Lista III - Álgebra III

Lista III - Álgebra III

MAT0313 Álgebra I

2. Seja L uma extensão qualquer de Q. Mostre que o polinômio f = x3 −3x +1 ou é irredutível em L[x] ou L contém um corpo de raízes de f sobre Q.

5. Seja f ∈ Q[x] um polinômio irredutível de grau ímpar maior que 1 e que possua apenas uma raiz real α. Mostre que Q(α)/Q não é uma extensão normal.

normal.

8. Seja L/K uma extensão finita. Mostre que L/K é normal se, e somente se L é corpo de raízes de um polinômio f ∈ K[x].

9. Seja L/K uma extensão finita e seja F um corpo intermediário, isto é, K ⊂ F ⊂ L. Mostre que se L/K é normal então L/F também é normal.

10. Seja L/K uma extensão algébrica e seja F um corpo intermediário. Mostre que se L/K é separável então L/F e F/K são separáveis.

1. Seja K um corpo de característica p > 0 e seja a ∈ K. Mostre que xp − x − a não tem raízes múltiplas e é irredutível em K[x] se, e somente se, a 6= cp − c para todo c ∈ K.

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