Apostila completa do cederj de Geometria plana II aula 15

Apostila completa do cederj de Geometria plana II aula 15

(Parte 1 de 2)

Aula 15 { Comprimento do c rculo

Objetivos

• De nir e determinar o comprimento do c rculo.

Pr e-requisitos

C rculos e suas propriedades. Pol gonos regulares inscritos e circunscritos a c rculos.

O c alculo do comprimento do c rculo foi um dos problemas que mais intrigaram os matem aticos da Antig uidade. Alguns deles dedicaram toda a vida a produzir estimativas para o valor de pi, que est a, como veremos, intimamente relacionado ao problema.

Nosso objetivo nesta aula e de nir e calcular o comprimento do c rculo.

Note que e preciso de nir o que seja comprimento para um c rculo, uma vez que s o temos de nido comprimento para segmentos de reta (atrav es de compara c~ao com um segmento padr~ao). A id eia intuitiva e que o comprimento do c rculo e o do segmento que obter amos se pud essemos \cortar" o c rculo num ponto qualquer e \desentort a-lo". Nosso m etodo, por em, ser a outro. Vamos seguir um caminho parecido com o da ultima aula, tentando aproximar o comprimento do c rculo pelo per metro de pol gonos regulares inscritos e circunscritos a ele. Para isso, vamos come car por provar a proposi c~ao a seguir, que relaciona o per metro de pol gonos inscritos e circunscritos ao mesmo c rculo.

Prova:

Nosso objetivo e provar que l(P) < l(Q), onde l(P) e l(Q) s~ao os per metros de P e Q, respectivamente. Note que os pol gonos P e Q n~ao s~ao supostos regulares, ou seja, devemos considerar que seus lados e angulos podem n~ao ser todos congruentes. Em particular, n~ao podemos assumir que o centro O de seja um ponto do interior de P. Por em, basta provar a proposi c~ao no caso em que O e um ponto interior de P.

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De fato, se O n~ao for um ponto interior de P, tomamos o pol gono inscrito P1 obtido de P acrescentando um novo v ertice, como na gura 23.

Levando em conta esse fato, podemos assumir que O e um ponto interior de P (para evitar usar o nome P1).

como na gura 24.

Fig. 24: Proposi c~ao 3.

De fato, pode-se provar que m(AB) e menor que o trcho de Q contido em A OB (veja o exerc cio 7). Fazendo isso com cada lado de P, conclu mos que l(P) < l(Q).

Q.E.D. CEDERJ 24

Na prova da Proposi c~ao 3, vimos que o per metro de um pol gono inscrito aumenta quando acrescentamos a ele novos v ertices. Para pol gonos circunscritos, ocorre o contr ario: ao acrescentarmos novos v ertices a um pol gono circunscrito, seu per metro diminui. Para provar essa a rma c~ao, seja Q um pol gono circunscrito a um c rculo e sejam AB e BC lados consecutivos de Q.

ponto X qualquer do arco RS, no semiplano relativo a ! RS que cont em B.

Sejam Y e Z os pontos em que essa tangente intersecta respectivamente AB e BC, como na gura 25.

Fig. 25: Acrescentando v ertices ao pol gono Q.

Como m(Y Z) < m(Y B)+m(BZ), vemos que o per metro do pol gono circunscrito obtido a partir de Q trocando-se os lados AB e BC por AY , Y Z e ZC e menor que o per metro de Q.

De nindo o comprimento de um c rculo

Nos cursos de C alculo, aprendemos a de nir e a calcular o comprimento de curvas. No caso particular em que a curva e um c rculo, podemos de nir e calcular o comprimento de modo intuitivo, que descreveremos a seguir.

Seja um c rculo e sejam P e Q pol gonos respectivamente inscrito e circunscrito em . Se AB e um lado qualquer de P, nossa intui c~ao diz que m(AB) e menor que o comprimento do arco AB ( gura 26).

Fig. 26: 25 CEDERJ

Assim, intuitivamente, l(P) < l( ). Ainda intuitivamente, se R e S s~ao pontos consecutivos de tangencia entre Q e , temos que m(RB) + m(BS) e maior que o comprimento do arco RS, donde l(Q) > l( ). Juntando esses dois fatos podemos dizer que, intuitivamente, para qualquer pol gono P inscrito em , e para qualquer pol gono Q circunscrito a . Mostraremos a seguir que a diferen ca entre o per metro de um pol gono circunscrito e o per metro de um pol gono inscrito em pode ser muito pequena, t~ao pequena quanto se deseje, bastando para isso tomar pol gonos com o n umero de lados bastante grande. Como conseq uencia disso, existe um unico n umero real que e maior que o per metro de qualquer pol gono inscrito e menor que o per metro de qualquer pol gono circunscrito a (a prova desse fato foge do objetivo desse curso). Esse n umero e de - nido como o comprimento de . Vamos fazer essa prova usando pol gonos regulares inscritos e circunscritos.

Sejam Pn e Qn pol gonos regulares de n lados, respectivamente inscrito e circunscrito ao c rculo de raio r e centro O. Ent~ao, a medida que n aumenta, a diferen ca entre os per metros de Qn e Pn diminui, podendo tornar-se t~ao pequena quanto se deseje.

Prova:

de A1A2. Dessas igualdades conclu mos que

Como o per metro de Qn e menor que 8r (veja ultimo exerc cio da aula anterior), segue que

CEDERJ 26

Note que a medida do lado A1A2 do pol gono inscrito Pn e t~ao menor quanto maior for o n umero n de lados de Pn. Tomando n bastante grande, a medida de A1A2 (e dos outros lados de Pn) pode tornar-se t~ao pequena quanto se deseje. O mesmo ocorre, ent~ao, para a diferen ca l(Qn) − l(Pn), como quer amos demonstrar.

De acordo com a proposi c~ao acima, vemos que o comprimento de um c rculo pode ser aproximado tanto pelo per metro de pol gonos regulares Pn nele inscritos como pelo per metro de pol gonos regulares Qn a ele circunscritos. De fato, como l(Pn) < l( ) < l(Qn), tem-se l( ) l(Pn) < l(Qn) l(Pn)

mundo das ideiasSeguindo o raciocnio anterior, porem, seremos capazes

At e aqui estivemos de nindo o que vem a ser o comprimento de um c rculo. Note que da forma que t nhamos de nido comprimento, por compara c~ao com um segmento padr~ao, pod amos apenas calcul a-lo para segmentos de reta. O processo de \cortar" o c rculo e \desentort a-lo" para transform a-lo em um segmento pass vel de medi c~ao n~ao funciona bem no de calcular o comprimento do c rculo, que e dado na proposi c~ao a seguir.

Prova:

Mas a proposi c~ao 7 da aula 15 implica que a area de um c rculo pode ser aproximada pela area de pol gonos regulares inscritos, ou seja, existe um pol gono regular P inscrito em tal que

A proposi c~ao 6 da aula 14 diz que a area de P e dada por A(P) = l(P)a onde a e o ap otema de P. Substituindo na desigualdade acima, temos

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Como o ap otema de um pol gono regular inscrito e menor que o raio r, conclui-se que l(P) > l( ), o que contradiz a desigualdade (1). Da mesma forma, supondo l( ) > 2 r, poder amos escolher um pol gono regular Q circunscrito a tal que l(Q)a

Segue da proposi c~ao acima o seguinte resultado:

l( )=2r = , ou seja, o comprimento de um c rculo dividido pelo seu diametro n~ao depende do c rculo, e esse valor constante e precisamente a area de um c rculo de raio 1.

Vamos obter uma estimativa para o valor de , usando um quadrado inscrito e um quadrado circunscrito a um c rculo de raio 1. Provaremos que 2 < < 4.

Com efeito, seja um c rculo de raio 1. Por de ni c~ao, = A( ). Considere os quadrados inscrito e circunscrito como na gura 27.

Fig. 27: Proposi c~ao 5.

O quadrado inscrito tem lado medindo √ 2, pelo teorema de Pit agoras.

Ent~ao sua area vale 2. O quadrado circunscrito tem lado medindo 2, portanto sua area vale 4. Como a area de e maior que a area do quadrado inscrito e menor que a area do quadrado circunscrito, conclui-se que 2 < < 4.

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Podemos obter estimativas melhores para pi utilizando outros pol gonos regulares. Por exemplo, usando aproxima c~oes por hex agonos regulares inscrito e circunscrito, pode-se provar que

Resumo

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