Apostila completa do cederj de Geometria plana II aula 14

Apostila completa do cederj de Geometria plana II aula 14

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Pr e-requisitos

Conceito de area. Pol gonos regulares e suas propriedades. C rculos e suas propriedades. Semelhan ca de triangulos.

Nesta aula vamos determinar a area de um c rculo. Para isso, vamos aproximar o c rculo por pol gonos regulares inscritos e circunscritos.

Observe na gura 1 alguns pol gonos regulares inscritos em c rculos.

Note que quanto maior e o n umero de lados do pol gono regular, maior e a regi~ao de dentro do c rculo coberta por ele.

Curiosidade

O problema de calcular a area de uma gura plana cuja fronteira n~ao e formada por segmentos de reta e algo mais complicado. Esse problema ocupou parte da mente de v arios matem aticos gregos; entre eles, podemos citar Eudoxio e Arquimedes. Ambos constru ram um m etodo para calcular areas de guras planas, que consiste na aproxima c~ao por pol gonos. A id eia de aproxima c~ao n~ao fornece um valor exato, a menos que usemos uma \seq uencia in nita de aproxima c~oes". Essa e a primeira id eia do chamado \C alculo integral".

Do mesmo modo, observe na gura 2 alguns pol gonos regulares circunscritos a uma c rculo. Note que, neste caso, quanto maior o n umero de lados do pol gono regular, menor e a regi~ao coberta por ele e n~ao coberta pelo c rculo.

Fig. 2: Pol gonos circunscritos.

Vamos designar por r um c rculo de raio r, por Pn um pol gono regular inscrito de n lados e por Qn um pol gono regular circunscrito de n lados. Por simplicidade, denotaremos por A(F) a area de uma gura F. Como Pn est a

9 CEDERJ propriamente contido em r e r est a propriamente contido em Qn, segue que para todo inteiro positivo n. A pr oxima proposi c~ao diz que A(Pn) e A(Qn) podem car t~ao pr oximas quanto desejarmos. Como conseq uencia, a area de um c rculo pode ser obtida por aproxima c~ao tanto por areas de pol gonos regulares inscritos como por areas de pol gonos regulares circunscritos.

A(Qn) − A(Pn) pode tornar-se t~ao pequeno quanto se queira. Mais precisamente, dado qualquer n umero real positivo , existe um inteiro positivo n

Sejam Pn = A1 :::An e Qn = B1 :::Bn. Podemos supor que Pn e Qn est~ao dispostos de modo que B1, A1 e O (o centro de r) sejam colineares e

A1 esteja entre B1 e O. Assim, os outros v ertices de Pn e Qn estar~ao tamb em alinhados, como representado na gura 3.

Da mesma forma, como os triangulos OB1B2, OB2B3, :::, OBnB1 s~ao congruentes dois a dois, segue que

Desse modo, basta descobrir a rela c~ao que existe entre as areas dos triangulos OA1A2 e OB1B2 para comparar as areas dos pol gonos Pn e Qn.

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Para estudar essa rela c~ao, tracemos a bissetriz do angulo A1 OA2. Sejam M e N os pontos em que essa bissetriz corta, respectivamente, os segmentos

Fig. 4: Proposi c~ao 1 .

Os triangulos OMA2 e ONB2 s~ao semelhantes (por que?) e, assim,

De (3), tem-se

Subtraindo membro a membro as express~oes (5) e (6), segue que

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Substituindo em (7), conclu mos que

Eudoxio de Cnido. 408 - 355 a.C. Eudoxio viajou para Tarento (agora na It alia) onde ele estudou com Architas, um seguidor de Pit agoras. A duplica c~ao do cubo foi um dos problemas de interesse de Architas e, tamb em, de Eudoxio. Ele tamb em foi ensinado por Architas sobre teoria dos n umeros e teoria da m usica. Eudoxio estudou Medicina e Astronomia. Eudoxio teve uma contribui c~ao importante na teoria das propor c~oes, onde ele criou uma de ni c~ao permitindo a compara c~ao entre segmentos de comprimentos irracionais de uma forma similar a que tratamos hoje em dia (\multiplica c~ao em cruz"). Consulte: http://w-groups.dcs. st-and.ac.uk/~history/ Mathematicians/Heron.html

Observando que nm(B1B2) e igual ao per metro de (Qn), tem-se ent~ao que para todo inteiro positivo n. O exerc cio 15 desta aula tem como objetivo a prova de que o per metro de qualquer pol gono regular circunscrito a um c rculo de raio r e menor que 8r. Logo, para todo inteiro positivo n. Como m(A1A2) se torna t~ao pequeno quanto se queira, bastando para isso tornar n bastante grande, ent~ao o mesmo ocorre

A(Qn) A(Pn), segue da proposi c~ao 1 que A(Pn) e A(Qn) podem car t~ao pr oximas de A( n) quanto desejarmos.

Consideremos agora dois c rculos concentricos, e ′, com raios r e r0, respectivamente. Como vimos na aula 14, se P e um pol gono regular inscrito (ou circunscrito) em e P0 e sua proje c~ao radial em 0, vale a seguinte rela c~ao entre suas areas:

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Prova:

Como c rculos de mesmo raio s~ao congruentes, tendo portanto a mesma area, vamos fazer a prova para o caso em que e ′ s~ao concentricos. Seja P um pol gono regular inscrito em e Q um pol gono regular circunscrito a . Sejam P0 e Q0 as proje c~oes radiais de P e Q, respectivamente, em 0. Sabemos que

Matem atico e inventor grego, que escreveu importantes obras sobre Geometria plana e espacial, Aritm etica e Mecanica. Enunciou a Lei da Hidrost atica, o Princ pio de Arquimedes. Nasceu em Siracusa, Sic lia, e se educou em Alexandria, Egito. No campo da Matem atica pura, antecipou-se a muitos dos descobrimentos da Ciencia Moderna, como o c alculo integral, com seus estudos de areas de guras planas. Entre os trabalhos mais famosos de Arquimedes se encontra A medida do c rculo, no qual encontra-se o c alculo do valor exato da medida do c rculo (o m etodo consiste em inscrever e circunscrever c rculos em pol gonos regulares). Consulte: http: //w.aldeaeducativa.com/ http://www.nethistoria. com/bios/100/bios36.shtml e, ent~ao,

Provamos assim que o n umero real r pol gono regular inscrito em e menor que a area de qualquer pol gono regular circunscrito a . Em particular, tem-se que

para todo inteiro positivo n, onde Pn e Qn s~ao os pol gonos regulares de n lados respectivamente inscrito e circunscrito em . Mas (8) diz que o n umero

Como A(Qn) A(Pn) pode tornar-se t~ao pequeno quanto se queira pela

Portanto

Q.E.D. Em vista da ultima proposi c~ao, podemos estimar a area de qualquer c rculo tomando como base um c rculo de mesmo centro com raio igual a 1. Assim, se o raio de e r, a proposi c~ao nos diz que a area de

13 CEDERJ vale r2 vezes a area de um c rculo de raio 1. Ora, todos os c rculos de raio 1 tem a mesma area, que e um n umero real que chamaremos pela letra grega

Veremos na pr oxima aula que o n umero tamb em representa a raz~ao entre o comprimento do c rculo e o dobro de seu raio.

Ele e um n umero irracional e portanto tem expans~ao decimal in nita n~ao peri odica. Um valor aproximado de e 3;14159265.

Resumo Nesta aula voce aprendeu...

B o

Sabendo que o angulo A OB mede 60o, calcule a area da regi~ao hachurada (chamada de setor circular).

A f ormula para o c alculo da area de um setor circular pode ser obtida por aproxima c~oes, da mesma forma como foi provada a f ormula da area do c rculo.

Prova-se que, a area do setor circular e proporcional a medida do angulo central que o determina.

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Se m(AB) = 40cm, determine a area da regi~ao hachurada (chamada coroa circular).

3. Determine a area da regi~ao hachurada na gura 7, chamada segmento circular.

Fig. 7: Exerc cio 3 4. Na gura 8, um quadrado de 12cm de lado est a inscrito em um c rculo.

Determine a area do segmento circular hachurado. 15 CEDERJ

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