Equações Diferenciais Ordinárias e aplicações

Equações Diferenciais Ordinárias e aplicações

(Parte 1 de 4)

Aluno: Marcelo Luiz Freitas Fogal Orientador: Ernandes Rocha de Oliveira

Ilha Solteira, 1999

Campus de Ilha Solteira

Departamento de Matemática UNESP - FEIS

Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias

Introdução

Este trabalho consiste de um estudo de equações diferenciais ordinárias e de seus métodos de determinação de suas soluções. É bem conhecido que muitos fenômenos que interessam às Engenharias e outras ciências podem ser estudadas através de modelos matemáticos nos quais aparecem de modo importante equações ordinárias. Processos contínuos que envolvam a análise de taxa de variação, são geralmente descritos por meio da noção da derivada. Entendese também que o estudo de modelos matemáticos simples, porém significativos, permite ao iniciante na matéria compreender melhor o poder e o limite dos métodos matemáticos utilizados, além disso tais modelos podem servir como um primeiro passo na busca de formação matemática necessária para que se possa desenvolver uma confiança na formulação e exploração de novos modelos.

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Objetivos

O objetivo principal deste trabalho é o de estudar, tanto do ponto de vista qualitativo, quanto do ponto de vista quantitativo, as principais classes de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e as de segunda ordem lineares, além de alguns problemas significativos modelados por tais equações.

A execução deste trabalho deverá proporcionar uma experiência inicial com a teoria de equações diferenciais ordinárias, modelagem matemática e o uso de um software para realizar simulações e visualização de soluções.

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Observações Históricas

O desenvolvimento das equações diferenciais está diretamente ligado com o desenvolvimento da matemática. A fim de se ter uma certa perspectiva histórica, vamos traçar algumas tendências principais na história do problema e identificar as personalidades contribuidoras mais eminentes.

O estudo das EDO's inaugurou-se no início do cálculo, com Isaac

Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716), no século XVII. Embora Newton tenha trabalhado relativamente pouco no campo das equações diferenciais, o desenvolvimento que proporcionou ao cálculo e à elucidação dos princípios básicos da mecânica construíram a base para as aplicações que se fizeram no século XVIII, por Euler. Newton classificou as equações diferenciais de primeira ordem de acordo como as formas dy/dx = f(x), dy/dx = f(y) e dy/dx = f(x,y).

Leibniz chegou aos resultados fundamentais do cálculo por via independente, embora um pouco posterior a Newton, mas foi o primeiro a publicálos, em 1684. Leibniz tinha plena consciência do poder de uma boa notação matemática e a notação que usamos para a derivada (dy/dx), e para a integração, foram introduzidas por ele. Descobriu o método de separação das variáveis em 1691, a redução de equações homogêneas e equações separáveis, e o procedimento de resolução de equações lineares de primeira ordem em 1694.

Os irmãos Jakob (1654-1705) e Johann (1667-1748) Bernoulli, contribuíram muito para o desenvolvimento de métodos de resolução de equações diferenciais e para ampliar o campo de aplicação destas equações. Com o auxílio do cálculo formularam como equações diferenciais muitos problemas de mecânica e os resolveram. Por exemplo, Jakob Bernoulli resolveu a equação diferencial y’ = [a³/(b²y - a³)]½ em 1690 e, no mesmo artigo usou pela primeira vez o termo "integral" no sentido moderno. Em 1694, Johann Bernoulli resolveu a equação dy/dx = y/ax, embora não se soubesse na época, que d(ln x) = dx/x.

Euler teve especial interesse na formulação de problemas de mecânica em linguagem matemática e o desenvolvimento de métodos de resolução destes problemas matemáticos, identificou a condição de exatidão das equações diferenciais de primeira ordem em 1734-1735, desenvolveu a teoria dos fatores de

Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias integração e apresentou a solução geral das equações lineares com os coeficientes constantes em 1743.

No que se refere às equações diferenciais elementares, Joseph-Louis

Lagrange (1736-1813) mostrou em 1762-1765 que a solução de uma equação diferencial homogênea de ordem n é uma combinação linear de n soluções independentes. Depois, em 1774-1775, publicou o desenvolvimento completo do método da variação de parâmetros. Lagrange também é conhecido pelo seu tratamento fundamental nas equações diferenciais parciais e no cálculo das variações.

A equação de Laplace é fundamental em muitos ramos da física matemática, e Pierre-Simon de Laplace estudou-a profundamente em suas investigações da atração gravitacional. A transformada de Laplace também recebeu o nome em sua homenagem, embora sua utilidade para a solução de equações diferenciais só tenha sido reconhecida muito mais tarde.

As diversas equações diferenciais que resistiram à resolução por meios analíticos levaram à investigação de métodos numéricos de aproximação. Na altura de 1900, métodos de integração numérica, muito eficientes, já tinham sido elaborados, mas a implementação destes métodos estava severamente restringida pela necessidade de execução de cálculos manuais ou com equipamento de computação muito primitivo. Nos últimos cinqüenta anos, o desenvolvimento de computadores cada vez mais poderosos e versáteis ampliou a gama de problemas que podem ser investigados com eficiência por meio de métodos numéricos. Durante o mesmo período, desenvolveram-se integradores numéricos muito refinados e robustos, que se encontram em todos os centros de computação científica.

Uma outra característica das equações diferenciais no século X foi a criação de métodos geométricos ou topológicos, especialmente para as equações não-lineares. Assim, embora as equações diferenciais sejam um tema antigo, a respeito do qual seja grande o conhecimento, tornou-se no final do século X uma fonte de problemas fascinantes e importantes, ainda não resolvidos.

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Classificação das EDO's

Muitos problemas significativos da engenharia, das ciências físicas e das ciências sociais, formulados em termos matemáticos, exigem a determinação de uma função que obedece a uma equação que contém uma ou mais derivadas da função desconhecida. Estas equações são equações diferenciais.

Temos as equações diferenciais ordinárias e equações diferenciais parciais. Uma das classificações se baseia em a função desconhecida depender de uma só variável ou de diversas variáveis. No primeiro caso, na equação diferencial só aparecem derivadas ordinárias e a equação é uma equação diferencial ordinária. No segundo caso, as derivadas são derivadas parciais, e a equação é uma equação diferencial parcial. Como um exemplo para equações diferenciais ordinárias, temos:

tdR −=, onde K é uma constante conhecida. Um exemplos

típico de equação diferencial parcial é a equação do potencial:

dy yxuddx yxud

A equação do potencial aparece em muitos problemas de eletricidade e magnetismo.

Sistemas de equações diferenciais é uma outra classificação que depende do número de funções desconhecidas que estão envolvidas. Quando forem duas ou mais as funções desconhecidas, é necessário ter um sistema de equações.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem de derivada de maior ordem que aparece na equação. De uma forma mais geral, a equação F[t, u(t), u’(t),…, u(n)(t)] = 0 é uma equação diferencial de ordem n. Esta equação pode ser escrita como F(t, y, y’,…, y(n)) = 0.

Por exemplo, y’’’ + 2ety’’ + y’ = t4 é uma equação diferencial de terceira ordem em y = u(t). Admitindo-se que é sempre possível resolver uma dada equação diferencial ordinária na derivada de ordem mais elevada e ter y(n) = f(t, y, y’, y’’,…,

Uma solução desta equação no intervalo α<t<β, é uma função φtal que φ’, φ’’,…, φ(n) existem e satisfazem a :

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Uma classificação importante das equações diferenciais é a que as divide em lineares e não-lineares. A equação diferencial ordinária F(t, y, y’,…, y(n)) =

0 é linear se F for uma função linear das variáveis y, y’,…,y(n) . Definição semelhante aplica-se às equações diferenciais parciais. Assim, a equação diferencial ordinária linear, de ordem n, é:

a0(t)y(n) + a1(t)y(n-1) +…+ an(t)y = g(t). Uma equação que não tenha essa forma é uma equação não-linear.

Um problema simples que leva a uma equação não-linear é o do pêndulo. O ângulo θ que um pêndulo de comprimento L faz com a direção vertical obedece à equação não-linear:

=+ θθ Lg dt

A teoria matemática e as técnicas correspondentes para a resolução das equações lineares estão muito desenvolvidas, mas em contraposição, para as equações não-lineares a situação não é tão satisfatória. Em boa parte faltam técnicas gerais para a resolução de equações não-lineares, e a teoria associada a estas equações também é mais complicada do que a teoria das equações lineares. Por isso, é bom que muitos problemas importantes levem a equações diferenciais ordinárias lineares ou, pelo menos em primeira aproximação, a equações lineares.

Campos de Direções

Uma interpretação geométrica das equações diferenciais e das respectivas soluções são os campos de direções. O ponto de vista geométrico é especialmente útil no caso de equações de primeira ordem, isto é, de equações com a forma:

A solução da equação (a1) é uma função y = φ(t), a solução geométrica de uma solução é o gráfico de uma função. Geometricamente a equação (a1) afirma que, em qualquer ponto (t,y), o coeficiente angular dy/dt da solução neste ponto é dado por f(t,y). Podemos representar graficamente esta situação traçando um pequeno segmento de reta, no ponto (t,y), com o coeficiente angular f(t,y). O

Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias conjunto de segmentos de reta é o campo de direções da equação diferencial (a1). O campo de direções pode ser visualizado pelo desenho de pequenos segmentos de reta num conjunto representativo de pontos do plano ty. Embora este traçado seja tedioso de ser feito manualmente, é tarefa simples para um computador, pois exige somente o cálculo repetido de f(t,y) para diferentes valores de t e de y. Com o desenho de campo de direções, pode-se perceber muitas vezes, o comportamento qualitativo das soluções ou observar regiões no plano que tenha interesse especial.

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Equações Diferenciais de Primeira Ordem

Equações Lineares

Se a função da equação dy/dt = f(t,y) depende linearmente da variável dependente y, então a equação pode ser escrita na forma:

dy =+, e é chamada de equação diferencial linear de

primeira ordem. Vamos admitir que p e g são funções conhecidas e contínuas no intervalo α < x < β. Por exemplo, a equação diferencial:

dy , é uma equação linear particularmente simples, com as

funções p(x) =21 e g(x) = 23 , ambas constantes.

Temos como exemplo a resolução da equação 232 dy e determinar como as soluções se comportam para grandes valores de x. Para resolver esta equação, observamos que se y ≠ 3 podemos rescrever a equação na

forma 2 dy , daí então dt dy

Uma vez que o primeiro membro da equação dt dy

, é a derivada

de 3ln−y, temos d . Segue-se então que se:

cty +−=− 2 3ln, onde c é uma constante de integração arbitrária.

Portanto, com a forma exponencial de ambos os membros, obtemos: )2exp()exp(3tcy−±=−, onde )exp(cc±=também é uma constante arbitrária não nula.

Fator integrante

Inicialmente, escrevemos )exp(rt r Ky+−= (I) na forma

Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias crt r Kyert+−−=−)exp( (I), e depois derivando os dois membros em relação a t, vem: )exp()exp()'(rtKrtryy−=−− (I), que é equivalente a equação

Kry dt

Observe que agora podemos resolver a equação (IV) invertendo os passos precedentes. Transpondo o termo ry para o lado esquerdo da equação e multiplicando por e-rt , obtemos a equação (I). Note que o lado esquerdo de (I) é a derivada de ye-rt , de modo que a equação se torna:

)exp())'exp((rtKrty−=−(V)

Finalmente integrando os dois membros da equação (V), obtemos a equação (I) e portanto a solução (I).

Lidando agora com a questão da equação )()(tgytp dt objetivo é multiplicar a equação diferencial (VI) por um fator integrante apropriado e assim colocá-la em uma forma integrável. Para determinar esse fator integrante primeiro multiplicamos a Eq.(VI) por uma função µ(t), ainda indeterminada. Temos agora:

µ(t)y’ + µ(t)p(t)y = µ(t)g(t)(VII)

Devemos agora reconhecer o lado esquerdo da Eq.(VII) como a derivada de alguma função. O fato é que existem dois termos e um dos termos é µ(t)y’ sugere que o lado esquerdo da equação (VII) pode ser a derivada do produto µ(t)y. Para que isto seja verdade, o segundo termo do lado esquerdo da Eq.(VII),

µ’(t) = p(t)µ(t)(VIII)

µ(t)p(t)y, deve ser igual a µ’(t)y. Isto significa que µ(t) deve satisfazer a equação diferencial:

Se admitirmos que µ(t) é positiva, podemos escrever a equação (VIII) como:

dt d=µ, então integrando ambos os termos,

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Pela escolha da constante K arbitrária como zero, temos a função u mais simples possível, ou seja ∫=dttpt)(exp)(µ(IX).

De forma que µ(t) é positiva para todos os t conforme admitimos. Depois de determinar-mos o fator integrante u(t), voltamos a equação dy =+ e multiplicamos por µ(t), obtendo assim a equação (VII). Como µ

[µ(t)y]’ = µ(t)g(t)(X)

satisfaz à Eq.(VIII), a Eq.(VII) se reduz a Integrando ambos os membros da equação (X) obtemos:

cdttgt

y µ

Uma vez que y representa qualquer solução da Eq.(VI), concluímos que toda solução da Eq.(VI) está incluída no segundo membro da Eq.(XI). Portanto, esta expressão é uma solução geral da Eq.(VI). Observe que para encontrar a solução dada pela Eq.(XI) são necessárias duas integrações, uma para ter µ(t) pela Eq.(IX) e outra para determinar y pela Eq.(XI).

Para se determinar o fator integrante µ(t), é necessário ter certeza que a equação diferencial tem exatamente a forma (VI).

Interpretando geometricamente a Eq.(XI) nota-se que ela é de uma família infinita de curvas, uma para cada valor de c. Estas curvas são as curvas integrais da equação diferencial. Muitas vezes é importante selecionar um membro particular da família de curvas integrais, o que se faz pela identificação de u ponto particular (t0, y0) por onde deve passar uma das curvas da solução. Isto se escreve como y(t0) = y0, e é conhecida como uma condição inicial.

Exemplo

Determinar o valor de y0 para o qual a solução do problema de valor inicial permaneça finita quando t → ∞. Dado:

y’ –y = 1 + 3sent, y(0) = y0 Inicialmente determinamos o fator integrante:

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Agora multiplicando todos os termos da equação pelo fator integrante temos: tttyttyt sen3)exp()exp()exp()(')exp( −+−=−−−

Identificando o lado esquerdo da equação como sendo a derivada do produto e integrando ambos os lados temos:

tytd sen)exp(3)exp())()(exp( , sendo c uma constante.

Dividindo ambos os lados por exp(-t), temos:

Como nossa condição inicial é y(0) = y0, substituindo t por zero na equação acima temos:

que a solução do problema permaneça finita, devemos igualar o termo multiplicativo da exponencial a zero, tendo assim:

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Aplicações das equações lineares de primeira ordem

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