

kAt t

.

2 ×h

h×2×p×r

m=

.

( eq. 1.35 )

kr

×

m=

k×p×r2

Exercício R.1.4.1. A dissipação de calor em um transistor de formato cilindrico pode ser melhorada inserindo

um cilindro vazado de alumínio (k = 200 W/m.K) que serve de base para 12 aletas axiais. O transistor tem raio

externo de 2 mm e altura de 6 mm, enquanto que as aletas tem altura de 10 mm e espessura de 0,7 mm. O

cilindro base, cuja espessura é 1 mm, está perfeitamente ajustado ao transistor e tem resistência térmica

desprezível. Sabendo que ar fluindo a 20 oC sobre as superfícies das aletas resulta em um coeficiente de

película de 25 W/m2.K, calcule o fluxo de calor dissipado quando a temperatura do transistor for 80 oC.

n=12 aletas

kAl =200 W mK .

l =10mm =,

0 01 m

r =2 mm ,

t =0 002 m

ec =1mm =,

0 001 m

r =+re =2 +=

mm =,

1 3 0003 m

ctc

b =6mm =,

0 006 m

e =07 , mm =0 0007 m

,

TS =20oC T8=80oC

h =25Wm 2 .K

Cálculo de AR :

AS =2.p.rc .b =2 ×p×0,003×0,006 =1,13×10-4 m2

-52

At =be =, ×, =, ×10

. 0 006 0 0007 0 42 m

-4 -5 -52

A =A -. =, ×10 -×

, ×10 =, ×10 m

nA 113 12 042 626

RS t

Cálculo de AA ( desprezando as áreas laterais ) :

AA =...2 2

n ()lb =12 ×(0,01×0,006)×2 =0,00144m

Cálculo da eficiência da aleta :

2.h 2 ×25 -1

m ==

=

,m

18 898

ke 200 ×,

. 0 0007

m.l =18,898 ×0,01 =0,18898

(

)

=tgh(0,18898)=0,18676

tgh m.l

tgh()

m.l 0,18676

.==

=0,9883 (98,83%)

m.l 0,18898

Cálculo do fluxo de calor :

Desprezando as resistências de contato entre o transistor e o cilindro e do próprio cilindro, a temperatura da

base das aletas pode ser considerada como 80 oC.

-5

q&

=h.(A +..A ).(T -T )=25 ×(6,26 ×10 +0,9883×0,00144)×(80 -20)

R AS 8

&

=,W

q 222

Exercício R.1.4.2. Um dissipador de calor consiste de uma placa plana de alumínio ( k = 175 Kcal/h.m.oC ) de

resistência térmica desprezível com aletas retangulares de 1,5 mm de espessura e 12 mm de altura, espaçadas

entre si de 12 mm, ocupando toda a largura da placa. O lado com aletas está em contato com ar a 40 oC e

coeficiente de película 25 Kcal/h.m2.oC. O lado sem aletas está fixado sobre uma superfície a 150 oC. Calcule

por unidade de área da placa o fluxo de calor.

Placa .1

m2.

L =1

meb =1

m

e =1

5

mm =

0

0015

m

.

ho

T0

k

Cálculo do número de aletas :

L =(e +

.).n .

n =

L

e +.

Cálculo da eficiência da aleta :

2.h

m ==

ke

.

m.l =13,801×

2

×

25

1

=.

74aletas

0,0015 +

0,012

tagh(m.l)=

tagh(0,1656)=

=

0,1641

0,1656 -0,1656

e +

e

tagh(m.l)

0,1641

.=

==

0,9909 (99,09%)

m.l 0,1656

Cálculo da área não aletada :

=

13

801

,

175

×

.

0

0015

0,012 =

0,1656

0,1656 -0,1656

e -

e

A =

A -

n.A =

A -()=

1 -

74 ×(

×

0,0015)=

0,889m

n. b.e 12

RS tS

Cálculo da área das aletas (desprezando as áreas laterais) :

AA ()(

)

=

2. b.l .n =

2 ×

0,012 ×

74 =

1,776m2

Cálculo do fluxo de calor :

q&

=

h.(A +..A )(

. T -

T )=

25×(0,889 +

0,99 ×1,776

R AS 8

)×(150 -

40)=

7279,91Kcal h

Exercício R.1.4.3. A parte aletada do motor de uma motocicleta é construída de uma liga de alumínio ( k=186

W/m.K ) e tem formato que pode ser aproximado como um cilindro de 15 cm de altura e 50 mm de diâmetro

externo. Existem 5 aletas transversais circulares igualmente espaçadas com espessura de 6 mm e altura de 20

mm. Sob as condições normais de operação a temperatura da superfície externa do cilindro é 500 K e está

exposta ao ambiente a 300 K, com coeficiente de película de 50 W/m2.K quando a moto está em movimento.

Quando a moto está parada o coeficiente cai para 15 W/m2.K. Qual é a elevação percentual da transferência de

calor quando a moto está em movimento. ( OBS : desprezar as áreas laterais)

H =15cm =

0,15m fe =

50mm .

re =

0,025m

n =

5aletas l =

20mm =

0,02m

e =

6mm =

0,006m

k =186W

m.K TS =

500KT8=

300K

aleta

hm =

50W

m2.K hp =15W

m2.K

,,

=

12

mm =

0

012

m

,

=

225

Kcal hm . 2

. oC h =

25

Kcal hm . 2

. oC

=

150

oC

Tar =

40

oC

=

175

Kcal hm oC

..

Cálculo da área não aletada :

2

A =A -n.A =2 ×p×0,025 ×0,15 -5 ×(2 ×p×0,025 ×0,006)=0,01885m

Rs t

Cálculo da área das aletas :

ra rel =0 025 +0 02 =0 045 m

=+

, ,,

22 222

A =2.[p.r -p.r ].n =2 ×[p.(0,045)

-p.(0,025)

]×5 =0,04398m

A ae

Cálculo da eficiência da aleta ( para a moto em movimento ) :

2.h 2 ×50 -1

m ==

=9 466 ,m .

m l . =9 466 ×0 02 , =

,

, 0 1893

ke 186 ×

,

. 0 006

tgh(m.l)

tgh(0,1893)

0,1871

.==

==0,9884 (98,84%)

m.l 0,1893 0,1893

Cálculo da eficiência da aleta ( para a moto parada ) :

2.h 2 ×15 -1

m ==

=5 1848 ,m .

m l . =5 1848 ×0 02 , =

,

, 0 1037

ke 186 ×

,

. 0 006

tgh(m.l)

tgh(0,1037)

0,1036

.==

==0,999 (99,90%)

m.l 0,1037 0,1037

Cálculo do fluxo de calor ( para a moto em movimento ) :

q&

=h .(A -..A )(

. T -T )=50 ×(0,01885 +0,9884 ×0,04398)×(500 -300)=623,198W

m mR AS 8

Cálculo do fluxo de calor ( para a moto parada ) :

q&

=h .(A -..A )(

. T -T )=15 ×(0,01885 +0,999 ×0,04398)×(500 -300)=188,358W

p pR AS 8

Cálculo da percentagem de elevação do fluxo de calor para a moto em movimento :

q&m -q&p , -

,

623 198 188 358

% Elev =×100 =×100 =

,%

230 86

q&p ,

188 358

%Elev =230 86 ,%

Exercício R.1.4.4. Determinar o aumento do calor dissipado por unidade de tempo que poderia ser obtido de

uma placa plana usando-se por unidade de área 6400 aletas de alumínio ( k = 178 Kcal/h.m.oC), tipo pino, de 5

mm de diâmetro e 30 mm de altura. Sabe-se que na base da placa a temperatura é 300 oC, enquanto que o

ambiente está a 20 oC com coeficiente de película de 120 Kcal/h.m2.oC.

n =6400 aletas

k =178 Kcal hm oC

..

Ø=5mm =0 005 m

,

Ø

r ==0 0025 m

,

2

l =30mm =

,

0 03 m

TS =300 oC T8=20 oC

h =120 Kcal hm 2 o

..C

Cálculo da eficiência :

2.h 2 ×120 -1

m ==

23 17 m

=

,

kr 178 ×

.

. 0 0025

0,695 -0,695

e -

e

m.l =

, ×

0 03 =

, (

. )=23 17 , 0 6951 tagh ml =

0,6012

0,695 -0,695

e +

e

tagh(m.l)

0,6012

.=

==

0,8649 (86,49%)

m.l 0,6951

Cálculo da área não aletada :

2 22

A =

A -

n.A =

A -

n.(p.r )=1 -[p

×(0,0025)

]=

0,875m

S tS

Cálculo da área das aletas ( desprezando as áreas laterais ) :

AA =

2.p.r.l.n =

2 ×p

×

0,0025 ×

0,03 ×

6400 =

3,015m2

Cálculo do fluxo de calor :

q&

=

h.(A +..A )(

. T -

T )=12 ×(0,875 +

0,8649 ×

3,015)×(300 -

20)=116926Kcal h

c / a RAS 8

Antes da colocação das aletas o fluxo é :

q&

=

h.A .(T -

T )=120 ×1×(300 -

20)=

33600Kcal h

s / a SS 8

q&

/ -

q&s/ 116926 -

33600

ca a

%Aumento =×100 =×100

q&

/ 33600

sa

% Aumento =

248%

EXERCÍCIOS PROPOSTOS :

Exercício P.1.4.1. Numa indústria deseja-se projetar um dissipador de calor para elementos transistores em um

local onde o coeficiente de película é 3 Kcal/h.m2.°C. A base do dissipador será uma placa plana, de 10 cm x

10 cm, sobre a qual estarão dispostas 8 aletas, de seção transversal retangular, com espaçamento constante, de 2

mm de espessura e 40 mm de altura. Sob a placa deve ser mantida uma temperatura de 80 oC, com temperatura

ambiente de 30 oC. Considerando a condutividade térmica das aletas igual a 35 Kcal/h.m.oC, pede-se :

a) a eficiência da aleta;

b) calor dissipado pela placa aletada;

Respostas : 95,7% ; 10,44 Kcal/h

Exercício P.1.4.2. Um tubo de diâmetro 4" e 65 cm de comprimento deve receber aletas transversais ,

circulares, de 1,5 mm de espessura, separadas de 2 mm uma da outra. As aletas tem 5 cm de altura. No

interior do tubo circula um fluido a 135oC. O ar ambiente está a 32 oC, com coeficiente de película 12

kcal/h.m2.oC. A condutividade térmica do material da aleta é 38 kcal/hm2 o C. Determinar o fluxo de calor

pelo tubo aletado.

Resposta : 8369 Kcal/h

Exercício P.1.4.3. Um tubo de aço de 0,65 m de comprimento e 10 cm de diâmetro, com temperatura de 60 oC

na superfície externa, troca calor com o ar ambiente a 20 oC e com coeficiente de película de 5 Kcal/h.m2.oC,

a uma razão de 40 kcal/h. Existem 2 propostas para aumentar a dissipação de calor através da colocação de

aletas de condutividade térmica 40 Kcal/h.m.oC. A primeira prevê a colocação de 130 aletas longitudinais de

0,057 m de altura e 0,002 m de espessura. A segunda prevê a colocação de 185 aletas circulares de 0,05m de

altura e 0,0015 m de espessura. Calculando o fluxo de calor para os dois casos, qual das propostas você

adotaria, considerando os custos de instalação iguais.

Resposta : a primeira proposta ( 1708 Kcal/h ) é mais vantajosa que a segunda ( 1563 Kcal/h )

Exercício P.1.4.4. Um tubo horizontal de diâmetro 4" conduz um produto a 85oC, com coeficiente de película

1230 kcal/h.m2.oC. O tubo é de aço, de condutividade térmica 40 kcal/h.m.oC, tem 0,8 m de comprimento e

está mergulhado em um tanque de água a 20 oC, com coeficiente de película 485 Kcal/h.m2.oC. O tubo deve

ter 1,5 aletas por centímetro de tubo. As aletas circulares são feitas de chapa de aço de 1/8" de espessura e 2"

de altura. Pede-se :

a) o fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas;

b) o fluxo de calor pelo tubo aletado.

Respostas : 5773 Kcal/h ; 32857 Kcal/h

1.5. PRINCÍPIOS DA RADIAÇÃO TÉRMICA

5.1. DEFINIÇÃO

Radiação Térmica é o processo pelo qual calor é transferido de um corpo sem o auxílio do meio interveniente, e

em virtude de sua temperatura. Ao contrário dos outros dois mecanismos, a radiação ocorre perfeitamente no

vácuo, não havendo, portanto, necessidade de um meio material para a colisão de partículas como na condução

ou transferência de massa como na convecção. Isto acontece porque a radiação térmica se propaga através de

ondas eletromagnéticas de maneira semelhante às ondas de rádio, radiações luminosas, raio-X, raios-., etc,

diferindo apenas no comprimento de onda ( . ). Este conjunto de fenômenos de diferentes comprimentos de

ondas, representado simplificadamente na figura 1.21, é conhecido como espectro eletromagnético.

[ figura 1.21 ]

A intensidade de radiação térmica depende da temperatura da superfície emissora. A faixa de comprimentos de

onda englobados pela radiação térmica fica entre 0,1 e 100 µ ( 1 m = 10-6 m). Essa faixa é subdividida em

ultravioleta, visível e infravermelha. O sol, com temperatura de superfície da ordem de 10000 °C emite a maior

parte de sua energia abaixo de 3 µ , enquanto que um filamento de lâmpada, a 1000 oC, emite mais de 90 % de

sua radiação entre 1 µ e 10 µ. Toda superfície material, com temperatura acima do zero absoluto emite

continuamente radiações térmicas. Poder de emissão (E) é a energia radiante total emitida por um corpo, por

unidade de tempo e por unidade de área ( Kcal/h.m2 no sistema métrico ).

5.2. CORPO NEGRO e CORPO CINZENTO

Corpo Negro, ou irradiador ideal, é um corpo que emite e absorve, a qualquer temperatura, a máxima

quantidade possível de radiação em qualquer comprimento de onda. O corpo negro é um conceito teórico

padrão com o qual as características de radiação dos outros meios são comparadas.

Corpo Cinzento é o corpo cuja energia emitida ou absorvida é uma fração da energia emitida ou absorvida por

um corpo negro. As características de radiação dos corpos cinzentos se aproximam das características dos

corpos reais, como mostra esquematicamente a figura 1.22.

[ figura 1.22 ]

Emissividade ( e )é a relação entre o poder de emissão de um corpo cinzento e o do corpo negro.

Ec onde, Ec = poder de emissão de um corpo cinzento

e=

( eq. 1.36 )

En En=poderdeemissãodeumcorponegro

Para os corpos cinzentos a emissividade ( e ) é, obviamente, sempre menor que 1. Pertencem à categoria de

corpos cinzentos a maior parte dos materiais de utilização industrial, para os quais em um pequeno intervalo de

temperatura pode-se admitir e constante e tabelado em função da natureza do corpo.

5.3. LEI DE STEFAN-BOLTZMANN

A partir da determinação experimental de Stefan e da dedução matemática de Boltzmann, chegou-se a

conclusão que a quantidade total de energia emitida por unidade de área de um corpo negro e na unidade de

tempo, ou seja, o seu poder de emissão ( En ), é proporcional a quarta potência da temperatura absoluta

E=s.T 4 onde,s= 4,88 ×10-8 Kcal h.m2.K 4 (constante de Stefan -Boltzmann) ( eq. 1.37 )

n

T = temperatura absoluta ( em graus Kelvin )

No sistema internacional a constante de Stefan-Boltzmann é: s=5,6697 ×10-8 W

m2 K4

5.4. FATOR FORMA

Um problema-chave no cálculo radiação entre superfícies consiste em determinar a fração da radiação difusa

que deixa uma superfície e é interceptada por outra e vice-versa. A fração da radiação distribuída que deixa a

superfície Ai e alcança a superfície Aj é denominada de fator forma para radiação Fij. O primeiro índice

indica a superfície que emite e o segundo a que recebe radiação. Consideremos duas superfícies negras de áreas

A1 e A2, separadas no espaço ( figura 1.23 ) e em diferentes temperaturas ( T1 > T2 ) :

[ figura 1.23 ]

Em relação às superfícies A1 e A2 temos os seguintes fatores forma :

F12 =fração da energia que deixa a superfície (1) e atinge (2)

F21 =fração da energia que deixa a superfície (2) e atinge (1)

A energia radiante que deixa A1 e alcança A2 é :

.Kcal 2 Kcal .

( eq. 1.38 )

&1.2 =En1.A1.F12 .2 m ()

.

q .. -=

.h.mh .

A energia radiante que deixa A2 e alcança A1 é :

.Kcal Kcal .

( eq. 1.39 )

m 2. -=

q&

=E .A .F . ()

2.1 n 2 221 .2 .

.h.mh .

A troca líquida de energia entre as duas superfícies será :

q&

=q&

-q&

=E .A .F -E .A .F ( eq. 1.40 )

12 21 n1 112 n2 221

Consideremos agora a situação em que as duas superfícies estão na mesma temperatura. Neste caso, o poder de

emissão das duas superfícies negras é o mesmo ( En1=En2 ) e não pode haver troca líquida de energia ( q&=0 ).

Então a equação 1.40 fica assim:

0 =E . A . F -E . A . F

n1 112 n 2 221

Como En1=En2 ( corpos negros ), obtemos :

AF =A .

1.12 2 F21 ( eq. 1.41 )

Como tanto a área e o fator forma não dependem da temperatura, a relação dada pela equação 1.41 é válida para

qualquer temperatura. Substituindo a equação 1.41 na equação 1.40, obtemos:

q&

=

E . A . F -

E . A . F

n 1 112 n 2 112

q&

=

A .F .(E -

E 2 )

1 12 n1 n

Pela lei de Stefan-Boltzmann, temos que :

4

44 4 )

E =

.

. T e E =

.

.T , portanto : q&

=

A .F (s.T -s.T

n 11 n 2 2 1121 2

Obtemos assim a expressão para o fluxo de calor transferido por radiação entre duas superfícies a diferentes

temperaturas:

44

q&

=s.A .F .(T -

T )

( eq. 1.42 )

O Fator Forma depende da geometria relativa dos corpos e de suas emissividades ( e ). Nos livros e manuais,

encontramos para diversos casos, tabelas e ábacos para o cálculo do fator forma para cada situação (placas

paralelas, discos paralelos, retângulos perpendiculares, quadrados, círculos, etc).

Um caso bastante como em aplicações industriais é quando a superfície cinzenta que irradia é muito menor que

superfície cinzenta que recebe a radiação ( por exemplo uma resistência elétrica irradiando calor para o interior

de um forno ). Para este caso específico, o Fator Forma é simplesmente a emissividade da superfície emitente:

F =e

( eq. 1.43 )

1121 2

12 1

Exercício R.1.5.1. Um duto de ar quente, com diâmetro externo de 22 cm e temperatura superficial de 93 oC,

está localizado num grande compartimento cujas paredes estão a 21oC. O ar no compartimento está a 27oC e o

coeficiente de película é 5 kcal/h.m2.oC. Determinar a quantidade de calor transferida por unidade de tempo,

por metro de tubo, se :

a) o duto é de estanho ( e = 0,1)

b) o duto é pintado com laca branca (e = 0,9)

Tt =

93 oC =

366 K

Tar =

27 oC

Tp =

21 oC =

294 K

h =

5 Kcal hm 2 o

.. C

cm =

0 22 m .

r =

0 11 m

Ø=

22, ,

a) Para um comprimento unitário do duto de estanho ( sem pintura ), temos :

L =1 m e=

0,1

Como o tubo atravessa um grande compartimento, ou seja, a superfície do tubo é muito menor que a superfície

do compartimento, o fator forma é calculado através da equação 5.10, assim:

F12 =e1 =

0,1 (superf.1 <<<

superf.2)

O fluxo de calor é composto de duas parcelas: q&

=

q&rad +

q&cond

q&cond =

h.A.(Tt -

Tar )=

h.(2.p.r.L).(Tt -

Tar )=

5 ×(2 ×p

×

0,11×1)×[93 -

27]=

228,1Kcal h(pm)

.

44 ..

44 .-

..

&

=s

AF .T -T .=s.(2.p.r.L).e..T -T .=

4,88×10 8×0,1×(2×p

×0,11×1)×

(366)4 -(294)4 35Kcalh(pm)

qrad . .12.

tar..

tar.

..

..

=

q&

=

228,1+

35 =

263,1Kcal h(pm)

b) Quando o tubo é pintado com laca branca ( e = 0,9 ) apenas a transferência de calor por radiação é afetada :

&

=

&'

&

F =e

=

0,9 (superf.1 <<<

superf.2)

qq +

q

rad cond 12 1

.

44 ..

44 .-

..

&

=s

AF .T -T .=s.(2.p.r.L).e'..T -T .=

4,88×10 8×(2×p

×0,11×1)×0,.9×(366)4 -(294)4 315Kcal h(pm)

qrad . .12.

tar..

tar.

..

..

=

q&

=

228,1+

315 =

543,1Kcal h(pm)

Exercício R.1.5.2. Uma tubulação atravessa uma grande sala conduzindo água a 95 oC, com coeficiente

de película 20 kcal/h.m2.oC. O tubo, de diâmetro externo 4” e resistência térmica desprezível, está

isolado com lã de rocha ( k = 0,035 kcal/h.m.oC) de 2” de espessura. Sabendo-se que a temperatura da

face externa do isolamento do tubo é 22 oC , determinar :

a) o fluxo de calor transferido através da tubulação; e

b) a emissividade da superfície do isolamento, sabendo-se que a metade do fluxo de calor transferido

da tubulação para o ambiente se dá por radiação e que a temperatura da face interna das paredes da

sala é 5 oC

r1 =2"=0,0508 m

r2 2 2 4 0,1016 m

=+=

=

"" "

L =1m

o oo

T =95 CT =22 CT =5 C

ie p

hi =20 Kcal hm oC

..

kiso =0,035 Kcal hm 2 o

.. C

a)

TT TT 95 -22

--

ie ie

q&

==

=

Ri +Riso ln..

2 .

0 1016

r ,

.

ln

1 .r1 .1 (

, )

0 0508

+

i (

1 )+

iso 2 L 20 ×××

(2 p

0 0508 , ×1 0 , )0 035 , ××

×

2 p1 0 ,

h .... 2 prL k ××

×

p

q&

=22,06 Kcal h (p / m)

b) q&

=s.. .(T -T )

como A1 <<<A

AF 44 .F =e

112 12 2 12 1

A 44

q&

=s

e

... (T -T )

111 2

,

22 06 -8 44

2 =4 88 ×

××

0 1016 1 0 e[

273 -+

)]

, ×10 (2 p

, ×, )×

×

(22 +

)(

5 273

1

e1 =022

,

Exercício R.1.5.3. Um reator em uma indústria trabalha a 600 oC em um local onde a temperatura ambiente é

27 oC e o coeficiente de película externo é 40 Kcal/h.m2.oC. O reator foi construído de aço inox ( e = 0,06 )

com 2 m de diâmetro e 3 m de altura. Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se aplicar uma camada de

isolante (k= 0,05 kcal/h moC e e = 0,65 ) para reduzir a transferência de calor a 10 % da atual.

Desconsiderando as resistências térmicas que não podem ser calculadas, pede-se :

a) O fluxo de calor antes da aplicação do isolamento;

b) A parcela transferida por convecção após o isolamento;

T1 =600 oC T2 =27 oC

2 o

e=0,06()

inox h =40 Kcal h.m . C

L =3m Ø=2m.r =1m

Desprezando as resistências térmicas de convecção interna e condução na parede de aço do reator, a

temperatura da superfície externa pode ser considerada a mesma do fluido.

a) Cálculo da área de transferência de calor :

2 22

A =2.p.r.L +2.(p.r )=2 ×p×1×3 +2 ×(p×1 )=25,14m .

O fluxo de calor total é a soma das parcelas por convecção e por radiação. A parcela por convecção é :

q&

=h.A.(T -T )=40 ×25,14 ×(600 -27)=576208,80Kcal h

conv 12

A parcela transferida por radiação, considerando a superfície do reator bem menor que o ambiente, é :

44

q&rad =s.A1.F12.(T1 -

T2 )

, onde F12 =

e(superf.1 <<<

superf.2)

44 -8 44

&

=s.A .e.(T -

T )=

4,88 ×10 ×

25,14 ×

0,06 ×

[(600 +

273)

-(27 +

273)

]=

42159,39Kcal h

qrad 11 2

&

=

&&

576208 80 +

,

Portanto, qq +

q =

, 42159 39

conv rad

q&

=

618368 19 , Kcal h

b) O isolamento deve reduzir a transferência de calor a 10% da atual :

&

, ×

q&

=

, ×

618368

19

=

61836,82

q'=01

01

, Kcal h

Além disto, a temperatura externa do isolamento deve ser 62 oC, então :

oC

T =

600

1

oC

=

62

Tiso

2

oC

=

0,05 Kcal

h.m .

kiso

q&

'=

61813 ,92 Kcal

h

e

iso =

0,65

O novo fluxo de calor continua sendo composto das parcelas de convecção e radiação: q&'=

q&'+

q&'

conv rad

A parcela transferida por radiação foi alterada devido à emissividade do isolante ser diferente da emissividade

do inox e também devido à nova temperatura externa do isolamento.

44 -8 44

&

=s.A .e.(T -

T )=

4,88 ×10 ×

25,14 ×

0,75 ×

[(62 +

273)

-(27 +

273)

]=

4135,4Kcal h

qrad 11 2

A parcela que pode ser transferida por convecção, devido à restrição dos 10% de redução do fluxo de calor, é

obtida por diferença e permite o cálculo da espessura do isolante:

&'=

q&'+

qrad =

, -

4135 4 .

q&'=

57701 4 , Kcal h

qconv &'

61836 82 ,

EXERCÍCIOS PROPOSTOS :

Exercício P.1.5.1. Os gases quentes do interior de uma fornalha são separados do ambiente a 25 oC ( h = 17,2

Kcal/h.m2.oC ) por uma parede de tijolos de 15 cm de espessura. Os tijolos tem uma condutividade de 1,0

kcal/h.m.oC e uma emissividade de 0,8 . A temperatura da superfície externa da parede da fornalha é 100 oC.

Considerando que a fornalha está em um grande compartimento cuja temperatura da superfície é igual a

temperatura ambiente, qual é a temperatura da superfície interna da parede da fornalha ?

Resposta : 360,7 °C

Exercício P.1.5.2. Um reator de uma indústria trabalha à temperatura de 600 oC. Foi construído de aço

inoxidável (e= 0,06 ) com 2,0 m de diâmetro e 3,0 m de comprimento. Tendo em vista o alto fluxo de calor,

deseja-se isola-lo com uma camada de lã de rocha ( k = 0,05 Kcal/h.m.oC e e = 0,75 ) para reduzir a

transferência de calor a 10% da atual. Calcular :

a) o fluxo de calor ( radiação e convecção ) antes do isolamento;

b) a espessura de isolante a ser usada nas novas condições, sabendo que a temperatura externa do isolamento

deve ser igual a 62 oC.

Resposta : 42400 Kcal/h ; 12,8 cm

Exercício P.1.5.3. Vapor d'água saturado a 255 oC escoa por um tubo de parede fina de diâmetro externo igual

a 20 cm. A tubulação atravessa um amplo salão de 10 m de comprimento e cujas paredes estão à mesma

temperatura de 25oC do ambiente (har= 5 kcal/h.m2.oC). Deseja-se pintar a superfície do tubo de maneira que

ao sair do recinto, o vapor no interior do tubo se encontre com apenas 5% de sua massa não condensada. No

almoxarifado da indústria dispõe-se de 3 tintas cujas emissividade são : tinta A - ea=1; tinta B -eb=0,86 e tinta

C -ec= 0,65. Sabendo que o calor latente de vaporização nestas condições é 404 Kcal/Kg, determinar:

a) a tinta com a qual devemos pintar o tubo, sabendo-se que a vazão de vapor é 55,2 kg/h

b) a energia radiante por unidade de comprimento após a pintura

Resposta : Tinta C ; 1392 Kcal/h ( p/ m de tubo )

2. MECÂNICA DOS FLUIDOS

2.1. DEFINIÇÕES e PROPRIEDADES DOS FLUIDOS

2.1.1. DEFINIÇÃO DE FLUIDO

Fluido é uma substância que não possui forma própria ( assume o formato do recipiente ) e que, se em

repouso, não resiste a tensões de cizalhamento ( deforma-se continuamente ).

Tensão de Cizalhamento é a razão entre a o módulo da componente tangencial Fn

F

da força é a área da superfície sobre a qual a força está sendo aplicada.

Ft

Fn

t= pressão : P =

Ft

A

A

A

.. A Experiência das Placas

v = 0 v = v0

Ft Ft

x

y

v = 0

v = 0

Consideremos um fluido em repouso entre duas placas planas. Suponhamos que a placa superior em um

dado instante passe a se movimentar sob a ação de uma força tangencial

A força Ft , tangencial ao ao fluido, gera uma tensão de cizalhamento.

O fluido adjacentes à placa superior adquirem a mesma velocidade da placa ( princípio da aderência )

As camadas inferiores do fluido adquirem velocidades tanto menores quanto maior for a distância da placa

superior ( surge um perfil de velocidades no fluido ). Também pelo princípio da aderência, a velocidade do

fluido adjacente à placa inferior é zero.

Como existe uma diferença de velocidade entre as camadas do fluido, ocorrerá então uma deformação

contínua do fluído sob a ação da tensão de cizalhamento.

2.1.2. VISCOSIDADE ABSOLUTA OU DINÂMICA

A definição de viscosidade está relacionada com a Lei de Newton :

“A tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à variação da velocidade ao longo da direção normal às

placas”

dv

ta

dy

A relação de prporcionalidade pode ser transformada em igualdade mediante uma constante, dando origem à

equação 2.1 ( Lei de Newton ).

dv

t

.

( eq 2.1 )

dy

A viscosidade dinâmica ( µ ) é o coeficiente de proporcionalidade entre a tensão de cizalhamento e o gradiente

de velocidade. O seu significado físico é a propriedade do fluido através da qual ele oferece resistência às

tensões de cizalhamento. Os fluidos que apresentam esta relação linear entre a tensão de cizalhamento e a taxa

de deformação são denominados newtonianos e representam a maioria dos fluidos.

O valor da viscosidade dinâmica varia de fluido para fluido e, para um fluido em particular, esta vicosidade

depende muito da temperatura. Os gases e líquidos tem comportamento diferente com relação à dependência da

temperatura, conforme mostra a tabela 2.1 :

Tabela 2.1. Comportamento dos fluidos com relação à viscosidade

Fluido Comportamento Fenômeno

Líquidos A viscosidade diminui comtemperatura

a Tem espaçamento entre moléculas pequeno e ocorre a redução

da atração molecular com o aumento da temperatura.

Gases A viscosidade aumenta comtemperatura

a Tem espaçamento entre moléculas grande e ocorre o aumento

do choque entre moléculas com o aumento da temperatura.

.. Análise dimensional da viscosidade ( sistema [F][L][T] ):

FF -2 dv LT -1

-1

t=

=

2 =F.L ==T

AL dyL

dv t

F.L-2 F.T

t=µ. .µ==

=

-12

dy dvTL

dy

Portanto, as unidades de viscosidade nos sistemas de unidades mais comuns são :

dina ×s

CGS : []=

=poise

µ { poise = 100 cetipoise (cp) }

2

cm

kgf ×s

Métrico Gravitacional ( MK*S ) : []

µ=

2

m

N ×sN

Sistema Internacional ( SI ) : []=

=Pa ×s {1 =1Pa

µ

2 2( Pascal )

mm

.. Simplificação Prática : a velocidade varia linearmente com y ( para distâncias entre placas pequenas )

dv v -0 v

=

0 =

0

dy e -0 e

Neste caso, a equação 2.1 fica assim :

t=µ.

v0

ev = 0

2.1.3. MASSA ESPECÍFICA e PESO ESPECÍFICO

Massa Específica ( . ) é a massa de fluido contida em uma unidade de volume do mesmo :

.

g

CGS :[.] =

.

3

cm

.

M .

kg

.=

m

[.] =

SI :[.] =

( eq 2.3 )

3 .

3

V

Lm

.

.

utm

MK * S :[.]=

.

3

.

m

Peso Específico ( . ) é o peso ( G ) de uma unidade de volume de um fluido

.

dina

CGS :[.] =

.

3

cm

-2 .

Gm.g

M ×L ×TF .

N

.=..g

.=

=

Î

[.] =

=.SI :[.] =

( eq 2.4 )

33 3

VV

LL m

.

.

Kgf

.MK * S :[.]=

3.

m

Densidade é a relação entre o peso específico de uma substância e o peso específico da água a uma determinada

temperatura. A densidade não depende do sistema de unidades

.

.r =

( eq 2.5 )

.HO

2

( eq.2.2 )

Ft

v = v0

x

ye < 4 mm

2.1.4. VISCOSIDADE CINEMÁTICA

É frequente, nos problemas de mecânica dos fluidos, a viscosidade dinâmica aparecer combinada com a massa

específica, dando origem à viscosidade cinemática.

.

cm2

CGS :[.

] =

( stoke -

st)

.

s

.

-1 -12 2

µ

M ×

L ×TL .

m

.=

[.] =

-=.SI :[.

] =

( eq 2.6 )

.

M ×

L 3 Ts

.

.

* m2

.MK S :[.

]=

s

.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Exercício R.2.1.1. A massa específica de um combustível leve é 805 kg/m3. Determinar o peso específico e a

densidade deste combustível. ( considerar g=9,8 m/s2 )

kgmN m

.

=..g =

805 ×9,8 =

7889 ( N =

kg.)

323 2

msm s

A massa específica da água é aproximadamente 1000 kg/m3. Portanto, o peso específico será :

kgm N

.

HO =..g =1000 ×9,8 =

9800

2 323

ms m

A densidade é calculada a partir da relação :

.

7889

.

r ===

0,805

.

HO 9800

2

Exercício R.2.1.2 Um reservatório graduado contém 500 ml de um líquido que pesa 6 N. Determine o peso

específico, a massa específica e a densidade do líquido ( considerar g=9,8 m/s2 )

V =

500 ml =

0,5l =

0,5×10-3 m3

G 6 NN

.==

=12000

-33 3

V 0,5×10 mm

3 6(kg.m )/ m3

.

12000 N / m

2 Kg

s

.

=..g ..=

=

2 =

=1224,5 3

g 9,8 m / s 9,8 mm

2

s

.

12000 N / m3

.=

=

3 =1,22r .

HO 9800 N / m

2

Exercício R.2.1.3 Os tanques da figura estão totalmente preenchidos com um óleo leve cuja densidade é 0,82.

Calcule a pressão sobre a base em cada um dos casos.

2 m

2 m

2 m

6 m

2 m

2 m

1 2

3

.=

0,82 .

.=.

. .=

0,82 . 9800 =

8036 N

m

r rH 2O

V1 =

2 =

8 m3 V2 =

6 =

24 m3

G

.=

.

G =.

.VG =.

.V =

8036.8=

64288 NG =.

.V =

8036.24=192864 N

11 22

V

G 64288 2

Tanque 1 .

P1 ==

=

16072 N / m

Abase 2.2

G 192864 2

Tanque 1 .

P1 ==

=

16072 N / m

Abase 2.6

As pressões exercidas na base são iguais. Pelo teorema de Stevim também podemos comprovar, pois os dois

tanques tem a mesma altura :

P1 =.

.h1 =

8036.2 =

16072 N / m2

P2 =.

.h2 =

8036.2 =

16072 N / m2

Exercício R.2.1.4. A viscosidade cinemática de um óleo leve é 0,033 m2/s e a sua densidade é 0,86. Determinar

a sua viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas Métrico.

A peso específico da água é aproximadamente 1000 kgf/m3.

.

kgf kgf.

r =

.

.=.

r ×.

H2O =

0,86 ×1000 3 =

860 3.

HO mm

2

.

860 kgf / m3 Kgf .s2 .

utm .

.

=..g ..==

=

87,75 ..

2 43

g 9,8m / sm .

m .

µ

m2 kgf .s2 kgf .s

.=

.µ=...=

0,033 ×

87,75 4 =

2,86 2

.

sm m

Exercício R.2.1.4. Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa superior move-se

com velocidade de 4m/s, equanto que a inferior está imóvel. Considerando que um óleo ( . = 0,15 stokes e . =

905 kg/m3 ) ocupa o espaço entre elas, determinar a tensão de cizalhamento que agirá sobre o óleo.

22

2

cmm m

2

-4 -5

.=

0,15 stokes =

0,15cm / s =

0,15 ×10 2 =1,5 ×10

scm s

-5 N ·

s

µ

=.

·.

=1,5 ×10 ×

905 =

0,0136 2

m

vN ·

s 4 m / sN

t

=µ.0 =

0,0136 ×=18,1 =18,1Pa

em2 0,003mm2

Exercício R.2.1.5. Uma placa retangular de 4 m por 5 m escorrega sobre o plano inclinado da figura, com

velocidade constante, e se apoia sobre uma película de óleo de 1 mm de espessura e de µ = 0,01 N.s/m2. Se o

peso da placa é 100 N, quanto tempo levará para que a sua parte dianteira alcance o fim do plano inclinado.

o

1010 2

sen 30 =

..S ==

20 mA =

4 =

20 m

.S 0,5

FT =

G.cos60o =

100 ×

0,5 =

50 N

v0 FT voFT

t

=µ. e t=

, então : µ. =

eA eA

FT .e 50 ×

0,001

10 m

30o

FT

.S

60o

G

v ==

=

0,25m / s

o

A.µ

20 ×

0,01

.S .S 20 m

v =

..t ==

..t =

80 s

o

.t vo 0,25m / s

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Exercício P.2.1.1. A massa específica de um fluido é 610 kg/m3. Determinar o peso específico e a densidade.

Respostas : 5978 N/m3 e 0,610

Exercício P.2.1.2. A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m2/s e sua densidade é 0,9. Determinar a

viscosidade dinâmica no sistema métrico.

Resposta : 2,58 Kgf.s/m

Exercício P.2.1.3. Um tanque de ar comprimido contém 6 kg de ar a 80 oC, com peso específico de 38,68

N/m3. Determine o volume do tanque.

Resposta : 1,52 m3

Exercício P.2.1.4. O peso de 3 dm3 de uma substância é 2,7 Kgf. A viscosidade cinemática é 10-5 m2/s. Se g é

10 m/s2, determine a viscosidade dinâmica no sistema métrico.

Resposta : 9 x 10-4 Kgf.s/m2

Exercício P.2.1.5. Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma película de óleo em

plano inclinado de 300. A velocidade da é placa é constante e igual a 2 m/s. Qual é a viscosidade dinâmica do

óleo se a espessura da película é 2 mm ?

Resposta : 0,01 N.s/m2

Exercício P.2.1.6. Um tanque cilíndrico, de massa 50 kg, tem diâmetro igual a 0,5 m e altura igual a 2,5 m.

Este tanque é totalmente preenchido com um líquido de peso específico 8600 N/m3. Determine a força

necessária para imprimir uma aceleração de 2,5 m/s2 ao conjunto tanque+líquido.

Resposta : 1201,9 N

Exercício P.2.1.7. Um recipiente contém 30 kg de água ( .

= 9800 N/m3 ) e está completamente cheio. Após

algum tempo 2/3 ( dois terços ) da água do recipiente é consumida e o recipiente é novamente completado,

desta vez com um óleo leve (. = 7742 N/m3 ) que, evidentemente, sobrenada sobre a água. Para estas novas

condições, determine a massa total de fluido ( óleo + água ) presente no recipiente.

Resposta : 25,8 Kg

Exercício P.2.1.8. Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma película de óleo em

plano inclinado de 30°. A partir da posição indicada na figura, é necessário um intervalo de tempo de 20

segundos para que a placa atinja o final do plano. Considerando que a espessura da película de óleo é 2 mm,

determine a viscosidade dinâmica do óleo.

10 m

30o

FT

G

Resposta : 0,02 N.s/m2

Exercício P.2.1.9. Duas placas de grandes dimensões são paralelas. Considerando que a distância entre as

placas é de 5 mm e que este espaço está preenchido com um óleo de viscosidade dinâmica 0,02 N.s/m2,

determine a força necessária para arrastar uma chapa quadrada de 1 m de lado, de espessura 3 mm, posicionada

a igual distância das duas placas, a uma velocidade constante de 0,15 m/s

5 mm FÓleo 3 mm

1 m

Resposta: 6 N

2.2.ESTÁTICA DOS FLUIDOS

2.2.1. CONCEITO DE PRESSÃO

FN

Força aplicada perpendicular ao plano

P =

Área do plano

FN .

Kgf N .P =.

2; 2 =

Pa.

A

A .

cm m .

2.2.2. TEOREMA DE STEVIN

Consideremos uma coluna de fluido de peso específico . e altura h

G

.=

Î

G =.

·V

V

G .·V

P ==

como V =Abase ·

h , temos :

AA

base base

Abase ·

h

P =.

·

h

P =

Î

Abase

¾

“A pressão em um ponto do fluido é diretamente proporcional à profundidade deste ponto e ao peso

específico do fluido”

Com base neste teorema, temos duas considerações importantes a fazer :

1)

O fluido deve estar em repouso. Se o fluido estiver em movimento o teorema não é válido;

2)

Devemos notar que a pressão em um ponto de um fluido em repouso depende a apenas da profundidade

do ponto e independe do formato do recipiente, conform mostra a figura abaixo.

fluido

Abase .P

h

P1 = P2 = P3

P2 P3P1 ...

.. Pelo teorema de Stevin, podemos concluir que a pressão é a mesma em qualquer ponto situado em um

mesmo nível em um fluido em equilíbrio.

.. Para o caso de dois líquidos imissíveis, como óleo e água em um tubo U de seção uniforme, consideremos a

pressão sobre as áreas S1 e S2, situadas no plano AB, que passa pela interface entre os fluidos. Se o fluido está

equilíbrio, temos que F1 = F2. Como S1 = S2, temos que :

F1 F 2

=.

P1=

P2

S1 S2

Exemplo: Determine a distância x na figura,

considerando que o peso específico da água e 9800

N/m3 e que o peso específico do óleo é 7350 N/m3.

h =

30 cm =

0,3 m

Como : P1 =

P2, temos

h =.

×

X

H 2O Óleo

9800 ×

0,3 =

7350 ×

X

X =

0,4 =

40 cm

2.2.3. LEI DE PASCAL

“A pressão aplicada em um ponto de um fluido incompressível ( líquidos ) em repouso é transmitida

integralmente a todos os pontos do fluido.”

F1 F2

P =

P =

A1 A2

A2

FF .

A .

12 2

=.

F2 =

F1 ·

..

..

AA A

12 .

1 .

A1

F1F2

. . P P

.. A Força F2 será tantas vezes maior que a Força F1 quantas vezes for a área A2 maior que a área A1. Por

exemplo, em uma prensa hidráulica cuja área do cilindro maior for 10 vezes maior que a área do menor

cilindro, consegue-se multiplicar a força aplicada por 10.

2.2.3. ESCALAS DE PRESSÃO

Patm = .ar . har

Har : altura da camada atmosférica

.. Experiência de Torricelli

TERRA

har

A carga de pressão ( h =760 mm ) da coluna de mercúrio, multiplicada pelo peso específico do mercúrio ( .Hg ),

equilibra a pressão atmosférica.

Patm = .Hg . hHg Como .Hg = 13600 Kgf/m3 e hHg = 760 mm = 0,76 m

Patm = 13600 . 0,76 = 10330 Kgf/m2 = 1,033 Kgf/cm2

mercúrio

760 mm

Patm

Patm = 1 atm = 760 mmHg = 101234 N/m2 = 1,033 Kgf/cm2 = 10,33 m.c.a. ( m de coluna d’água )

¾

Escala de pressão absoluta .. é aquela que adota como referência a pressão do vácuo ( Pv = 0 )

¾

Escala de pressão efetiva .. é aquela que adota como referência a pressão atmosférica ( Patm = 0 )

1

Pabs = Pef + Patm

P1 abs

2

P1 ef

P2 abs

P2 ef

2.2.5. APARELHOS MEDIDORES DE PRESSÃO

a) Piezômetro

PA = . . h ( Patm = 0 )

Desvantagens :

Não serve para depressões

Não serve para gases

Não serve para pressões elevadas

b) Manômetro com tubo em “U”

PA = .2 . h2 -.1 . h1

Se o fluido .. for gás : PA = .2 . h2

PA

h2

h1

PA

h

d) Manômetro Metálico ( Tubo de Bourdon )

Pm = Pi - Pe

Pi : pressão interna

Pe : pressão atmosférica

Pm : pressão do manômetro

Geralmente : Pe = 0 ( escala efetiva ), então :

Pe

Pi

Pm = Pi

A figura abaixo ilustra alguns aspectos internos de um manômetro metálico.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Exercício R.2.2.1. A figura mostra um tanque de gasolina com infiltração de água. Se a densidade da gasolina

é 0,68 determine a pressão no fundo do tanque ( .H2O = 9800 N/m3 ).

P = .H2O . h1 + .g

. h2

P = .H2O . h1 + dg . .H2O . h2

P = 9800 x 1 + 0,68 x 9800 x 5

P = 43120 N/m2 = 43,12 KPa = 4,4 m.c.a.

Gasolina

Água

h2=5 m

h1 = 1m

Exercício R.2.2.2. O Edifício “Empire State” tem altura de 381 m. Calcule a relação entre a pressão no topo e

na base ( nível do mar ), considerando o ar como fluido incompressível (.Ar = 12,01 N/m3 ).

P1

P2 = Patm = 101234 N/m2

P2 – P1 = .Ar .( h2 – h1 )

P1 = P2 -.Ar .( h2 – h1 )

P1 .

Ar .(h2 -

h1 )

12,01×

381

=1 -=1 -=

0,955

P2 P2 101234

P2

Exercício R.2.2.3. A água de um lago localizado em uma região montanhosa apresenta uma profundidade

máxima de 40 m. Se a pressão barométrica local é 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região mais

profunda (.Hg = 133 KN/m3 ).

Pfundo = Po + .H2O . hlago onde, Po = .Hg .hHg é a pressão na superfície do lago

Pfundo = .Hg .hHg + .H2O . hlago = 133 (KN/m2) x 0,598 (m) + 9,8 (KN/m2) x 40 (m)

Pfundo = 472 KN/m2 = 472 KPa ( abs )

Exercício R.2.2.4. Um tanque fechado contém ar comprimido e um óleo que apresenta densidade 0,9. O fluido

utilizado no manômetro em “U” conectado ao tanque é mercúrio ( densidade 13,6 ). Se h1 = 914 mm, h2 = 152

mm e h3 = 229 mm, determine a leitura do manômetro localizado no topo do tanque.

P1 = Parcomp + .Oleo . (h1 + h2 )

P2 = .Hg . h3

P1 = P2 .. Parcomp + .Oleo . (h1 + h2 ) = .Hg . h3

Parcomp = .Hg . h3 -.Oleo . (h1 + h2 )

h1

Ar

Óleo

h3

Parcomp = dHg ..H2O. . h3 -dOleo ..H2O . (h1 + h2 )

Parcomp = 13,6 x 9800 x 0,229 - 0,9 x 9800 x (0,914 + 0,152 )

Parcomp = 21119 N/m2 = 21,119 KPa

h2

c

d

Exercício R.2.2.5. No piezômetro inclinado da figura, temos .1 = 800 Kgf/m2 e .2 = 1700 Kgf/m2 , L1 = 20 cm

e L2 = 15 cm, a = 30 oC. Qual é a pressão em P1 ?

h1 = L1.sem a h2 = L2.sem a

P1 = h1..1

+ h2..2

= L1.sem a..1 + L2.sem a..2

P1 = 0,20 x sen 30o x 800+ 0,15 x sen 30o x 1700

aL1

L2

P1

h2

h1

P1 = 207,5 Kgf/m2

Exercício R.2.2.6. Dois tanques de combustível pressurizados estão interconectados por uma tubulação

conforme mostra a figura abaixo. Dado que o manômetro metálico M1 indica uma pressão de 40 KPa e que o

peso específico do combustível é 7000 N/m3, determine :

a) a pressão indicada pelo manômetro M2;

b) a pressão indicada pelo manômetro M3.

A’A

PM1 = 40 kPa = 40000 N/m2 .comb = 7000 N/m3

a) A pressão ao longo do plano AA’ é constante, portanto podemos fazer :

PM1 + .comb . 10 = PM2 + .comb . 6

40000 + 7000 . 10 = Pm2 + 7000 . 6 .. PM2 = 68000 N/m2 = 68 kPa

b) O manômetro M3 mede a pressão no plano AA’, então :

PM3 = PM1 + .comb . 10 = 40000 + 7000 . 10 .. PM3 = 110000 N/m2 = 110 kPa

Exercício R.2.2.6. Na figura abaixo são conhecidas as seguintes medidas : h1 = 180 cm e h2 = 250 cm..

Considerando que o peso específico do mercúrio é 133280 N/m3 e que o sistema está em equilíbrio, determine:

a) a pressão do Gás A

b) a indicação do manômetro (1), considerando que o manômetro (2) indica uma pressão de 115000 N/m2 para

o Gás B

Gás A

Gás B

h1

(1)

(2)

Água

Hg

h2

Considerando o manômetro em U com mercúrio do lado esquerdo, temos :

2

.

Hg . h1 =

PGasA +.

H 2O . h2 .

PGasA =.

Hg . h1 -.

H 2O . h2 =

133280 ×

1,8 -

9800×

2,5 =

215404 N

m

2

O manômetro metálico (2) indica a pressão do Gás B : P =

P =

115000 N

m

GasB M 2

O manômetro Metálico (1) indica a diferença de pressão entre os Gases ( A – B ):

P =

P -

P =

215404 -

115000 =

100404 N

m2 =100,4 kPa

M 1 GasA GasB

Exercício R.2.2.7. O sistema da figura está em equilíbrio e a massa m sobre o pistão é de 10 kg. Sabendo que a

altura h é 100 cm, determinar a pressão do Gás 2.

Dados/Informações Adicionais:

¾

.H2O = 9800 N/m3

¾

Desprezar o peso do pistão

Gás 2

Gás 1

h

A= 400 cm2

m

H2O

A pressão do gás 1 pode ser calculada pelo delocamento da água ( h ) :

h =100 cm =1m

NN

P =.

. h =

9800 3 ×

1 m =

9800 2

Gas1 H 2O

mm

A força exercida pelo gás 1 no pistão é :

2 -42

A =

400 cm =

400×10 m

FGás1 N -42

P =.

F =

P . A =

9800 ×

400×10 m =

392 N

Gas1 Gás1 Gás1

Am2

A força peso da massa sobre o pistão é :

m

G =

m.g =10 kg x 9,8 =

98 N

2

s

O balanço de forças do sistema é o seguinte : a força exercida pelo gás 1 mais o peso da massa sobre o pistão é

quilibrado pela força exercida pelo gás 2.

F =

F +

G

Gás2 Gás1

F =

392 +

98 =

490 N

Gás2

A pressão do gás 2 é então :

FGás2 490 N

PGas2 ==

.

PGás2 =

12250 =12,25 kPa

-42

A 400×10 m

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Exercício P.2.2.1. A pressão sanguínea das pessoas é usualmente especificada pela relação entre a pressão

máxima ( pressão sistólica ) e a pressão mínima ( pressão diastólica ). Por exemplo, um valor típico de um ser

humano adulto é 12 x 7, ou seja máxima de 12 cm de Hg e mínima de 7 cm de Hg. Determine o valor destas

pressões em Pascal. Dado : .Hg = 133280 N/m3

Resposta : 15993,6 Pa e 9329,6 Pa

Exercício P.2.2.1. A pressão do ar preso no tanque da figura é 41,4 kPa. Sabendo eu a massa específica da

glicerina é 1260 kg/m3 , calcule a pressão no fundo do tanque.

Resposta : 79 kPa

Ar

Glicerina 3,05 m

Exercício P.2.2.2. A figura mostra um tanque fechado que contém água. O manômetro indica que a pressão do

ar é 48,3 kPa. Determine :

a) a altura h da coluna aberta;

b) a pressão no fundo do tanque;

c) a pressão absoluta do ar no topo do tanque se a pressão atmosférica for 101,13 kPa

Ar

h

0,6 m

0,6 m

Água

Respostas: 5,53 m ; 60 kPa ; 149,4 kPa

Exercício P.2.2.3. No manômetro da figura, o fluido A é água ( peso específico de 1000 Kgf/m3 ) e o fluido B

e mercurio (peso específico de 13600 Kgf/m3 ). As alturas são h1 = 5 cm, h2 = 7,5 cm e h3 = 15 cm. Qual é a

pressão P1

h3

h2

h1

Resposta: 1335 kgf/m3

P1

Exercício P.2.2.4. Dado o dispositivo da figura, onde h1 = 25 cm, h2 = 10 cm e h3 = 25 cm, h4 = 25 cm,

calcular :

a) A pressão do Gás 2

b) A pressão do Gás 1, sabendo que o manômetro metálico indica uma pressão de 15000 N/m2

c) A pressão absoluta do Gás 1, considerando que a pressão atmosférica local é 730 mmHg

Dados : .

oleo = 8000 N/m3 .

Hg = 133280 N/m3 .

agua = 9800 N/m3

h4h

Gás 2

Óleo

....

h

Gás 1

Hg

H2O

h3

Resposta : 32970 N/m2 17970 N/m2 115265 N/m2

Exercício P.2.2.5. No dispositivo da figura o manômetro indica 61600 N/m2 para a diferença de

pressão entre o Gás 2 e o Gás 1. Dados .água = 9800 N/m3 e .Hg = 133000 N/m3 , determinar :

a) A pressão do Gás 2

b) A distância x na figura.

x

Hg

Gás 1

Água

Gás 2

Água

Hg

1,0 m

Resposta : 1233200 N/m2 ; 0,5 m

Exercício P.2.2.6. O sistema da figura está em equilíbrio e o peso do porquinho é 200 N. Sabendo que

a altura h é 50 cm, determinar a pressão do Gás 2.

Dados/Informações Adicionais:

¾

.Hg = 133280 N/m3

¾

Desprezar o peso do pistão e da plataforma.

Resposta : 106,64 kPa

Gás 2

Gás 1

h

Hg

A= 50cm2

Exercício P.2.2.6. Considerando que o peso específico do óleo é 7000 N/m3 e que o sistema da

figura está em equilíbrio, determine a altura x na figura.

Resposta : 35,7 cm

2.3. CINEMÁTICA DOS FLUIDOS

2.3.1. VAZÃO EM VOLUME

Vazão em Volume é o volume de fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo

onde,

v é a velocidade média do fluido

A é a área da seção

2.3.2. VAZÃO EM MASSA

Vazão em Massa é a massa de fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo

A

x

m

.

kg kg utm utm .

Qm =.

,, , .

t

.

shh s .

m .

.VV

como .=

.

m =.

.V , portanto : Q=

=.

. =.

.QV mtt

Qm =.

.Q e como Q =

v. A , temos :

3

33

volume que passou pela seção V .

m lm cm .

Q =

=..

,, , ..

tempo

t .

ssh s .

A. xx

como

V =

A. s .

Q ==

A. =

A.v

tt

Q =

v. A

Qm =.

.v. A

2.3.3. VAZÃO EM PESO

Vazão em peso é o peso de fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo

G

.

N N Kgf Kgf .

QG =.

,, ,

t .

shh s .

m. g

como

G =

m. g .

QG ==

Qm . g =.

.Q. g =.

. g .Q =.

.Q =.

.v. A , portanto :

t

QG =.

.v. A

2.3.4. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE

Consideremos um fluido escoando por uma tubulação no regime permanente. O regime permanente se

caracteriza por não haver variações das propriedades do fluido em cada ponto, ou seja, as propriedades na seção

[1] ( v1 , .1 , etc. ) são constante e as propriedades na seção [2] ( v2 , .2 , etc. ) também são constantes.

(2)

(1)

Fluido

Como as propriedades ficam constantes, não pode haver acúmulo de massa entre [1] e [2], pois neste caso, pelo

menos a massa específica variaria. Portanto, concluímos que no regime permanente a massa em cada seção é a

mesma, ou seja :

Qm

1 =

Qm

2 =

constante

em qualquer seção

(.

.v.A )=

k ( equação da continuidade )

.

.v . A =.

.v . A

111 222

Fluido incompressível: No caso em que o fluido é incompressível, como a sua massa específica é

constante, a equação da continuidade poderá então ser escrita :

.

.v . A =.

.v . A , como .

. =.

.

111222 1 2

Q1 =

Q2 =

constante

v . A =

.v . A .

em qualquer seção

11 22

Portanto, se o fluido é incompressível a vazão em volume á a mesma em qualquer seção. A partir

desta equação pode-se obter a relação de velocidades em qualquer seção do escoamento.

A1

v . A =

v . A .

v =

v .

1122 21

A2

Portanto, a velocidade é maior nas seções de menor área.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

Exercício R.2.3.1. Na tubulação convergente da figura, calcule a vazão em volume e a velocidade na seção 2

sabendo que o fluido é incompressível.

A1 = 10 cm2

A2 = 5 cm2

Q1 =

Q2

v1 = 5 m/s

A1 10

v . A =

v . A .

v =

v . =

5. =10 m / s

1122 21

A25

(2)

A vazão em volume é :

(1)

.

m .

2 -4 .

m .-33 3

Q1 =

v1. A1 =5...10(cm ).10 ..

22 ..

=

5.10 m / s =5 dm / s =

5l / s

.

s ..

cm .

Exercício R.2.3.2. Ar escoa em regime permanente num tubo convergente. A área da maior seção do

tubo é 20 cm2 e a da menor seção é 10 cm2. A massa específica do ar na seção (1) é 0,12 utm/m3

enquanto que na seção (2) é 0,09 utm/m3. Sendo a velocidade na seção (1) 10 m/s, determine:

a) a velocidade na seção (2);

b) a vazão em massa de ar nas seções (1) e (2);

c) a vazão em volume de ar nas seções (1) e (2).

a) Como o ar é um fluido compressível, a equação da continuidade é :

Q1 =

Q2 ..

.v . A =.

.v . A

mm 111 222

.

utm ..

m .

2

0,12...10...20(cm )

(2)

.

.v . A .

m3 ..

s .

(1)

11 1

v2 ==

=

26,7 m / s

.2. A2 0,09.

.

utm

.

.

.10(cm2 )

.

m3 .

b) As vazões em massa em (1) e (2) são iguais ( regime permanente ):

.utm ..m .

2 -4 .m2 .-3 utm

Q=..v . A =0,12...10...20()

.10 ..

cm =2,4.10

m 111 3 .2 .

.m ..s ..cm .

s

c) As vazões em volume em (1) e (2) são são diferentes ( fluido compressível ):

.m .-42 -33

Q1 =v1. A1 =10 ... 20×10 (m )=20×10 m

s .

Q1 =20

.s .

sl

.m .-42 -33

v . A =26,7 .10×10 ()26,7×10 m

Q =

..

m =

s .Q1 =26,7

21 22

.s .

sl

Exercício R.2.3.3. No tanque misturador da figura 20 l/s de água ( . = 1000 Kg/m3 ) são misturados

com 10 l/s de um óleo ( .= 800 Kg/m3 ) formando uma emulsão. Determinar a massa específica e a

velocidade da emulsão formada.

A=30 cm2

Água Óleo

Q =Q +Q =20 +10 =30l / s

eao

eao

Q =Q +Q ...Q =..Q +.Q

mmm eeaaoo

.l ..kg ..l ..kg ..l ..kg .

.e .30.

.=1000...20.

.+800...10..

..e =933,33..

33 3

.s ..m ..s ..m ..s ..m .

.l .-3 .m3 .

2 -4 .m2 .

Q =v . A .

30.

.10 .

.=v .30 ()

..

.

cm .10

ee ..e .2 .

sl cm

....

..

ve =10 m / s

Exercício R.2.3.4. Os dois tanques cúbicos com água são esvaziados ao mesmo tempo, pela tubulação

indicada na figura, em 500 s. Determinar a velocidade da água na seção A, supondo desprezível a

variação de vazão com a altura.

Qt1 + Qt2 = Qtubo

V1 V2 2m

+=v.A

tt

2.2.2 .m3 .

4.4.4 .m3 .

-42

..+

..=v.45.10 ()

m

....

500 s 500 s

..

..

4m

45 cm2

(A)

v =32 m / s

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

Exercício P.2.3.1. Água é descarregada de um tanque cúbico de 5 m de aresta por um tubo de 5 cm de

diâmetro localizado na base. A vazão de água no tubo é 10 l/s. Determinar a velocidade de descida da

superfície livre da água do tanque e, supondo desprezível a variação de vazão, determinar o tempo que

o nível da água levará para descer 20 cm.

Respostas : 4. 10-4 m/s ; 500 s

Exercício P.2.3.2. Dois reservatórios cúbicos de 10 m e 5 m de aresta, são enchidos por água

proveniente de uma mesma tubulação em 500 s e 100 s, respectivamente. Determinar a velocidade da

água na tubulação sabendo que o seu diâmetro é 1,0 m.

Resposta : 4,13 m/s

Exercício P.2.3.3. O avião esboçado na figura voa a 971 km/h. A área da seção frontal de alimentação

de ar da turbina é igual a 0,8 m2 e o ar, neste local, apresenta massa específica de 0,736 kg/m3. Um

observador situado no avião detecta que a velocidade dos gases na exaustão da turbina é igual a 2021

km/h. A área da seção transversal da exaustão da turbina é 0,558 m2 e a massa específica dos gases é

0,515 kg/m3. Determine a vazão em massa de combustível utilizada na turbina.

Resposta : 2,51 kg/s

Exercício P.2.3.4. Ar escoa em um tubo divergente, conforme a figura abaixo. A área da menor seção

do tubo é 50 cm2 e a da maior seção é 100 cm2. A velocidade do ar na seção (1) é 18 m/s enquanto que

na seção (2) é 5 m/s. Sendo a massa específica do ar na seção (1) é 0,026 kg/m3, determine:

a) a massa específica do ar na seção (2);

b) a vazão em massa de ar nas seções (1) e (2);

c) a vazão em volume de ar nas seções (1) e (2).

Dados/Informações Adicionais:

Considere regime permanente e lembre-se que o ar é um fluido compressível

Resposta : 0,0468 kg/m3 ; 0,00234 kg/s e 0,00234 kg/s ; 0,09 m3/s e 0,05 m3/s

2.4. EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Premissas Simplificadoras :

Fluido ideal ( µ = 0 , escoa sem perda de energia )

Regime permanebte

Fluidos incompressíveis ( líquidos )

2.4.1. FORMAS DE ENERGIA MECÂNICA

¾

Energia Potencial de Posição ( EPPo )

Energia ( trabalho ) = Força x Deslocamento

z

EEPo = G . z , como G = m . g

G

EEPo =

m.g.z onde, m : massa g : aceleraçãoda gravidade z : altura

¾

Energia Potencial de Pressão ( EPPr )

h

P

Energia ( trabalho ) = Força x Deslocamento P =.

.h .

h =

.

EPPr = G . h

.P

P

EE Pr =

G. onde, G : peso P : pressão .

: peso específico

.

¾

Energia Cinética ( Ec )

12

Ec =

.m.v

onde, m : massa v : velocidade

2

Como exemplo ilustrativo das três forma da energia, consideremos o escoamento de água em uma

seringa, conforme mostra a figura abaixo. A força aplicada aplicada no êmbolo produz uma pressão

maior que a atmosférica no ponto (1) do escoamento. A água escoa pela agulha, ponto (2), em alta

velocidade e atinge o ponto (3) onde para antes volta a cair. Portanto, a energia que

(3)

foi passada para o líquido através do êmbolo se manisfeta no ponto (1),

principalmente na forma de pressão. No ponto (2) a energia está preponderante na

forma cinética e no ponto (3) a energia está essencialmente na forma potencial.

(2)

(1)

Tipo de Energia

Ponto Cinética Potencial Pressão

(1) Pequena Zero Grande

(2) Grande Pequena Zero

(3) Zero Grande Zero

.. Energia Total ( E )

A energia total do fluido é a soma das parcelas.

E = EPPo + EPPr + Ec

2.4.2. PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

“No escoamento de um fluido ideal, sua energia total permanece constante”

E1

E2

Fluido

Ideal

E1 = E2 ou

EPPo1 + EPPr1 + Ec1 = EPPo2 + EPPr2 + Ec2 ou

P11 2 P21 2

m.g.z1 +

G. +

.m.v1 =

m.g.z2 +

G. +

.m.v2

.

2 .

2

2.4.3. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL

Pelo princípio de conservação da energia, temos :

Pm.v2 Pm.v2

11 22

m.g.z1 +

G. +=

m.g.z2 +

G. +

.

2 .

2

Como, G = m.g , temos :

PG.v2 PG.v2

11 22

G . z1 +

G. +=G.z2 +

G. +

.

2.g .

2.g

Dividindo ambos membros por G, temos :

z1 +

P1

.+

g

v

2.

2

1 z2 =

+

P2

.

+

g

v

2.

2

2 ou H1 = H2

onde,

z =

carga de posição (m)

P

=

carga de pressão(m)

.

2

v

=

carga de velocidade(m)

2.g

Exercício R.2.4.1. O tanque da figura tem grandes dimensões e descarrega água pelo tubo indicado.

Considerando o fluido ideal, determinar a vazão em volume de água descarregada, se a seção do tubo

é 10 cm2.

10 m

2 m

(1)

(2)

Para aplicar a equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a superfície livre da água e (2) a saída

do tubo. Portanto, temos que :

H1 = H2

Pv2 Pv2

11 22

z ++

=

z ++

1 .

2.g 2 .

2.g

Como adotamos a escala efetiva de pressão, as pressões P1 e P2 são nulas pois são iguais à pressão

atmosférica. Em relação ao plano de referência, temos que :

z1 = 10 e z2 = 2

Como o tanque tem grandes dimensões, a velocidade da superfície livre da água pode ser considerada

desprezível. Portanto :

v1 = 0

Logo, a equação de Bernoulli fica reduzida à :

v22 .

m .

v2 =12,5 ms

z1 =

z2 +

Î

v2 =

2. .(z1 -

z2 )=

2 ×

9,8.

2 (10 -

2 m ..

g .×

)()

2.g .

s .

A vazão em volume será :

.

m .-42 3

Q =12,5ls

22 .

s .

Q =

v . A =12,5.

.×10 ×10 (m )=

0,0125 m

s Î

2.4.4. O TUBO VENTURI

O venturi consiste de uma tubulação cuja seção varia até um minímo e, novamente, volta a ter a

mesma seção inicial. Este tipo de estrangulamento é denominado de garganta. A equação de Bernoulli

aplicada entre as seções (1) e (2) na figura abaixo fornece :

(1)

(2)

2

222

PvPv v -

vP -

P

11 22 2112

z1 ++

=

z2 ++.

=

.

2.g .

2.g 2g .

Como v2 > v1 , temos que P1 > P2 , pode-se avaliar a velocidade medindo-se a diferença de pressão

entre as seções (1) e (2). Portanto, medindo-se a diferença de pressão e conhecendo-se as áreas da

seções, pode-se calcular a vazão com este dispositivo, pois pela equação da continuidade, temos :

Q =

v .A =

v .A

11 22

Exercício R.2.4.2. No Venturi da figura água escoa como fluido ideal. A área na seção (1) é 20 cm2

enquanto que a da seção (2) é 10 cm2. Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio ( .Hg =

13600 kgf/m3 ) é ligado entre as seções (1) e (2) e indica um desnível “h” de 10 cm. Pede-se a vazão

em volume de água ( .H2O = 1000 kgf/m3 )

h

(1)

(2)

Hg

x

(a) (b)

Pv2 Pv2

11 22

H1 = H2 ou z1 ++

=

z2 ++

.

2.g .

2.g

Como os centros geométricos das seções (1) e (2) estão na mesma altura : z1 = z2 , portanto :

22

2222

PvPv PPvv P -

Pv -

v

1122 122 1 1221

+=+

.-=-.

=

..

.

2.g .

2.g ..

2.g 2.g .

2.g

Como A2 < A1 Î

v2 > v1 ( energia cinética aumenta ) .. energia de pressão diminui ( P2 < P1 )

A pressão em (a) é igual a pressão em (b) : Pa = Pb , ou :

P1 + .H2O . x + .H2O . h = P2 + .H2O . x + .Hg . h

P1 – P2 = ( .Hg -.H2O ) . h = ( 13600 – 1000 ) . 0,10 = 1260 kgf/m2

Substituíndo .. em .. , temos :

2222

2

P -

Pv -

v 1260 v -

v

m

1

221 21 22

=

.=.

v2 -

v1 =

24,7 ..

.

2.g 1000 2 ×

9,8 s2

Pela equação da continuidade, temos :

2

A2 10 (cm )

v2

Q =

Q .

v . A =

v . A .

v =

v . =

v . .

v =

..

12112212 2 2 1

A1 20 (cm )

2

Substituíndo .. em .. , temos :

2 -.

v2 .2

v2

.

.=

24,7 .

v2 =5,7 m / s

.

2 .

Portanto, a vazão em volume será :

-4 -3

Q =

v2. A2 =5,7×10×10 =

5,7×10

Q =

5,7l / s

2.4.5. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL COM MÁQUINA NO ESCOAMENTO

Máquina é qualquer elemento, que introduzido no escoamento, é capaz de fornecer ou retirar energia

do fluido na forma de trabalho. Podemos ter dois casos :

-Bomba : qualquer máquina que fornece energia ao fluido

-Turbina : qualquer máquina que retira energia do fluido

Consideremos um escoamento de um fluido. Se não houver máquina no escoamento, sabemos que :

(1)

(2)

Pv2 Pv2

11 22

z ++

=

z ++

ou H1 = H2

1 .2.g 2 .

2.g

Caso haja uma máquina no escoamento, teremos o seguinte

M

(1)

(2)

a) Se for bomba : H1 + HB = H2 ( H1 < H2 )

onde , HB = carga manométrica da bomba ( m )

a) Se for turbina : H1 -HT = H2 ( H1 > H2 )

onde , HT = carga manométrica da turbina ( m )

Portanto, a equação de Bernoulli ficará assim :

Pv2 Pv2

11 22

H1 + HM = H2 ou z ++

+

H =

z ++

1 M 2

.

2.g .

2.g

onde HM = +HB ( se bomba ) ou HM = -HT ( se turbina )

Potência Retirada ou Fornecida e Rendimento

Da definição de trabalho, temos :

Trabalho = Força x Deslocamento

G

W =G ×

HM como : .=

.

G =.

×

V , então :

V

W =.

H MV ××

dividindo pelo tempo, obtemos :

t

W =

.t

HV M××

como :

t

W =P

( potência ) e

t

VQ =

, obtemos :

P=.×Q ×HM

Unidades de Potência :

Nm3 N ×mJ

Sistema Internacional Æ

[]=

3 ××m =

==W

P

ms ss

kgf m3 kgf ×m kgm kgm

=

( =75 )

Sistema Métrico Æ

[]=

3 ×m =

1 CV

msss s

potência útil

O Rendimento ( . ) é definido como : .=

potência realmente fornecida

No caso da bomba a potência útil fornecida ao fluido é menor que a potência da máquina, assim :

PP

Na Bomba : .B =

.PB =

PB .B

onde .B é o rendimento da bomba.

No caso da turbina a potência útil da máquina é menor que a potência fornecida pelo fluido, assim :

P

Na Turbina : .=

T .

P

=P×.

T TT

P

onde .T é o rendimento da turbina.

Exercício R.2.4.3. O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma

vazão de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e

determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção do tubo é 10 cm2.

20 m

5 m

(1)

(2)

M

A velocidade na saída do tubo pode ser obtida através da vazão

-33

Q 10×10 (m / s)

Q =v2. A .

v2 ==

=10 m / s

-42

A 10×10 ()

m

Na equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a superfície da água ( v1=0 ) e (2) a saída do tubo.

Pv2 Pv2

11 22

H1 + HM = H2 z ++

+H =

z ++

1 M 2

.

2.g .

2.g

Como as pressões P1 e P2 são nulas pois são iguais à pressão atmosférica, temos que :

102

20 + 0 + 0 + HM = 5 + 0 + .. Hm = - 9.9 m

2 ×

9,8

Como no sentido do escoamento o HM ficou negativo, então a máquina é uma turbina. A potência é:

N -3 m3 N ×

mJ

P=.

×

Q ×

HM =

9800 3 ×(10 ×10 )×

9,9 m =

970,2 =

970,2 =

970,2W

ms ss

Nem toda potência posta em jogo pelo fluido é aproveitada pela turbina, assim :

PT

.

=

.

P=P×.=

970,2 ×

0,75 =

727,6 W

T TT

P

Exercício R.2.4.4. Uma empresa de energia utiliza um sistema de “armazenamento” de energia

conforme mostra a figura. A noite, quando sobra energia, é feito um bombeamento de água de um

lago para um reservatório elevado e, durante o dia esta água é utilizada para gerar energia em uma

turbina. Considerando que a vazão de água é sempre 500 litros/s e que os rendimentos da bomba e da

turbina são 70%, calcule:

a) a potência ( em kW ) necessária na bomba;

b) a potência ( em kW ) recuperada na turbina

B T

80 m 80 m

lago lago

a) Tomando a seção (1) como a superfície livre do lago e a seção (2) como a superfície livre do

reservatório e aplicando Bernoulli para máquina no escoamento, temos:

Pv 2 Pv 2

11 22

z ++

+

H =

z ++

onde :

1 M 2

.

2.g .

2.g

z1 =

0(nível de referência) z2 =

80 m

P1 =

0( pressão atmosférica efetiva) P2 =

0( pressão atmosférica efetiva)

v1 =

0( lago de grandes dim ensões) v2 =

0( reservatório de grandes dim ensões)

0 +

0 +

0 +

HM =

80 +

0 +

0 .

HM =

80 m ( é uma Bomba )

H =+

H .

H =

80 m

MB B

A vazão de 500 litros/s, correspode a 0,5 m3/s. Portanto, a potência requerida para o bombeamento é:

Nm3 N ×

mJ

P=.

×

Q ×

HB =

9800 ×(0,5)×

80 m =

392000 =

392000 =

392000W

3

ms ss

A potência requerida na bomba deve levar em conta o rendimento, assim :

PP

392000

.=

.P==

=

560000 W .

P=

560 KW

BB B

PB .

B 0,70

b) Tomando a seção (2) como a superfície livre do reservatório e a seção (3) como a superfície livre

do lago e aplicando Bernoulli para máquina no escoamento, temos:

P2 v22 P3 v32

z ++

+

H =

z ++

onde :

2 M 3

.

2.g .

2.g

z2 =

80 mz3 =

0(nível de referência)

P2 =

0( pressão atmosférica efetiva) P3 =

0( pressão atmosférica efetiva)

v2 =

0( reservatório de grandes dim ensões) v3 =

0( lago de grandes dim ensões)

80 +

0 +

0 +

HM =

0 +

0 +

0 .

HM =-

80 m ( é uma Turbina )

H =-

H .

H =

80 m

MT T

A potência fornecida pelo fluido é:

Nm3 N ×

mJ

P=.

×

Q ×

HT =

9800 ×(0,5)×

80 m =

392000 =

392000 =

392000W

3

ms ss

A potência aproveitada na turbina deve levar em conta o rendimento, assim :

PT

.=

.

P=P×.=

39200 ×

0,70 =

274400 W .

P=

274,4 KW

TTT T

P

Portanto, levando em conta as perdas nas máquinas, a energia aproveitada é bem menor que a energia

utilizada para o “armazenamento”.

2.4.6. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO REAL COM MÁQUINA NO ESCOAMENTO

Se o fluido não for ideal, devido ao efeito do atrito, ocorrerá uma dissipação da energia do fluido

entre as seções (1) e (2).

Energia dissipada

(1) (2)

Neste caso, temos que : H1 > H2

Para restabelecer a igualdade, deve ser computado em (2) a energia dissipada entre (1) e (2). Portanto,

a equação de Bernoulli ficará assim :

H1 = H2 + HP

onde, HP = energia dissipada entre (1) e (2) ou “perda de carga”

Levando em conta a presença de uma máquina no escoamento, teremos :

Pv2 Pv2

11 22

H1 + HM = H2 + HP ou z ++

+

H =

z ++

+

H

1 M 2 P

.

2.g .

2.g

Exercício R.2.4.5. Na instalação da figura a máquina é uma bomba e o fluido é água. A bomba tem

potência de 3600 W e seu rendimento é 80%. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade

de 5 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2).

5 m

(1)

(2)

B

A vazão de água pelo tubo é :

-43

Q =

v. A =

5 ×(10 ×

10 )=

0,005 m / s

A altura manométrica da bomba é obtida considerando que :

PPB ×.B

P=.×

Q ×

HB e .=

ou P=P×.

.

H =

B BBB

PB .×

Q

3600 ×

0,80

HB ==58,8 m

9800 ×0,005

Na equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a superfície da água ( v1=0 ) e (2) a saída do tubo.

Pv2 Pv2

11 22

H1 + HM = H2 + HP ou z1 ++

(+

HB )=

z2 ++

+

HP

.

2.g .

2.g

52

5 +

0 +

0 +

58,8 =

0 +

0 ++

HP .

HP =

62,5 m

2 ×

9,8

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Exercício P.2.4.1. Uma caixa d’água de 1,0 m de altura está apoiada sobre uma lage de 4,0 m de

altura e alimenta a tubulação de um chuveiro. Considerando que o diâmetro da tubulação próximo ao

chuveiro na seção (2) é ½ polegada e que esta seção está a 2,0 m do solo, determinar para fluido ideal:

a) A vazão em volume de água;

b) A vazão em volume de água considerando que a altura da lage é 10 m.

2 m

(2)

(1)

1 m

4 m

Respostas : 0,97 l/s ; 1,7 l/s

Exercício P.2.4.2. Em uma indústria de engarrafamento de água mineral, a água de um reservatório de

grandes dimensões situado no piso inferior, deve ser recalcada, conforme mostra a figura, para

limentar a linha de engarrafamento. O diâmetro da tubulação de recalque é 1,6 cm. Considerando que

a altura manométrica ( HB ) da bomba é 13 m e que a água se comporta como um fluido ideal,

determine :

a) a vazão de água recalcada

b) o número de garrafões de 20 litros que podem ser enchidos por hora.

5 m

B

Patm

15 m

Respostas : 12,52 m/s ; 454 garrafões

Exercício P.2.4.3. No Venturi da figura querosene ( densidade: .r = 0,85 ) escoa como fluido ideal.

A área na seção (1) é 24 cm2 enquanto que a da seção (2) é 12 cm2. As velocidades médias do

querosene nas seções (1) e (2) são 4,5 m/s e 9 m/s, respectivamente. Um manômetro cujo fluido

manométrico é mercúrio ( . = 133280 N/m3 ) é ligado entre as seções (1) e (2) e indica um desnível

“h”. Pede-se desnível “h” indicado.

(1)

h

(2)

Hg

x

(a) (b)

querosene

Resposta : 0,206 m

Exercício P.2.4.4. A água contida em um reservatório elevado, de grandes dimensões, alimenta por

gravidade a linha de engarrafamento, em uma fábrica de água mineral gasosa, conforme mostra a

figura. O reservatório é pressurizado e o manômetro no topo indica uma pressão de 50 kPa. O

diâmetro da tubulação de descarga é 1,6 cm. Considerando a água um fluido ideal, determine :

a) a velocidade da água mineral na saída da tubulação de descarga

b) o número de garrafões de 20 litros que podem ser enchidos por hora.

11 m

1 m

11 m

1 m

Respostas : 17,2 m/s e 622 garrafões

Exercício P.2.4.5. Na instalação da figura a máquina é uma turbina e o fluido é água. A turbina tem

potência de 500 W e seu rendimento é 85%. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de

3 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2).

Resposta : 14,5 m

5 m

(1)

(2)

B

Exercício P.2.4.6. Água escoa através da instalação esboçada na figura. A canalização que conduz a

água tem um diâmetro interno de 10 cm.

a) Dado que a vazão de água é 126,33 litros/s, determinar a potência fornecida ( ou recebida ) pela

água pela máquina M, indicando se é uma bomba ou uma turbina.

b) Determine a potência da máquina se o seu rendimento for 65%.

5m

d

M

2m

Dados/Informações Adicionais:

O tanque da figura tem grandes dimensões

Resposta : 7675,93 W ( é bomba ) ; 11809,12 W

Exercício P.2.4.7. Em um pequeno edifício, uma bomba é utilizada para recalcar água de um

reservatório subterrâneo para uma caixa d´agua situada no topo do edifício. A tubulação de recalque,

conforme mostra a figura, tem diâmetro de ½” ( 0,5 polegadas ) e a vazão de água é 3 litros/s.

Considerando a água um fluido ideal, determine :

a) a altura manométrica da bomba

b) a potência da bomba ( em HP ), considerando que o seu rendimento é 65%

Dados/Informações Adicionais

reservatório subterrâneo tem grandes dimensões e está aberto para a atmosfera

g= 9,8 m/s 1”=2,54 cm 1 HP =745,7 W

B

23 m

5 m

Resposta : 46,7 m ; 2,8 HP

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