Probabilidade e Estatística apostila 3

Probabilidade e Estatística apostila 3

(Parte 1 de 3)

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1 - Média A média é um valor representativo de um conjunto de dados.

X i∑ = → para dados não tabulados fXX i∑ = → para dados tabulados ou ponderados

2) Determinar a média para as distribuições abaixo:

Xifi

fi

Xi

1.1 - Propriedades da Média 1ª - A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números, em relação à média, é zero. 2ª - Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada valor do conjunto, a nova média será a original aumentada ou diminuída do valor dessa constante. 3ª - Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor do conjunto por uma constante, a nova média será a original multiplicada ou dividida do valor dessa constante. 4ª - A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada. 5ª - Para um dado conjunto de números, a média é única. 6ª - A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto.

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2 - Mediana A mediana é o valor central de um conjunto de números organizados em ordem de grandeza. Sua característica principal é dividir esse conjunto de números em duas partes iguais.

2.1 - Determinação da Mediana

Dados não tabulados: 1º - Ordenar os valores; 2º - Verificar se n é impar ou par: - Se o rol apresenta um número ímpar de elementos, teremos apenas uma posição cen- tral, Elemento Mediano ⇒ EMd = 2

- Se o rol apresenta um número par de elementos, teremos duas posições centrais, Ele- mento Mediano ⇒ EMd = 2 e EMd = 2

3º - Localizar, nos dados ordenados o valor da variável que ocupa a posição determinada pelo Elemento Mediano. Para n ímpar, a mediana é o valor do meio; para n par, a mediana é a média dos dois valores do meio. EXEMPLO 1) Determinar a mediana para os dados abaixo: X = 2, 20, 12, 23, 20, 8, 12 Y = 7, 21, 13, 15, 10, 8, 9, 13 2) Determinar a mediana para os dados abaixo: X = 2, 5, 8, 10, 12, 15, 8, 5, 12 Y = 3,4; 5,2; 4,7; 6; 8,4; 9,3; 2,1; 4,8

Dados tabulados não agrupados em classes:

1º - Verificar se a coluna de Xi está ordenada; 2º - Verificar se n é impar ou par:

- Se o rol apresenta um número ímpar de elementos, teremos apenas uma posição cen- tral, Elemento Mediano ⇒ EMd = 2

- Se o rol apresenta um número par de elementos, teremos duas posições centrais, Ele- mento Mediano ⇒ EMd = 2 e EMd = 2

3º - Localizar o Elemento Mediano através da FaA mediana será o valor da variável cor-

respondente ao ponto central.

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1) Determinar a mediana:

2) Determinar a mediana:

Dados tabulados agrupados em classes:

1º - Verificar se a coluna de Xi está ordenada; 2º - Calcular a posição da mediana por:

n EMd=

3º - Identificar o intervalo que contém a mediana localizando o Elemento Mediano na Fa ; 4º - Aplicar a fórmula da interpolação para o cálculo da mediana:

lMd i

li=> limite inferior da classe mediana
EMd=> posição da mediana
Faa=> freqüência acumulada anterior à classe mediana

Onde:

h=> intervalo da classe mediana

f iMEDIANA => freqüência simples da classe mediana

EXEMPLO 1) Determinar a mediana:

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3 - Moda A moda é o valor que ocorre com a maior freqüência em um conjunto de números. A moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única.

3.1 - Determinação da Moda

Dados tabulados não agrupados em classes:

A determinação é imediata. A moda será o valor de Xi correspondente à maior freqüência. EXEMPLO

1) Determinar a moda:

2) Determinar a moda:

Dados tabulados agrupados em classes: 1º - Identificar a classe modal ( classe correspondente à maior freqüência ); 2º - Aplicar a fórmula de Kzuber para o cálculo da moda:

li=> limite inferior da classe modal

Onde: ∆1 => diferença entre a freqüência simples da classe modal e a imediatamente anterior

∆2 => diferença entre a freqüência simples da classe modal e a imediatamente posterior h => intervalo da classe modal

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EXEMPLO 1) Determinar a moda:

• • • • • •• • •
MedianaMédia

4 - Comparações entre a Média, Mediana e Moda A média é influenciada por cada valor do conjunto, inclusive os extremos. Já a mediana é relativamente insensível aos valores extremos.

de maior ocorrência

A ordenação dos dados para a determinação da mediana, por vezes, pode ser difícil. A moda, comparada à média e a mediana, é a medida menos útil por não ter nenhum tratamento matemático mas, do ponto de vista descritivo, a moda indica o valor "típico" em termos A utilidade da moda acontece quando um ou um grupo de valores ocorrem com uma freqüência muito maior que os demais. Quando todos, ou quase, todos os valores ocorrem aproximadamente com a mesma freqüência, a moda nada acrescenta em termos de descrição dos dados. A pesar de a média situar-se entre o menor e o maior resultado, ela não tem, necessariamente, existência real. A média não pode ser calculada para distribuições com classes ou limites abertos. O cálculo da média é simples e como envolve todos os valores observados, quando adequada, será preferível. A moda, por não depender de todos os valores, não se altera com a modificação de alguns deles:

{ 6, 6, 6, 6, 8, 7, 8, 9, 9, 5} Mo = 6 A moda tem existência real (exceção para dados agrupados) e pode ser calculada, na maioria dos casos, para classes ou limites abertos.

5 - Separatrizes A Média, a Moda e a Mediana fazem parte de um grupo de Medidas de Posição chamadas de Medidas de Tendência Central. As medidas de posição dividem um conjunto de valores ordenados em partes iguais.

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Medidas de Tendência CentralModa

Média Mediana

Medidas de Posição

Mediana

Medidas Separatrizes Quartil

Decil Percentil

As separatrizes são valores de referência em um conjunto de valores ordenados e, portanto, são aplicadas a variáveis quantitativas e qualitativas ordinais. Calcula-se qualquer uma das separatrizes de forma idêntica ao cálculo da mediana, substituindo-se, na fórmula desta, a posição em que se encontra o elemento desejado.

5.1 - Quartis Dividem o conjunto ordenado em 4 partes de igual tamanho. Estes valores são chamados quartis. O primeiro quartil -> Q1, estabelece o limite entre as 25% menores observações e as 75% maiores. O segundo quartil -> Q2, é igual a mediana e o terceiro quartil -> Q3, separa as 75% menores observações das 2 5% maiores.

Q1Q2 Q3

Haverá sempre três Quartis em um conjunto Q1 = primeiro quartil ⇒ Q2 = segundo quartil ⇒ Q3 = terceiro quartil • Q1 deixa 25% dos elementos abaixo dele;

• Q2 deixa 50% dos elementos abaixo dele e coincide com a mediana;

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