Greyce N. Schroeder, Danúbia B. Espíndola, Vinícius M. de Oliveira

Fundação Universidade Federal do Rio Grande - FURG

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Resumo. Este trabalho apresenta as modelagens cinemática e dinâmica de um robô móvel omnidirecional desenvolvido para jogar futebol. O objetivo e desenvolver os modelos matemáticos deste protótipo com a finalidade de se projetar leis de controle para estes robôs. Tais sistemas facilitam o projeto de controle, permitindo simular computacionalmente o robô, a fim de se analisar o comportamento do robô quando sob a ação da lei de controle projetada.

Palavras-chave: robôs móveis omnidirecionais, modelagem dinâmica, controle

1. INTRODUÇÃO

Um robô autônomo é um sistema mecânico versátil que sente de forma autônoma o seu ambiente e interage com ele através dos atuadores e sensores. As tarefas executadas no seu espaço de trabalho são controladas por computador, sendo sua principal característica a conexão inteligente entre a percepção e a ação. Entende-se inteligência como a capacidade do robô adaptar-se às mudanças que ocorrem no seu ambiente de trabalho, diferindo bastante de robôs manipuladores, presentes em linhas de montagem de automóveis por exemplo, como em Oliveira [1].

Robôs móveis são robôs dotados de um sistema de locomoção que os torna capazes de navegar através do seu ambiente de trabalho, interagindo com este ambiente na realização de tarefas pelo uso de recursos próprios de sensoreamento e tomada de decisão. Neste estudo iremos nos deter em robôs móveis omnidirecionais, mais especificamente nos protótipos desenvolvidos no projeto FurgBol [2].

A importância do estudo de tais sistemas se apresenta. a priori, como uma atividade sem grandes aplicações. Entretanto, os conhecimentos adquiridos podem ser utilizados em uma grande quantidade de aplicações importantes para a sociedade, como automação de cadeiras de rodas para pessoas portadoras de necessidades especiais, automação do fluxo de veículos em auto-estradas, entre outras.

Logo nosso objetivo é estudar aspectos de modelagem cinemática e dinâmica desse tipo de robô, e com base nos resultados deste estudo ter a base para desenvolver soluções para problemas de controle de sistemas moveis.

2. DESCRIÇÃO DO ROBÔ

Um robô móvel omnidirecional tem mobilidade completa no plano, ou seja, pode se movimentar em qualquer direção sem a necessidade de se reorientar. Tal mobilidade não acontece nos robôs mais comuns, com duas rodas, onde para se locomover numa dada direção é necessário que o robô esteja apontando naquela direção.

Robôs omnidirecionais, aplicados ao futebol de robôs (RoboCup [3]), foram utilizados inicialmente pelo time da Cornell University, nos Estados Unidos. Esse tipo de movimento apresenta como vantagem a maior facilidade de deslocamento no campo, resultando em maior agilidade. Se o robô possuir algum tipo de dispositivo de chute, é possível mover o robô ao mesmo tempo que mantém o dispositivo apontando para a bola ou para o gol adversário. A maior desvantagem é a complexidade no controle e coordenação de motores.

Figura 1 ilustra o protótipo do robô no qual se baseia o presente artigo.

Figura 1. Protótipo FurgBol.

A omnidirecionalidade no robô

Furgbol é obtida através do controle individual de três rodas na base do robô, como em Carter et al [4]. Estas rodas estão distribuídas seguindo a Fig. 2.

Figura 2. Estrutura da base do robô.

Nota-se que pela combinação vetorial da força aplicada por cada roda pode-se compor um vetor velocidade resultante e uma velocidade angular. Assim, controlando-se individualmente cada motor, é possível movimentar o corpo em qualquer direção e sentido.

Porém, o uso de rodas comuns, em forma de disco, geraria um excessivo atrito, já que as rodas nem sempre movimentam-se na sua direção normal de giro. Para minimizar este problema, utiliza-se rodas especiais com dois graus de liberdade, como na Fig. 3.

Figura 3. Roda omnidirecional.

Os robôs do nosso estudo são feitos de uma estrutura rígida com rodas não deformáveis que se movem num plano horizontal. A posição do robô pode ser descrita em termos de 2 coordenadas x, y do ponto P (que faz parte da estrutura de locomoção) e, pela ângulo de orientação ϕ da estrutura de locomoção, ambos num sistema de coordenadas com origem em O. então, a postura do robô é dada por um vetor (3x1):

= ϑ ξ y x e a matriz de rotação que expressa a orientação do sistema de referencia fixo à base do robô em relação ao sistema de referencia inercial é:

ϑ sin sin R

Para as rodas omnidirecionais, somente uma componente da velocidade do ponto de contato da roda com o solo é suposto ser igual a zero ao longo da locomoção. A direção da componente zero da velocidade é, a priori arbitrária, mas é fixa com a respectiva orientação da roda.

3. MODELOS CINEMÁTICO E DINÂMICO

A seguir desenvolve-se os modelos cinemático e dinâmico para o robô móvel apresentado na Fig. 1.

O modelo cinemático relaciona deslocamento, velocidade, aceleração e tempo, sem se preocupar com a causa do movimento. Já o modelo dinâmico relaciona as forças generalizadas provida aos atuadores, considerando a energia aplicada ao sistema (de Wit et alii [5]).

3.1 Modelo Cinemático de postura

O modelo cinemático de postura é definido como:

sendo η1 e η2 as componentes de velocidade de Xm, Ym, e η3 é a velocidade angular do robô.

O modelo cinemático de robôs omnidirecionas, tendo o ponto P e o eixo Xm, e Ym que podem ser selecionados arbitrariamente, é então:

0cossin 0sincosy

3.1 Modelo Dinâmico

O modelo dinâmico é o modelo mais geral de espaço de estados, dando uma completa descrição do sistema dinâmico incluindo as forças generalizadas provida dos atuadores.

O modelo dinâmico do espaço de estados de robôs moveis descreve as relações dinâmicas entre as coordenadas de configuração ξ, ϕ e os torques desenvolvidos pelos atuadores. Os torques providos pelos atuadores são denotados por τϕ para a rotação das rodas. Para a determinação do modelo dinâmico adotou-se o formalismo de Euler- Lagrange, visto que é simples e de fácil desenvolvimento das equações., apresentado a seguir:

onde L e o Lagrangeano do sistema, dado pela diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema. O termo ∑Q é o somatório dos esforços externos ou não conservativos e q são as coordenadas generalizadas de configuração, dadas por:

A energia cinética é constituída pela energia cinética da base e de cada uma das rodas. Por definição das regras do futebol de robôs, o campo de jogo localiza-se num mesmo plano horizontal, implicando em energia potencial igual a todo o robô, podendo esta ser considerada nula.

A energia cinética total do robô, como apresentado em [5], pode ser expressa por:

Aplicando o formalismo de Euler-

Lagrange obtém-se o modelo dinâmico como segue:

(1) onde:

(12) EIEMH t ϕ+= sendo a matriz M uma matriz diagonal contendo a massa da base e dos motores e I uma matriz diagonal com a inércia do motor.

De modo mais compacto tem-se:

sendo u = η e τ0 os torques motores aplicados a cada uma das rodas.

4. SIMULAÇÕES

Ainda em fase inicial, foram realizadas algumas simulações com o auxilio do computador para validação do modelo dinâmico desenvolvido.

Para isso, utilizou-se uma linearização por realimentação estática de estado, a fim de facilitar o projeto da lei de controle por torque computado (Oliveira et alii [6]). Sendo o modelo dinâmico descrito pelas equações (13) e (14) obtém-se a seguinte realimentação linearizante [5]:

Substituindo a eq. (15) no sistema (13) e (14) resulta:

Para demonstrar a validade do modelo dinâmico desenvolvido, utliza-se a seguinte lei de controle:

(18) sendo r~ξξξ−= e, (1Λ e 2Λ) são matrizes diagonais positivas definidas.

A seguir serão mostrados os resultados obtidos em duas simulações distintas. Na Fig. 4 tem-se a estabilização do robô a um ponto fixo e na Fig. 5 os torques exercidos pelos motores referentes a essa simulação.

Figura 4. Trajetória realizada para estabilização num ponto.

Figura 5. Torques aplicados pelos motores.

Figura 6. Trajetória realizada para seguimento da referência.

Já a Fig. 6 mstra o robô seguindo uma trajetória de referência e, na Fig. 7, os torques fornecidos pelos motores para o acompanhamento da referência.

Figura 7. Torques aplicados pelos motores.

5. CONCLUSÃO

O trabalho desenvolvido, ainda em fase inicial, mostra-se bem sucedido, uma vez que gerou-se os modelos cinemáticos e dinâmicos para a classe de robôs móveis omnidirecionais e, através dos resultados mostrados, pode-se verificar a corretude de tais modelos.

Como continuidade desse projeto tem-se o levantamento dos parâmetros dinâmicos do robô real, uma vez que os valores utilizados foram aproximações inexatas, meramente para validação das equações. Uma vez levantados os valores corretos de tais parâmetros, pretende-se projetar diferentes leis de controle e testá-las no protótipo, com o intuito de se obter um comportamento previsível por parte do robô.

Alem disso, uma vez conhecendo-se o exato modelo do robô, torna-se menos difícil a tarefa de interação entre os vários robôs que compõem a equipe.

6. REFERÊNCIAS

[1] V. M. de Oliveira, “T´ccnicas de Controle de Robôs Móveis”. Dissertação de mestrado, DAS/UFSC, fevereiro de 2001.

[2] FurgBol. http://www.e.furg.br/furgbol

[3] Robocup. http://www.robocup.org

[4] B. Carter et al., “Mechanical Design and Modelling of an Omni-directional RoboCup Player” in Proceedings RoboCup 2001 International Symposium, Seattle – WA.

[5] C. C. de Wit, B. Siciliano and G. Bastin, Theory of Robot Control, Springer-Verlag, 1997.

[6] V. M. de Oliveira, W. F. Lages and E. R. de Pieri, “Neural Networks in the Control of a Mobile Platform” in Proceedings of the 6th IFAC Symposium on Robot Control, 2000, Vienna – Austria, p. 181-186.

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