Ejercicios de ecuaciones diferenciales basado en el libro de Zill que he encontrado por internet, Ejercicios de Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos

¡Descarga Ejercicios de ecuaciones diferenciales basado en el libro de Zill que he encontrado por internet y más Ejercicios en PDF de Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos solo en Docsity! Ejercicios 1.1 En los problemas 1 a 10, diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no lineales. Indique el orden de cada ecuación: En los problemas 11 a 40, verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Donde sea apropiado, c1 y c2 son constantes. 17. y+py+=senx y = sena cosa + 100 Solución: Yey=senx => y yosenx=0 (a) -1 Ll . y= 3senx 3 0osx+l0e ,. => y = Qeos + Esen 11087 (2) Susttuyendo (1) y (2) en (4), se obtiene Epi loe x- 109 +hpena— Eooóa + Met cen =0 Ssenr—senx=0 13. 29d1+ (42d =0, Pythym0, Solución: 2 2 dy NS IES +2yr3 70 (4) x Yy+y=a 0, dy dy de dy dy 2 iy), Sly y 05 lag a+ Ó=0 q IIS A Pai dy 2ay so Y p dx +2y 2) Sustituyendo (2) en (+), se obtiene: 2ay 20 + (a? + 2y) La )0=29-29=0 19. a2dy + 2aydx 0, y Xx Solución: ey rizos 0 (e) lx 1 =-5 (1 ro $ 2 E 2 Sustituyendo (1) y (2) en (4), se obhiene E 0, Xx x x x 10. (tp yl Solución: Mira y 2 tag (8 »=x+1 (0D, 2 y-1(0 Sustituyendo (2) en (4), se obtiene (1 +xD-(r+D)=0 8 1+2-x-1=0, 11 = 29 0% y =0[x+2) Solución: y= 29 y la 0 =0 (2) 1 y = a (1+h0,) (), A -2 => 2 Sustituyendo (2) en (4), se obtiene: 2 a 2 A A ML Ll A ? 2253) o 55) BI pra (>) o Sustituyendo (1) en (3), se obtiene: Lt xp =D Sy y=0. y » y yy My =2 Lo: >= xx] Solución: == y-2 bh =0 (2) xosixz0 »=x(x/= cd, = six<0 > J2x sixz0 all (2) = =2lx ? —2x six<Ú Sustituyendo (2) en (4), se obtiene: 2|x|- 2,/fx]x] =0=2|:]-2,[+] =0 2 ]- 24417 = 0 2|x)- 2|x]=0 yo ly=1 y=xihx,x>0 x Solución: e] , yolo=1 yo 1=0 (9) x x y=xlax (1, => »=lx+1 ( Sustituyendo (2) en (4), se obtiene: nario nia 0 dp aca 24. LE Pra or po HE ql OREA PS a Solución: d._ _ dPp_ _ _ E Padre Em Pla=bPI=0 > (9) acjant <= 1+bc pp Mm acjetil+do et) —ac ette ant App E > E — — z 2 EN sE 2 di (+ beat) le beat) 1+bc,0 Sustituyendo (1) y (2) en (4), se obtiene A aboet y ap 1+á0 0% 1+b0 0% ap Tebo a+abojet - abeja o 1+a0 0 c— aP ap a => =P ==> - = 1+ he (mia) l+bejo 14 boot 18. ye y lly= 0) p= eje +ejo Solución PHy1l2y=0 (a) y= ae” +ojoó" Dd, => y=3ee" det 12, > p»=d "+16" (3) Sustitiuyendo (1), (2) y (6) en (a), se obtiene tx Yee + 1600 4 300% — dejo 1H ea +00) =0, E E E o 29. y"-6y'+13y=0, y=e*coslx Solución vo by+ly=0 (1) y=9% cosza (1), = w=3cos2a—2e*sen2x (2. => yU=d0 cos2x— 60 senla—6e senda de*cos2a=3e" cos2x-12e*sen2x (A Sustituyendo (1), (2) y (2) en (a), se obtiene: 5y3* cos2x-1287 sen2x—6/30% cos2xr—-20* sen2r]+130*cos27= D, => 5 cosdr-12e"sen2r-18e*cos21+1%8 "sendr+ 13” cosir=0, = 182% cos2x-180*cos21+12 "sendx- 120 *sen2x=0 dy dy 2 2 30. qn 4H =0, y=0 dat Solución dy dy EY 42 4y=0 A (a) =D, = Dr e (2. x qe Sa 604 207 y 4x0 80 da Xx Sustituyendo (1), (2) y (2) en (+), se obtiene: Ba?” +4x04* —4/30%* +2x02* +4 [02* +x92* ¡=0, > = 30" 44107? 120% —Bx0" +40 +4x0* =05 1207-1207 48207 -Bx0%* =0 31. Y= y, y=cosha+senhax Solución Y=ySyy=0 (2) y=coshr+sembbx (1), > y =coshx+senhx, => y "=cosha+senhx (2), Sustituyendo (1) y (2) en (a), se obtiene: coshia+senha—(coshx+senhx)=0. 32, y425y=0, »=0,cosóx Solución y+25y=0 (1) y=ejcosóx (1), > y =-50sendx, => y "=-25e,cosóx (2) Sustituyendo (1) y (2) en (4), se obtiene: - 250,c00557+ 250, cosóx= 0. 33. "+ (9 =0, y =lalx+c +0) Solución +Q=0 (a) >= Infr+c +2), 1 > '= 1 "= dd 0 1 = => 0 (x+c) Sustituyendo (1) y (2) en (a), se obtiene: 2 A -+| 1 ] -06- 1 + l 7=Ú (x+ej) la+er! (x+c) 34d. y + y=tanx, y =—cosxlnfseci+tana] Solución => > ey =tan Sy + yo tanx=Ú0 (2) y =-cosalnpecxs+ tan al 1D. 1 —_——_— (secxtanx+secixi, seca+tanx y =senximfsecx+tanx|-cosx cosxsecxltanx+esecx) y'=senxinfecx+tanx|- =senxinjleecx+tanx—1, (seca+tana! secxtanx+sec'x secia+tana secxítanx+seca) seci+tana y=- cosxinjsecx+tana]+senx y= cosxIn|secx+tana]+senx =cosxlnjsecx+tanx] +senxsecx, senx = cosxlnjseci+tana 22, cOSsx . 1 y = cosxlnjsecx+tanaj+senz cosXx y= cosxIn|secx+tanx]+tanx (2) Sustituyendo (1) y (2) en (a), se obtiene: cosalnjseca+tana]+tanz—cosaln|seca+tand] =tan=Ú0, Py dy > 35 id y=e teja, 0 Solución y, de +2=0 a dx (2) y=0e teja”, dy Z => A (D, Py -3 => qa str (2) Sustituyendo (1) y (2) en (+), se obtiene Alley + e 0 deja? — Beja  Ejercicios 1.2 En los problemas 1 a 10, determine una región del plano xy para la cual la ecuación diferencial dada tenga una solución única que pase por un punto (xo, yo) en la región. d 2 al Solución: Pe dx (0 EI De (1) se deduce que JAN= Je Fescontimasixs0e y 20, obien,x20 e y20 Y_ A 2d Conclusión: el problema con valor inicial (1) tiene una única solución en af /0y es coninuaenxZÚ0 e p<0, obien,x=Ú0 e y>Ú x20e y>0 obien,x20 e »<0, esto es, para cada punto (xy ,Yp) en el primer y tercer cuadrantes del plano cartesiano, existe un intervalo centrado en x, en el cual (1) tiene una solución única a 3. 1—= ta? Solución: dy _ dr _Y o gp) De (1) se deduce que: MA = 2 Fes continua six+Ó F_1 df 1dy es continua en si x+Ú Y ox Conclusión: para cualquier intervalo, centrado en xy, existe una solución única para (1) si el punto (xy *p) pertenece al semiplano x <0 ¿bien al semiplano x >Ú dy 4 —-yp= rÓS Solución de dy HS + a IT RR Ed De (1) se deduce que Hay) =x+y: f es continua en la totalidad del plano xv. Y =1: Of /dy es continua en la totalidad del plano 292 Ed Conclusión: para cada punto (1, 4, ) del plano qy existe una única solución de (1) 5. (4-9 =x0 Solución: (ty) = 0d S y'= (0) 0) De (1) se deduce que: 2 2 HaAN= 7 EJER £ es discontinua en (—2, 2). 2 z = a Of 10 es discontinua en — 2 yen 2 Conclusión: por cada punto (Xp, ) que se encuentre en alguna de las regiones yo-2,6 eny>2 óen -2<y<2 pasauna solución única del problema con valor inicial (1) 6. (ley =x Solución: 2 rs oy= E dy "RL 0) De (1) se deduce que 2 Hr) = 1? F es discontinua en —1 2,2 Y__HY Ol óy es discontinua en —1 Y (+5 Conclusión: por cada punto (x,,»p) que se encuentre en alguna de las regiones y<-Ló enp>-1 pasauna solución única del problema (1) Ta yy = y Solución: 2 , Y Canas Sy Pr? 0 Ego) De (1) se deduce que: 2 IOAA=—= Y F es continua en todo el plano, excepto en el punto (0, 0) Y 2 F = BY 2710 continua en todo el plano, excepto en el punto (0, 0) Y (say) Conclusión: existe una solución única del problema con val or inicial (1) en cualquier región del plano ay a no contenga el punto (0, 0) 13. (19 Solución: y= y? > m AD =4 De (1) se deduce que TIN= y =3: f es continua si y pertenece al intervalo (— 00,3] ó al intervalo [3009 (2) Y_ Y a — es continua si y pertenece al intervalo (—00,-3) ó al intervalo (3,00) (3) Y ips Y El punto (1,4) pertenece ala región definida por y > 3, por lo que de acuerdo con (2) y (3), el teorema 1.1 garantiza que el problema con valor inicial (1) tiene solución única. 14. (5,3 Solución: y =p >) o 45 =3 De (1) se deduce que HERO yo -3: f es continua si y pertenece al intervalo (—00,-3] 6 al intervalo [3,00) (2) F = Y + es continua sí y pertenece al intervalo (—00,—3) ú al intervalo (3,0) (3) Y y > El punto (3,3) no pertenece a ninguna de las regiones definidas por y <—-3 ó y» > 3, por lo tanto el teorem no garantiza la existencia de una solución del problema con valor inicial (1) 15. (2,-3). Solución: es m 1d==3 De (1) se deduce que TI= y =9: f es continua si y pertenece al intervalo (— 00,3] ó al intervalo [3,00) (2) Y__ Y a — es continua sí y pertenece al intervalo (—00,-3) ó al intervalo 3,0) (5) Y ips Y El punto (2,—3) no pertenece aninguna de las regiones definidas por y 2-3 ó y >3, por lo tanto el teorema 1.1 no garantiza la existencia de una solución del problema con valor inicial (1) 16. (-1, 1). Solución: y =p >) m »+ED=1 De (1) se deduce que: FA) = yo = 9: f es continua sí y pertenece al intervalo (—c0,-3] ó al intervalo [3,09 (2) y = 2 y es continua sí y pertenece al intervalo (—c0,—3) 6 al intervalo (3,00) (3) Y r-9 El punto (1, l) no pertenece aninguna de las regiones definidas por y 2-3 6 y >3, porlotanto el teorema 1.1 no garantiza la existencia de una solución del problema con valor inicial (1) 17. a) Determine por inspección una familia monoparamétrica de soluciones de la ecuación diferen cial ay '= y. Compruebe que cada miembro de la familia sea una solución del problema de valor inicial a = y», 0) =0 bi Explique la parte a) determinando la región A del plano xy, para la que la ecuación diferencial xy" tenga solución única que pase por un punto (xq ,%p) de E 2) Compruebe que la función definida por tramos _ 0 six<ÓÚO > E sa xz0 satisfaga la condición y(0) = 0. Determine si la función también es una solución del problema de y inicial en la parte a) Solución: y =y Sy? 0 aj La solución general de la ecuación diferencial (1), es »=c0x (2 bi De (1), se ene que Fam = 2 F es continua en E — (0) 3 Sl y es continua en R— (07 y ox > De tal modo que el problema de valor inicial y= z — Jtiene un solución única que pasa por el punto (Xy, »p) si dicho punto se [halla en uno de los semiplanos definidos porx=<0óx>0 (20:20) Ejercicios 1.3 1. Con base en las hipótesis del modelo de la ecuación dP/di= AP, determine una ecuación diferencial que describa la población, P(£), de un país, cuando se permite una inmigración de tasa constante r. Solución: Sea P(): población del país en el tiempo £ (£ en años) - rapidez de cambio de la población k: constante de proporcionalidad r: población que ingresa al país anualmente en forma constante Bajo la hipótesis de que la razón de cambio de la población en cuakqui er instante £ es proporcional a la cantidad de población presente en ese instante, la ecuación diferencial asociada a este fenómeno es dP q Pr 3. Una medicina se inyecta en el torrente sanguíneo de un paciente a un flujo constante de r g/s. Al mism tiempo, esamedicina desaparece con una razón proporcional ala cantidad x(£) presente en cual quier morr £. Formule una ecuación diferencial que describa la cantidad 16) Solución x(D): cantidad de medicina, en gfs, en el torrente sanguíneo en el tiempo £ (£ en segundos) r: cantidad constante de medicina que ingresa al torrente sanguineo del paciente continuamente 2 rapidez con la que varía la cantidad de medicina en el torrente sanguíneo del paciente ko constante de proporcionalidad, k >0 Suponiendo que la cantidad de medicina disminuye proporcionalmente ala cantidad presente en cualquier instante de tiempo £, la ED que describe esta situación es dx qt  Ejercicios 2.1(a) Nota: la mayoría de las soluciones de las integrales (o similares) que aparecen en los siguientes ejercicios se encuentran en la página Cálculo integral en el apartado "Técnicas de integración", bien en los ejercicios resueltos de la sección correspondiente o bien en alguna de las misceláneas de ejercicios de ese apartado. En este momento del proceso de aprendizaje de los métodos de solución de ecuaciones diferenciales es aconsejable que se dedique algún tiempo a repasar los métodos de integración. En los problemas 1-40, resuelva la ecuación diferencial dada, por separación de variables. 3. dx+e"dy=0 Solución: dx+e* dy ==> dy =-da > dy =-2e TS (separando variables), => Ídy= - ¡dx (aplicando la integral en ambos miembros), > ye +a] (integrando), ye le=—=c). d drid =0 Solución: dead =0 6 add = da e dy = dx (separando variables), > a» = (dx laplicando la integral en ambos miembros); 1 y=tal+o=Í e (integrando) x 5 y x+6 dx Solución x+6 od dy dx (separando vanables), la +1 r cx+ó => lav=]| == dx (aplicando la integral en ambos miembros), . “xx => ¡dy= pS = (E )ar- ¡E (separando fracciones), " - x+ “Aa+l o x+1 . +1 y= a+5tnlx+l+0 (integrando). so Do dx Solución: a - e* = =2x 5 dy =2xe “dx (separando variables), lx > ¡dy = [2xe "dx (aplicando la integral en ambos miembros); y= 2x0 *-2e*+e (integrando). Ta =dy Solución: ==> 2 => vd =4x7ldx (separando variables), IX => ¡yidy = [axTar (aplicando la integral en ambos miembros), > iny=4nx+4nc, (integrando), => 1ny =4 da x+1nc) Sn y =4inc,x S ln y = Inte ó 2yr- (00% Sy =0 1%, »=aó dy 3. + 2xy=0 dx id Solución: 2 tz =0> 2 =-2ay => y dy = -2xdx (separando variables), lx lx = ay = | -2adx (aplicando la integral en ambos miembros), => ln y = e +e, (integrando), =y? - y2 => raya - 12 1 y=ce ”, le=e%] y > 7 == dx Solución: a 3 e = 2 => ode =x% dx (separando variables), ES = ¡yidy = ¡x*dx (aplicando la integral en ambos miembros), 1. - => 3 2 =—x Me (integrando), = y? = 247 - 201 alo. o , y =2x te (0 = 261) 16. (++ dr pda Solución: rado do y ro y dr o (0 rad = 3 2 2 1+ y? 1 2 Mr da O Y =; 7 dx (separando variables), y +r . a . > | y dy=| eS dx (aplicando la integral en ambos miembros de laigual dad), “oy ¿l+x > (a+ - 5 ¿li y yo tante (integrando); 7 «1+x yoyo =tanlx+e 17. 2y(x+ Didy = 2dx Solución: 2x4 Dd» = xdx e 2ydy = a (separando variables), x+ > [2dy = ¡A faplicando la integral en ambos miembros de la igualdad), , ¿a+ ”=x - ln |» +l+e (integrando) 13.094 = (9 + Dex Solución: 2 dy = (+ Dd sE o- ar (separando variables), y o => pl *y+l dy= (x“dndx (aplicando la integral en ambos miembros de laigualdad), => ¡(> Jo> ¡a “dxdx, y+l e Py Halle (integrando)  2 19. yln 2-22) dy x Solución 2 2 2 yn E = (23) Si ln 1dx= Y ay su y =x4lnxdx (separando variables), py x y y - 2 , = | +1 dy= | 4 ln xdx (aplicando la integral en ambos miembros de la igualdad), oy A rd +1 [,2 ¡ 1 ES a |“ days | nido | y+2+ 97 dy = | 10 ln xx, . y , ñ A e + 2y +n lr] = e Inx e +e (integrando). 2 20. de _ 2y+3 de Nx dx+5 Solución: 2 225) Ss Y - _E_ (separando variables), da 1 4x+5 (+3 (Ax+5) co dy co dx ci re (aplicando la integral en ambos miembros de laxgualdad), «Ey + (4x +5) > Laya art le integrando); 2 4 3 2297 = ar + < ds _ 11. —=48 dr Solución: Sa SE = hdr [separando variables), de z > BS = lkadr (aplicando la integral en ambos miembros de laigualdad); > ln Ej =b+03S5= ¿A es go gg (integrando): Seco? 22. e. a FR Solución: Eg 10) + Eta (separando variables), (_ de . => lam”) [ide nto 70) = te (integrando), > pm" Sp=eet 270, Q=ce "+70 1 Popopo de Solución 1 1 =- 7 Pa- TA > nt : , , > > dp _ =2+ ls A1-P)+BP | 3= (az PP PO 1-P CS Sls d-dAP+BP o 1 AB > ¡(2 jaja A=1 AP AP B-A=0 => InP-In(1-P)=t+0, B=1 > Inte, 1,1 Pe Pp 1-P =>» E 1-2 => ce SP=(1-Pie SP=ce' —- Poo” > P+Pos" =08 S Pil+oe)=ce P= ce 19 Td Td =0 Solución: , x (e? eva 0 ad a lx (separando variables), (_ e A tera dor pa, do dr 2 pr 1 1 ly dy lay? te” +1 = ple +1 +50 S le +17 -(e*+1 =30 4D 24 sc, 22 2 2,142 30. y Sa 47244 y) Sea, 29. draga Saro aaa (separando variables), > lua 5 aór E | [d+ 2ydy = [a+ A ad, => [rr aay= [dry 2ada > Ar A 4 e SA (140 4, ey ea =2 d 31. 0 mn pr? Solución: SÍ pan Srl ad = (Dd z dy= 1 dx (separando variabl de GD? (-a%) po y | dy = dx (a poda Integración del miembro izquierdo de (a) oy | dh Ae sea 3=y»+l => du=dy, y y=u-1 asi di = [Eto = [Lata > fut = ta += In yet a + al O Integración del miembro derecho de (a) co 1 : | dl as z sea A x=semnó, => dx=cosgde  2.1(b) En los problemas 41-48, resuelva las ecuaciones diferenciales dadas sujetas a la condición inicial que se indica. Al. (27 +Dsenadx=(1+cosx)d», y00) =0 0=0 (1 (27 +Doenadr= (Le cosido > 4 a sl , > [HEEE to +1) ino hal + coa) late” +00 > PvriHt—eoe z 10 l+cosx "Técosx Sustituyendo la condición inicial (1) en la solución general (2), se obtiene: 0z > =£- =£ = cab 121 +1 132 + 165 Susttuyendo (3) en (2), se obtiene la solución particular: A »_= - ? l+cosx 42. (+2 apre dy dr =0, y(1)=0 Solución: »D=0 (1 O ( Id + y ma? ro 1 ox loa loa. 21, a 1,2 a — dy = | diS=tan"2y= tam + tan eS ta 2y=tan 1 +tan Te, EEE q 2 » tan (tanda? |+tanitanTlel a => 2y=taaltantal+ tando) Sp =l esp =l pz. . 2| 1 tanítan* 2%) xtani tan e) 2ll-aóxe 2 x+e =— € aan € Sustituyendo la condición inicial (1) en la solución general (2), se obtiene l+e 0 q 9+=71 a Sustituyendo (3) en (2), se obtiene la solución particular =- ame TEE 3. (Sí +4 yddx + (4x8 y dy =0 Solución: +4 dr + (da Ed = 0 (1) En este caso se tiene Mix) =5x+4y y Muy) =4x-Ey? con am _ MAN aN _ da 89) a y y a 3x esto es am _aN R-=2 0 y a 2) De (2) se concluye que la ecuación (1) es exacta Porlo que existe una función F(x,y) parala que he Y osrray y Lear? 6) d: dy Integrando la primera ecuación en (3) respecto a x Ímanteniendo a y constante), se obtiene: ANO O y Tgualamos a (5) con M(x,y) = 4x- By? 20) =4x-8y, > eta le, > fanN- e taa es A) Por lo tanto, la solución general de la ED (1) es ¿Uta =0é 4. (seny — ysenadda + (cosa + acos y dy =0 Solución: (sen y — senda + (cosx+acosy= Md =0 (1) En este caso se tiene Mí) =seny=ysena y Mix, y) =cosx+xcosp= y con ae _ d(sen y — ysen a) =cosy=senx y áN _ dícosx + xcos y y) = osenrtnosy dr dy dx dx esto es mM _¿N —=— Q E 2) De (2) se concluye que la ecuación (1) es exacta Porlo que existe una función f(x,y) parala que LE sen y= yen y Y mcosx + corp =p 13) Xx y Integrando la primera ecuación en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene: Fxy) = xseny+ycosate( (5, a > y reos tocar zo) (5 lgualamos a (5) con Mx, y) = 005 x+ xc05)P 0 xcogp +cosx+ glp) = osx + xc08 Py O gl) =-,, 1 >= gm-= 3" (0 > FAN = rseny + cosa y ((6) en (17 Por lo tanto, la solución general de la ED (1) es la XSen y + aos qye 5. (yx 2d + (2 + dy =0 Solución: (aaa = 0 (1) En este caso se tiene Mix) =2ytx-3 y My) = 2 +4 con am _ dx 3) an _ Mya +4) == =4 == =4 y dy Y Ya E > esto es mM _¿N == Q y a 2) De (2) se concluye que la ecuación (1) es exacta, porlo que existe una función f(x, para la que Yolat Y lo? E ir 3 y v 2 +4 (5) Integrando la primera ecuación en (3) respecto a x Ímanteniendo a y constante), se obtiene: N= 30 3 gl 0, O y Igualamos a (5) con Mx, y) = 2yx* +4 2 DNA, > 8g00=4y (6) > fa td (6 en (1) Por lo tanto, la solución general de la ED (1) es y -3x+4dy=e 26. (e + 0d (2 xt ed = 0 0) =1 Solución: (+ ydr+ (tar ye dy =0 (1) 0-1 (2 La ecuación (1) es de la forma M(x,y)dx + Mix, y)dy =0; con: Mayn-=e +y y May-=2+x+ye? por lo que dm _ aN _ MM _W > 7 1) esto es 7 (2 De (2) se concluye que la ecuación (1) es exacta; porlo que existe una función (x.y) para la que af y a TO tY y y 3 Integrando la primera ecuación en (3) respecto a x ímanteniendo a y constante), se obtiene: Hrn=e to tgo EL Dr 0 Igualamos a (5) con Mix.) = 2+x+ pe”: 2+g y) =2+x +0" S glp) =2+ ye, OS 2 JN taprlytyaeo (ma) Por lo tanto, la solución general de la ED (1) es Prprlytjeo eme (7) Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene: + (OM+20+lel -0 =2S0=2 (8) Por último, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solución particular que contiene al par ordenado (0, 1) eftpr+ 2y + e? — e = 2, 2.2(b) En los problemas 31-34 halle el valor de k de modo que la ecuación diferencial correspondiente sea exacta: 31. (2 + day - 2d + ay + 20 y dy = 0 Solución O + day 2d Gao +20 dy 0 (1 Para que (1) se una ecuación diferencial exacta, debe suceder que el miembro izquierdo corresponda a una diferencial exacta; esto es, que exista una función f(x, y) tal que: z =Mico) => + ka -2x y E = Man = Ba + 207 y Xx y Además, se debe cumplir que dy + kxp* 220 _4N_ Ia +20 y?) en dy dx dx z > 3y* +4kxy? =3y? +40x S4k=40 8 =10. 32. (2x- ysenay + hy )dx — (20xy* + xsenaddy = 0 Solución. (2x- ysenay + dx (20% + xasenxdy =0 (1) Para que (1) se una ecuación diferencial exacta, debe suceder que el miembro izquierdo corresponda a una diferencial exacta; esto es, que exista una función f(x, y) tal que: Y =Míx) =2x-ysenxptd y Y = Nix.) = -(20xp? + xsenxy) Xx y Además, se debe cumplir que _8(2x- ysenap tig) an _ 04 20xy* —asenay) y dy dr dx > sen — yesos ay + di =-20y 7 — sena xycosay e de=-20 5 k=-5 33. (lay? + pe dari2adyo + de? Dady =0 Solución Lay + pda aye? Dd 0 (1) Para que (1) se una ecuación diferencial exacta, debe suceder que el miembro izquierdo corresponda a una diferencial exacta; esto es, que exista una función f(x,y) tal que ar óx Además, se debe cumplir que M_ dla + ya) IN M2lady + ke" 1) dy dy dx dx => Axyre? =dxiytite Ste? = te Sh=1 My) =2ar tr ye? y >" Ny) = 2d + be" 1 Ejercicio 2.3 En los problemas 1 a 40, determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Especifique un intervalo en el cual esté definida la solución general. Nota: las soluciones, paso a paso, de las integrales (o de formas equivalentes) que surgen en los siguientes ejercicios las pueden hallar en mi página "Cálculo integral" en la sección correspondiente. de 1. de Sy Solución dy _ Loy? 5y=0 (1) La (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden: Day = El), con pla)=-= x de tal modo que el factor integrante es O O ig” 5, Ó (multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2)) ( Como el miembro izquierdo en (3) es el desarrollo de la derivada del producto e**y, se tien (ay = Ss "y=e (integrando ambos miembros de la ecuación]; y=c0* (multiplicando cada lado de la ecuación por ep (4) Los coeficientes de (1) son funciones constantes, esto es, continuas en todo x€lR, y de (4), se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y su intervalo de solución es: y=ce", xe(-0, 0) dy 3x 5. —+y= da Solución dy 3x +ty= 1 aye Dd La (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden: ta =8(00, con pix =1 de x modo que el factor integrante es: Mx) =espfdx=s" (2) yrety =¿% (multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2)) (3) Como el miembro izquierdo en (3) es el desarrollo de la derivada del producto e”, se tiene (eyl=e? Sey - 0% te (integrando ambos miembros de la ecuación); =x y q +os (multiplicando cada lado de la ecuación por e] (4) Como,p(13=1: domp=K y glx) =p? : dorg = IR; los coeficientes son continuos en todo xElR; y de (4), se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y su intervalc de solución es »- jo teo *, ref. 0) 8. +2 =xe Solución lay = xo (1) La (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden: y + pl y= glx), con pla)=2x, de tal modo que el factor integrante es r 2 MGx) = exp | 2adx =e* (2 Multiplicamos cada término de (1) por el factor integrante (2): 2 2 2 e? pr 2xpe” = 49? (3 2 Como el miembro izquierdo en (3) es el desarrollo de la derivada del producto e* y, se tiem 2 a 2 2 y le" y] =ad8? sy tl 1) (integrando ambos miembros de la ecuación]; A 2 y 20 =1|+c087 multiplicando cada término de la ecuación pore * | (4) Como, pa) =2x: domp = KM y g(0=x: domg =M; los coeficientes son continuos en todo xElR, y de (4), se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y su intervalo de solución es: e y=z ld 1) +ce "o ael=o mm, 23. cos* xsenxdy + (cos x— Tdx=0 Solución 3 de, cosóx _ 1 =0, cos? asenady + (9005 ada =0 > SK 3 X cos" xsenx Cos Asenz a d PY, 195%, - - ce. dx senx costrsenx dx La (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden: y + py = gl), con pla) =cotx; de tal modo que el factor integrante es: > (cotx)» =secéxcscx (1) HA) = exp [cotxax cea ena (2 Multiplicamos cada término de (1) por el factor integrante (2): sen +(cosx)y=sectx (3) dx Como el miembro izquierdo en (3) es el desarrollo de la derivada del producto ysena, se tie (yseenaAl =secdta O yeena=tana+ O (integrando ambos miembros de la ecuación); y =secitCcscox imultiplicando cada término de la ecuación por cscxi (4) Como, p(x) =cotx: domp=R-(km), ke y ela) =secrcsca: doma = Rd, Fea, ke Z, ELA 2 se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y un intervalo de solución es los coeficientes son continuos en todo x€lR excepto en los x= pe, Er, ke £; y de (4), y=secxicscitCosox, rel(0, 712) 29. ydx- Aa + y dy =0 Solución: ydx Aa y dy > 0 e tamay! 0 o amay? (0 La (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden: x+ p(y)x= g0), con p(y)= E de tal modo que el factor integrante es 400 = exp | hay 000 7 (2) Multiplicamos cada término de (1) por el factor integrante (2) tay 0) Como el miembro izquierdo en (3) es el desarrollo de la derivada del producto EA se tien ty = dy syit- 2y* te [integrando ambos miembros de la ecuación): x=2y% +ey* ¡multiplicando cada término de la ecuación por y] (4% Como. ply) = É domp=R-¡0) y g0) =4y*: domg =IR, los cocficientes son continuos ex todo re R-(0); y de (4),se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y ur intervalo de solución es x= 29 +ey", pe(0,0) ar 31 dy »= le dx a +a”? Solución dy _ la? a O La (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden: + py = 860), con pla) =1, de tal modo que el factor integrante es mía) = exp fdx=e* (2) Multiplicamos cada término de (1) por el factor integrante (2): x CA ME EN) Xx (integrando ambos miembros de la ecuación]; x * I+ce” multiplicando cada término de la ecuación pore *] (4 »=e "nie +e” 1-¿2 Como, plaj=1: domp=R y glxi= >: domg=IR, e +e los coeficientes son continuos en todo r1ElR; y de (4), se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y un intervalo de solución es Xx += nie +e*)+oe?, xe (00,00)  En los problemas 51 a 54, obtenga una solución continua para cada ecuación diferencial de modo que, además, la solución obtenida satisfaga la condición inical dada. Emplee una graficadora para trazar la curva solución: dy Ll 05153 SL. 42y=400, F0)= 0) =0 dx D, 1>3 Solución: y FG) es discontinua en x=3 (Fig. 1) 2 Vamos a resolver el problema en los dos intervalos en que está definida la función 1 1) 031753 AA D 1 2 3 4 5 6 dy ar Paty=t pa =2= a0=e%, Eig.0 ' > Ad ay 0 ey) =8%, x > y her too p= oe (1) Sustituyendo y10) = 0 en (1), se obtiene 0= he dos! 0-1 (2) rl A ii x>3 dy dy —+2=0U SS =-2dx, dx y => iny=-2a+eSy=ce "o (4) De (0) y (11) se tiene que la solucion es 121 =i-l 023123 o 2 5) y=ce", x>3 Ahora, con el objeto de que y sea una función continua se deben cumplir los criterios de continuidad, paralo que: . . . - 1 1 _1 1. limo = limita > limos” = lim [3-3 Lec =2-=e”, go > ga 0 ++ 32 2 2 2 => ¿slot 2 (6). Sustituyendo (6) en (5), se obtiene: 2 o =- 30, DZxz3 | (10 1 (ta 5 ,x>3 La curva solución se observa en la (Fig.2)  Ejercicios 2.4 En los problemas 1 a 10, determine si la función dada es homogénea. Si lo es, indique su grado de homogeneidad. En los problemas 11 a 30, resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución apropiada: 12. (x+)dx+xdy=0 Solución: (a+ ddx+xdy=0: ecuación diferencial homogénea de grado uno, > A ES A 24m dx dx x dx x Sea v=2e y=v, x (2) dr _ de = a A A E (sustituyendo (2) en (197 E dx da y ? > de > 2 o 1 2d ¡q at a a => Sin feo +1]=—Infaj= tac S 1nf22+1=-210|x)+1nc SInf22+1 = Ina? +Ine Sin 2041] = 105 x > += (5 x => 2241 = 5 (sustituyendo el valor correspondiente de (2) en (4), A x A A = az lSy=>3 3e y= Lor =x) 2 13. xdx+(9-20)dy =0 Solución: Sea xdx+(y—2x)dy=Ú0: ecuación diferencial homogénea de grado uno, dy dy x dy z de 1 +01 =0SÉ=- sE- estlt=— (1 o ie dx yx dx lay da 2? M x v=2s y=vx, x 2 dy dy A dx r ax de 1 : ver = (sustituyendo (2) en (15), dx 2-v dv _ 1 d_1 2-0 de tl 2-v 1 E= > SA aa 2-v Pdo 2-v vi -2p+1 PEA ¡| a lao ¡222 o lar 2 o fla, «v-2v+1l ES 22 v"—2v+1 vz 2" —-2v+1 + (v-1) ES Amp 20] 10 )p] +0 > Hato 12 = Imjal ro o tmjp=1]- 7 = tnlalo 2 v-1 2 v-1 v-1 — In Pa = ln|x+e (sustituyendo el valor correspondiente de (2) en (33), Xx y 2-1 x > plc ota 4 e llo tape z +e, yor x y-R yx x - In|»-x]= EE SY - Inv -2]= x+ (ade (:—)la|x—»]= x+clx—-») 16. (0 +yadx+ dy =0 Solución: Vé+yodx+addy=0: ecuación diferencial homogénea de grado dos, 2 2 > rar 2-1) -2 1) E dx o dx x x Sea v=%s y=vr x 2) dy _ dv = me vi =p (sustituyendo (2) en (0), de 1 ¡dv (1 (| 1 1 (1 > = dx = =-| dx S | 2-2 (dv =-1-4: e 2 3) vo] A 1 1 1 1 1 +2 => yn bl-3tnjo+ a = ln |x|-inc Sinp+ 2l- ¿Inpl= In|x|+Ine Sin pa in Ex]. => ln ba z = 2inlex|= 10 a = Inte)? nta =(0 (5) 242 > A = (ex? (sustituyendo el valor correspondiente de (2) en (31), + x Y4 2x+ y > A = (0% es —E- = (exy, z X x Xx 2x+ y = (exy? ES di p+x Solución: + “2-1 d FÉ 0 2H Xx Sea v=%o y=vr : a dy dv => mI Susttuyendo (2) en (1), se obtiene de v—l de _v-1 de vol dv Y +1 Ms Ea PT v+1 AECA = pad dr vav dv Aaa + de [E v +1 xl la ld a => NA Es lalo +D+tanlv=-Inx+c, => ln 2ta v+ 2nr=c, (5) Sustituyendo v= 2 en (3), se obtiene: x EN y A y la (2) +1 | > Jura? 2in Za x x x x 2 2 2 + > O cat oran e Xx x Xx 19. — yd + [ata fay ly =0 Solución d+ xfa le =0: ecuación diferencial homogénea de grado uno (1) Sea po ) a > dy=udx+aidu Susttuyendo (2) en (1), se obtiene: —uxdxelx + fax |íudx+ xdu)= 0 -uxdx+|x + ur? | (udx+ xdi) =0, => -uada+l a ads rada + ade) = 05 -usda+ 211 +Hadio sacd + ade) =0, —uda + [14 da lidx+ xd) =0 5 ada + lu +afa ld xl 14 fs [de =0 y E A 12 12 > de lu de = 00 E Já = E fur + Ea. 0, x % Xx Lu x x s > [Es fro a 0 mp2 stop] 0 impar]= 219 +0 a . Xx - y De (2) se deduce que 1 = z (4) Sustuyendo (4) en (3), se obtiene: añ 12 +e =In|y]= 2 2) +0 In] =2 (+0 z) bl-2(3 bi=2 fe 1. 2x2yda= (337 4 y? dy Solución: 2 pax = (3 +y dy: ecuación diferencial homogénea de grado tres (1) Sea oe ; 2 => dy=udxr+xdu 27. (>. xa? Jar xdy=0 Xx Solución: [»+nco? Jas xdv=0*S y +xcot?- x x Sea v=2s y=vx, x ¡en dy dy = LE yr dx r “a Susttuyendo (2) en (1), se obtiene Y os Sy y Hz 1 dx dx m +cot= x A |tanvdv = de lx lx x x => Inísecvi=1n lx] +Inc S In secvi =1Inki]e secv=cx (3) Sustituyendo v= 2 en (3), se obtiene x secíyÍx) = cx 3.1(a) 1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en una razón proporcional ala cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tempo se triplicará y cuadruplicará? Solución Sea P: población de la comunidad en el tiempo £ A: población imeial, eni=0 í: tiempo, en años e: rapidez con la que aumenta la población £k>0: constante de proporcionalidad De tal manera que Paro Edo nP=k 40, SP =00% A=ADM 2) Sustituyendo (2) en (1), se obtiene el valor del constante e: 0) n= Dora (3 PES AO i=5 p=2f, > BAR (Bea, => 2=e* os=l02=S 013863 (6) La función que dá la población en función del tiempo £, se obtiene sustituyendo (6) en (4): P=Pel 13863r 7) = Em Cuando la población se triplica, (7) queda: ; la población se duplicó en cinco años (5), 3R, = Aa 13363 a 3 4013863 9 1386% =1n34= 109861 st-=79 0.13863 Cuando la población se cuadrulica, (7) queda, AR, = RO 3% a y ABI y 13862 = Ind 1 = a e Si=10 Respuesta: la población se triplicará, aproximadamente alos 7.9 años, y se cuadruplicará alos 10 años. 4. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un culkvo crece auna tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especimenes ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? Solución Sea x: cantidad de bacterias en el tiempo £ í: tiempo, en horas %: cantidad inicial de bacterias E rapidez con la que aumenta el + de bacterias en el cultivo k>0: constante de proporcionalidad De tal manera que : lar A o or) ==> Fr=0, de di di => a=c0% (0 Xp = X(0): cantidad inicial de bacterias (en ¿=0) (2) => Xo =00t0 Si=¿ ((2) en (1) y operando) (3), => r=xp0 (Gen (y ¿=3 al cabo de 3 horas hay 400 individuos (5) x=400 => 400=x0t HO 3 1 4 is o 1 00 (5) en (2) (6) Xo Zo 30 Zo ¿=10 o al cabo de 10 horas hay 2000 individuos (7) x=2000 => 2000=xe "sel ola Lia 2000 (Des (0) (8) 0 0 0 Igualemos (6) y (8): 13 1:10 13 1/10 1, 400 _ 1 ¡2000 ¿3 400] 1) [2000 es 4007 [2000 ! 30 10 Xo xo xo xo Xo =In > fa00Y"_f2000Y _ 400% 125x400% 40077. _ 400. _ 400. A yA A 125% 135077 1993235 a xp 8 201 Respuesta: la cantidad inicial de bacterias era de 201 individuos, aproximadamente 11. En un trozo de madera quemada se determinó que el 85,5% de su C-14 se había desintegrado. Determine la edad aproximada de la madera (la vida media del C-14 es de 5600 años). Estos son precisamente los datos que usaron los arqueólogos para fechar los murales prehistóricos en una caverna de Lascaux, Francia. Solución Hipotéticamente el C-14 se desintegra con una rapidez que es proporcional a la cantidad presente en el tiempo £, la ecuación diferencial asociada a este tipo de fenónmenos es AD= Ae, E>0 (1 h- Aja 000r la vida media del C-14 es de 5600 años, 1_,5600k 1 -0.693147 > 3= => 5600 =1912 Se = == S>k=-0.00012378 (2 2? m3 5600 E => AE) = Aj” 000123787 (3) Como ya se ha desintegrado el 85.5% del C-14, resta por desintegrarse el 14.5% del C-14 original en el trozo de madera; de donde: A=14.5%4, 20.1454, (4) Al reemplazar (4) en (3) se tiene: 0.1454, = Aye 000012378 2 9 145 =8 0 OS 0.00012378 =1n0.145, _—1.93102154 000012378 Respuesta: la madera hallada en la caverna de Lascaux tiene una edad aproximada de 15600 años =15600. 13. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es de P09F y se lleva al extenor, donde la temperatura es de 10%F. Pasado medio minuto el termómetro indica 50%F. ¿Cuál es la lectura cuando ¿= 1 min? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a 15%? Solución La ley de enfriamiento de Mewton establece que en un cuerpo que se enfría, la rapidez con que la temperatura de cuerpo Y cambia en el tiempo £ es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y latemperatura constante 7, del medio ambiente que lo rodea Es decir, si es una constante de proporcionalidad, T=HT-TA) (0) Pero, en el presente problema se tiene que: Pp =10 Ahora áT áT R+er HT = dis la(T-10) =kt4c, ST-l0=e (7-10) de a Toca to (1) En ¿=0, T=70 (2); por lo que, al sustituir (2) en (1), se tiene Tc Dit0se=60 (3), _ EE > T=60% +10 (en(M Cl s0-=500 410 15) en (99), T(0.5)=50 (5) -0.40547 0.5 Sustituyendo el valor de £ dado por (6) en (4), se obtiene T=608 021094 19 (7 TM = 6087021090 /10=60(0.44444)+10=36.67 Para calcular el tiempo en que la temperatura sea de 15%, se sustituye T=15 en (7): 15=608 08109 19 609 081094 = 5 ¿> g 081094 — 9 083, 248491 _ -0.81094 Respuesta: al acabo de un minuto la temperatura del termómetro es de 36.67%E, El termómetro llega a 15% en 3.06 minutos > »*-0Slst=In0bSt= Sk=-0.81094 (6) => -0,81094 =1n0.083 =>¿= 3.06. Ejercicios 4.1.1 L Dado que »=c,8* +c,2"" es una familia de soluciones a dos parámetros de »"—y=0 en el intervalo (—o0.c0), encuentre un miembro de la familia que satisfaga las condiciones imoiales y(0)=0, y (0) =1 Solución =p eo? (a, > yoo oe? (m) »0=0 (1 »0=1 (2) Al sustituir (1) en (a), se obtiene 0= ca? +eya Se +e=0 0 Ahora, al sustituir (2) en (5), se obtiene 1= Es 0 S>e-e=1 (% Sumando, término atérmino, (3) y (4), se obtiene 20, =1=>e, =1/2 (5) Sustituyendo (5) en (3) y despejando, obtenemos e, =-142 (6) Asi, un miembro de la familia que satisface las condiciones imiciales dadas se obtiene al sustituir 5) y (6) en (a): 2. Hallar una solución de la ecuación diferencial del problema 1 que satisfaga las condiciones de frontera p(0)=0, y(1) =1 Solución =p ey? (a) »0=0 (1 »1D=1 (2 Sustituyendo, alternativamente, (1) y (2) en (4), se obtiene: Ú= eye +00" 0 += Ue =>) (5 y l=ejel ye ey =e-et (4) lgualamos (3) y (4) para obtener _ 2 a = = CS A A e 71 0 Finalmente, al sustituir (5) y (6) en (a), se obtiene la solución particular: => 16. 4(9=0, A()=x, A0=e Solución Para las constantes e,, cy, 07 serealiza la siguiente combinación lineal cy U+cyrtoje? Sejrt+ae? (0) Se establece la siguiente identidad cata =0 (2) Dando los valores arbitrarios parax: —1, 1,2; se obtienen las siguientes ecuaciones Oc, +ete,=0 D+c, tec, =0 a Ú+2e, +ele, =Ú El determinante del sistema (3) es 0-1 4% 0.1. e |=08-20+(0)+871(0)=0: las funciones son lincalmente dependi entes. 02 e 17 00=5 406)= cos, AO= senta Solución A (00+5% 0) = 5000 145500 = 5005 +00 4)= 5D) =5 Como ¿ (1) se puede expresar como una combinación lineal de (0) y 400), se concluye que las funciones dadas son linealmente dependientes. 18. (60) =cos2x, Alí =1, A40)= cos*x Solución AOS 2 AGO 400 = 2008 1 1= 00821 Como ¿ (1) se puede expresar como una combinación lineal de (0) y 400), se concluye que las funciones dadas son linealmente dependientes. 19. f()=x, A 0=x-1, £()=x43 Solución Para las constantes ey, cy, 07 setealiza la siguiente combinación lineal ete (a De (+3 0) Se establece la siguiente ¿identidad ete (ale (14+3)=0 (2) Dando los valores arbitrarios parax: 0, 1,—3, se obtienen las siguientes ecuaciones Ú- cy +30 =0 c¡+0+d0, =0 (3 30 —4e¿+0=0 El determinante del sistema (3) es 0 -13 1. 0 4[=0(16)4+(0412)+3(49) =0: las funciones son linealmente depen dientes 340