Apostila Vibrações Mecânicas

Apostila Vibrações Mecânicas

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Notas de aulas

Vibrações em Sistemas Mecânicos

Prof. Dr. Airton Nabarrete Centro Universitário da FEI

D e s l o c a m e n t e s l o c am

Vibrações

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1. INTRODUÇÃO

Atualmente, muitos estudos são feitos com objetivo de motivar as aplicações das vibrações em engenharia, como o projeto de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle etc. Problemas com vibração podem ocorrer devido ao desbalanceamento em motores alternativos ou mesmo em qualquer sistema rotativo, porém o desbalanceamento excessivo indica erros de projeto ou um processo de fabricação pobre. Em motores diesel, o desbalanceamento pode provocar muito ruído em áreas urbanas. Nos motores a gasolina a grande preocupação atual é a redução das vibrações para o aumento do conforto do condutor. Na instalação de novas máquinas operatrizes na indústria metalúrgica, como exemplo, centros de usinagem, tornos CNC, retificadoras de precisão, etc., há grande preocupação com a isolação das vibrações de modo a não piorar a precisão das mesmas durante a sua utilização posterior. Em muitas indústrias estas máquinas são instaladas na proximidade de máquinas geradoras de vibração, como: prensas excêntricas, tesouras guilhotinas, etc.

Quando temos a freqüência natural do sistema mecânico coincidindo com a freqüência de vibração devida a operação, temos o aparecimento da ressonância, que leva o sistema a deslocamentos excessivos e até à ruptura de algumas partes. Por causa do efeito desastroso que as vibrações podem causar às estruturas e às máquinas, testes de vibrações foram incluídos nas normas e procedimentos de projeto e de verificação experimental nos diversos ramos da engenharia.

1.1 Definição de vibração

Qualquer movimento que se repete depois de um intervalo de tempo é chamado de vibração ou oscilação. A teoria das vibrações trata do estudo dos movimentos oscilatórios dos corpos e das forças associadas aos mesmos.

Um sistema vibratório inclui um meio de armazenar energia potencial (mola ou elasticidade dos materiais), um meio de armazenar energia cinética ( massa ou inércia ) e um meio pelo qual a energia é dissipada (amortecedor ou atrito).

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Sistema Massa-Mola m k xx0 x

A vibração de um sistema ocorre pela transformação da energia potencial em energia cinética e de energia cinética em potencial alternadamente. Se o sistema for amortecido, alguma energia é dissipada em cada ciclo de vibração e precisa ser reposta por uma fonte externa se o estado da vibração é para ser mantido.

1.2 Modelo Massa-Mola em Vibração Livre

Neste caso de vibração, o sistema é considerado como conservativo e, após ser fornecido uma quantidade de energia inicial, o mesmo se movimenta eternamente, pois não há dissipação de energia. No modelo simplificado da figura abaixo, m representa a massa e k a rigidez da mola. Neste modelo percebemos a possibilidade do sistema oscilar na direção x em função da elasticidade da mola ligada à massa. A direita temos o esquema de corpo livre com as forças que atuam sobre o mesmo.

m k

N mg

- k x

Na vertical, as forças que agem sobre o corpo estão em equilíbrio. Na horizontal, se o corpo de massa for deslocado para a direita, a força resultante promove a aceleração do corpo para a esquerda.

xkxmE EEEtotal potcintotal +=

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A equação dinâmica do sistema é :

A equação obtida é uma equação diferencial de 2ª ordem. Reposicionando os termos, temos: () () 0=+ txktxm !!

Podemos utilizar o mesmo procedimento para a análise de um sistema torcional. Na figura abaixo, kt representa a rigidez torcional do eixo vertical e J o momento de inércia da roda inferior.

kt J

Efetuando a análise para o corpo livre da roda, teremos:

A análise de vibrações tem por objetivo prever a resposta de movimento para o sistema vibratório, portanto é desejável conhecer a resposta para estas equações diferenciais. Felizmente, a solução da equação diferencial acima é bem conhecida dos cursos introdutórios de cálculo e física. Assim, a solução para a variável x(t) é :

A é a amplitude e representa o máximo valor da função x(t) , ω é a freqüência circular (expressa em rad/s), e φ representa o ângulo de fase ou simplesmente fase .

A escolha da função coseno pode ter como alternativa a função seno, pois ambas são funções que descrevem movimentos periódicos de oscilação.

A solução da equação diferencial indicada por x(t) é chamada de resposta livre, pois não existem forças dinâmicas que provoquem a vibração do modelo massa-mola.

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Consequentemente, a vibração livre acontece sempre com a mesma freqüência de vibração, a qual é denominada de freqüência natural e recebe o índice n, ou seja, ωn . Para verificar que x(t) é a solução procurada, deve-se derivar a mesma e substituir na equação diferencial.

Substituindo na equação diferencial, temos:

Pela expressão acima, entendemos que a freqüência natural do modelo massa-mola é função apenas da massa e da rigidez da mola. Analogamente, a freqüência natural do sistema torcional é dada por :

kt n =ω

Na função x(t) ainda restam duas incógnitas, ou seja, A e φ . Para determiná-las é necessário informar as condições de contorno que regem o problema diferencial. No caso da resposta livre de vibração, condições de contorno estão representadas pelas condições iniciais do problema. Como são duas incógnitas, necessitamos de conhecer duas condições iniciais. Portanto, fica estabelecido que devemos conhecer o deslocamento inicial x0 e a velocidade inicial v0 da vibração livre.

=− φφ φφ sensen coscos

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Prof. Airton NabarretePag. 5 v xA

AvAx ωω v arctg xv n ωφωφ

O quadro abaixo resume o movimento vibratório do modelo massa-mola. Movimento Harmônico Simples – Sumário

Amplitude, A +

Período, T tempo, t Deslocamento, x(t) v0 = tg(θ) θ v arctgtv xtx n ωω ω

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