Apostila completa do cederj de Geometria plana II aula 13

Apostila completa do cederj de Geometria plana II aula 13

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Objetivos • Determinar a area de pol gonos regulares.

Um pol gono e chamado equil atero se todos os seus lados s~ao congruentes. E chamado equiangulo se todos os seus angulos internos s~ao congruentes. Um pol gono que e ao mesmo tempo equil atero e equiangulo e chamado regular. Veja na gura 253 alguns exemplos de pol gonos regulares.

Voce pode estar se perguntando se as duas de ni c~oes n~ao signi cam a mesma coisa. Na verdade, se estivermos falando de triangulos, as duas propriedades s~ao equivalentes. Isso acontece por causa da propriedade que tem os triangulos de o maior angulo se opor ao maior lado, e vice-versa. Assim, se um triangulo e equil atero, ent~ao, como conseq uencia, todos os seus angulos s~ao iguais e ele e equiangulo. Da mesma forma, se um triangulo tem todos os angulos congruentes, prova-se que seus lados tamb em s~ao congruentes. Portanto, para mostrar que um dado triangulo e regular, basta mostrar que ele e equil atero ou que ele e equiangulo, n~ao sendo necess ario veri car as duas coisas.

No caso de pol gonos com mais de tres lados isso n~ao e verdade, nem mesmo para quadril ateros. Um retangulo com base e altura n~ao congruentes e equiangulo, pois todos os seus angulos s~ao retos, mas n~ao e equil atero. Um losango que n~ao seja quadrado e equil atero, mas n~ao e equiangulo ( gura 254).

(b) Fig. 254: (a)Equiangulo mas n~ao equil atero. (b) Equil atero mas n~ao equiangulo.

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(a) (b) (c)

Para isso considere um pol gono regular P = A1A2 :::An qualquer. Tracemos as mediatrizes dos lados A1A2 e A2A3, as quais encontram-se num ponto O.

A gura 256 mostra um caso particular em que P e um pent agono.

o A 1

A 2 A 3

A 4 A 5

Como O est a na mediatriz do lado A1A2, ent~ao a distancia de O aos v ertices A1 e A2 e a mesma, que chamaremos r. Pelo mesmo motivo, a distancia de O a A3 e a mesma distancia r de O a A2. Os triangulos OA1A2 e OA2A3 s~ao, assim, is osceles. Al em disso, OA1A2 ≡ OA2A3, por L.L.L.. Segue que os angulos O A1A2, O A2A1, O A2A3 e O A3A2 s~ao todos congruentes.

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O A3A4 O A3A2. Por L.A.L., os triangulos OA3A4 e OA3A2 s~ao congruentes, donde se conclui que OA4 OA2. Assim, tem-se que a distancia entre de centro O e raio r passa por todos os v ertices do pol gono P.

Al em disso, os triangulos OA1A2, OA2A3, :::, OAnA1 s~ao todos congruentes. Segue que os segmentos unindo o ponto O aos pontos m edios de cada lado s~ao todos congruentes. Chamemos de a a medida desses segmentos. Como esses segmentos s~ao perpendiculares aos lados do pol gono P, conclu mos que o c rculo de centro O e raio a e tangente a todos os lados de P.

Provamos, assim, que:

O ponto O considerado na demonstra c~ao anterior e chamado centro do pol gono regular, e o n umero a e chamado ap otema. Tamb em chamaremos de ap otema a todo segmento ligando O ao ponto m edio de um dos lados.

Veja na gura 257 um hex agono regular e os c rculos em que est a inscrito e circunscrito.

Fig. 257: C rculos inscrito e circunscrito a um hex agono regular.

Um pol gono, contudo, pode ser inscrit vel ou circunscrit vel sem ser regular, como mostra a gura 255. Por outro lado, existem pol gonos que n~ao s~ao inscrit veis, ou circunscrit veis. Veja a gura 258.

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Veremos a seguir um crit erio que permite decidir se um quadril atero qualquer e inscrit vel ou n~ao. Primeiro consideremos um quadril atero ABCD inscrito no c rculo , como na gura 259.

G Fig. 259: AQuadril atero inscrito.

Os angulos BAD e BCD s~ao angulos inscritos em , e os arcos determinados por esses angulos comp~oem o c rculo completo, intersectando-se apenas nos extremos. Da , conclui-se que 2 BAD + 2 BCD = 360o, ou seja, BAD + BCD = 180o e esses angulos s~ao suplementares. Do mesmo modo, s~ao suplementares os angulos ADC e ABC.

Reciprocamente, suponhamos que ABCD seja um quadril atero tal que os angulos opostos s~ao suplementares. Tracemos o c rculo que cont em os pontos A, B e C. Vamos mostrar que o ponto D tamb em est a em .

Suponhamos que o ponto D n~ao esteja no c rculo . Nesse caso, h a duas possibilidades: D est a no interior de ou D est a no exterior de (veja as duas possibilidades na gura 260).

(a) (b)

Fig. 260: (a) D no interior de . (b) D no exterior de .

Em qualquer das possibilidades, seja E o ponto em que a semi-reta − ! BD intersecta , como na gura 261.

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(b) G G

Fig. 261: (a) D no interior de . (b) D no exterior de .

Se D est a no interior de , temos ADB > AEB e CDB > CEB, donde se conclui que ADC > AEC. Mas ADC e ABC s~ao suplementares, por hip otese, e AEC e ABC s~ao suplementares porque ABCE est a inscrito em . Logo ADC ≡ AEC. Mas j a t nhamos conclu do que ADC > AEC. Essa contradi c~ao mostra que D n~ao pode estar no interior de . Deixamos como exerc cio a prova de que D n~ao pode estar no exterior de .

Com isso mostramos a seguinte proposi c~ao:

Proposi c~ao 31 Um quadril atero e inscrit vel num c rculo se e somente se seus angulos internos opostos s~ao suplementares.

Veja na proposi c~ao seguinte como ca a area de um pol gono regular.

Prova:

Se A1A2 :::An e um pol gono regular de n lados, ligando cada um de seus v ertices ao centro O do pol gono, cam determinados n triangulos is osceles congruentes de base igual a m(A1A2) e altura igual ao ap otema do pol gono, que denotaremos por a. A area de cada um desses triangulos e m(A1A2)a

2 . Pelas propriedades de area, conclu mos que

Como nm(A1A2) e justamente o per metro do pol gono, j a que seus n lados s~ao todos congruentes a A1A2, ca demonstrada a proposi c~ao.

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Sejam e ′ c rculos com o mesmo centro O (dizemos nesse caso que

P sobre 0. Veja na gura 262 o caso particular em que P e um hex agono.

Os ap otemas a e a0 s~ao, respectivamente, a distancia do centro O at e os lados dos pol gonos P e P0.

Fig. 262: Proje c~ao radial do hex agono.

Deixaremos como exerc cio a prova de que P0 tamb em e regular. Determinaremos agora a rela c~ao entre as areas de P e P0. Para isso, chamemos de r e r0 os raios de e 0, a e a0 os ap otemas, A e A0 as areas e p e p0 os per metros de P e P0, respectivamente. J a sabemos que A = 1

is osceles e tem o angulo central A1OA2 em comum, podemos concluir que s~ao semelhantes. Como conseq uencia dessa semelhan ca, decorre que

Substituindo na equa c~ao (6), obtemos

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