Lista I - Topologia

Lista I - Topologia

Lista de exercícios 1

Exercício 1. Sejam τ1 e τ2 topologias sobre um conjunto X tais que τ1 ⊆ τ2.

Mostre que, para todo A ⊆ X, tem-se que intτ1 (A) ⊆ intτ2

(a) Verifique que τ1 e τ2 são topologias sobre N, e compare-as com respeito à inclusão.

(b) Mostre que, se B1 é uma base de abertos para (N,τ1), então B1 ⊇ τ1 \{∅,N}. Encontre uma base de abertos B2 para (N,τ2) tal que toda base de abertos B para (N,τ2) satisfaz B2 ⊆ B.

Exercício 3. Sejam X um espaço topológico e Y ⊆ X fechado em X. Suponha que Y , com a topologia induzida de subespaço, é um espaço discreto. Mostre que, para qualquer Z ⊆ Y , Z é fechado em X.

Exercício 4. Sejam X um conjunto munido da topologia cofinita e Y ⊆ X.

Sejam τc e τs, respectivamente, a topologia cofinita em Y e a topologia de subespaço em Y induzida pela topologia de X. Compare τc e τs com respeito à inclusão.

Exercício 5. Seja X um conjunto não-vazio e fixe x0 ∈ X arbitrário.

(a) Mostre que B = {{x} : x ∈ X \ {x0}} ∪ {X} é uma base de abertos para uma topologia sobre X.

(b) Seja τ a topologia sobre X gerada por B. Descreva, para cada x ∈ X, a família Vx = {V ⊆ X : V é uma vizinhança de x em (X,τ)}.

(c) Existe algum D ( X que seja denso em (X,τ)?

Exercício 6. Sejam (X,τ) um espaço topológico com X 6= ∅ e D = {D ⊆ X : D é denso em (X,τ)}.

(a) Prove que τ é a topologia discreta sobre X se, e somente se, D = {X}.

(b) Prove que τ é a topologia caótica sobre X se, e somente se, D = ℘(X) \ {∅}.

Exercício 7. Sejam X um conjunto não-vazio e C uma coleção não-vazia de topologias sobre X. Prove que ⋂

C é uma topologia sobre X, e que ⋃ C não necessariamente o é.

Exercício 8. Exiba, para cada caso a seguir, int(A), A e Fr(A) na topologia da reta de Sorgenfrey.

Exercício 9. Sejam X um espaço topológico e A ⊆ X.

(a) Prove que A é a união de A com o conjunto de seus pontos de acumulação. Dê um exemplo para mostrar que essa união pode não ser disjunta.

(b) Conclua que A é fechado em X se, e somente se, todo ponto de acumulação de A é um elemento de A.

(c) Prove que A é um subespaço fechado e discreto de X se, e somente se, A não admite nenhum ponto de acumulação.

(d) Conclua que, se A é um subespaço fechado e discreto de X, então todo B ⊆ A também o é.

Exercício 10. Sejam X um espaço topológico, A,B ⊆ X e {Ai : i ∈ I} ⊆ ℘(X), com I 6= ∅. Complete cada item abaixo com ⊆, ⊇ ou, se for o caso,

i∈I Ai ⋂ i∈I Ai

i∈I Ai ⋃ i∈I Ai

Exercício 1. Sejam X um espaço topológico e D1,D2 ⊆ X densos em X.

Pode-se afirmar que D1 ∩ D2 é denso em X? E se D1, além de denso, for também aberto em X?

Exercício 12. Seja (X,τ) um espaço topológico tal que, para quaisquer subconjuntos A e B de X, tem-se A ∩ B = A∩B. Mostre que τ é a topologia discreta sobre X.

Exercício 13. Sejam X um espaço topológico e A ⊆ X.

(a) Mostre que X = int(A) ∪ Fr(A) ∪ int(X \ A), sendo esta uma união disjunta.

Exercício 14. Sejam X um conjunto, d uma métrica sobre X e τ a topologia sobre X associada a d.

(a) Para a ∈ X e ε > 0 arbitrários, mostre que Bd(a,ε) ⊆ Bd[a,ε].

(b) Mostre, através de um exemplo, que a igualdade Bd(a,ε) = Bd[a,ε] não é necessariamente verdadeira.

(c) Mostre que a igualdade acima é verdadeira no caso particular em que X = Rn (com n ∈ N \ {0}) e d é a métrica euclidiana.

Exercício 15. Seja S ⊆ R um subgrupo com respeito à operação de soma. Mostre que, na topologia usual de R, tem-se que S = S ou S = R. [Sugestão: Considere a = inf{x ∈ S : x > 0} e analise os casos a > 0 e a = 0.]

(a) Mostre que B = {Ba,r : a,r ∈ N,r 6= 0,a < r} é uma base para uma topologia sobre N.

(b) Mostre que, nessa topologia, cada Ba,r é um fechado. (c) Escreva N \ {1} como uma reunião de fechados.

(d) Conclua que existem infinitos primos.

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