Lista II - Topologia

Lista II - Topologia

Lista de exercícios 2

Exercício 1. Mostre que, se (X,τ) é um espaço topológico separável, então {x ∈ X : {x} ∈ τ} é um conjunto enumerável.

Exercício 2. Sejam X um conjunto infinito e x0 um ponto de X. Seja B = {{x} : x 6= x0} ∪ {A ⊆ X : x0 ∈ A e X \ A é finito}.

(a) Mostre que B gera uma topologia sobre X. (b) Como são os abertos de X? E os fechados?

(c) Quando este espaço topológico satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade? E o segundo? E o terceiro?

Exercício 3. Sejam (X,τ) um espaço topológico e D ⊆ X denso em (X,τ).

(a) Mostre que, se A ∈ τ, então A ∩ D é denso no subespaço A.

(b) Conclua que, se (X,τ) é separável, então todo subespaço aberto de (X,τ) é separável.

(c) Mostre, com um exemplo, que a hipótese de o subespaço ser aberto não pode ser omitida no item anterior. [Sugestão: Considere o plano de Niemytzki.]

Exercício 4. Sejam X um espaço topológico e x ∈ X. Prove que x admite um sistema fundamental de vizinhanças enumerável se, e somente se, existe uma base local em x que é enumerável.

Exercício 5.

(a) Sejam X um espaço topológico, B uma base de abertos para X e Y ⊆

X. Prove que BY = {U ∩ Y : U ∈ B} é uma base de abertos para Y (considerando-se, sobre Y , a topologia de subespaço).

(b) Conclua que, se X é um espaço topológico que verifica o segundo axioma de enumerabilidade, então todo subespaço de X também o verifica.

(c) Podemos afirmar o mesmo com respeito ao primeiro axioma de enumerabilidade? Justifique.

(d) Mostre que o subespaço (R \ Q)2 ⊆ R2 é separável.

Exercício 6. Seja X um espaço topológico que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. Prove que, se A ⊆ X é não-enumerável, então existe x ∈ A que é ponto de acumulação de A.

Exercício 7. Considere, sobre um conjunto infinito X, a topologia cofinita. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Justifique.

(a) Todos os abertos não-vazios de X são densos em X. (b) Se D ⊆ X é denso em X, então D é aberto em X.

(c) Dados x,y ∈ X distintos, existem abertos disjuntos U e V em X tais que x ∈ U e y ∈ V .

Exercício 8. Considere, sobre um conjunto não-enumerável X, a topologia coenumerável. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Justifique.

(a) D ⊆ X é denso em X se, e somente se, D é não-enumerável. (b) X é separável. (c) Todos os abertos não-vazios de X são densos em X. (d) Se D ⊆ X é denso em X, então D é aberto em X.

(e) Dados x,y ∈ X distintos, existem abertos disjuntos U e V em X tais que x ∈ U e y ∈ V .

Exercício 9. Novamente considere a topologia coenumerável sobre um conjunto não-enumerável X, e fixe x0 ∈ X arbitrário.

(a) Mostre que x0 ∈ X \ {x0} mas não existe nenhuma sequência de pontos de X \ {x0} que converge para x0.

(b) Conclua que X não verifica o primeiro (e, portanto, também não verifica o segundo) axioma de enumerabilidade.

Exercício 10. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:

(a) Toda sequência em um espaço topológico munido da topologia caótica converge.

(b) Nenhuma sequência em um espaço topológico munido da topologia discreta converge.

(c) Qualquer espaço topológico munido da topologia caótica satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

(d) Nenhum espaço topológico munido da topologia discreta satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

Exercício 1. Sejam (X,d) um espaço métrico, (xn)n∈N uma sequência em

X e x ∈ X. Prove que xn n→∞ −→ x (com respeito à topologia em X associada

Exercício 12. Sejam X um conjunto, (Y,σ) um espaço topológico e f : X → Y uma função. Mostre que:

(a) τ = {f−1[U] : U ∈ σ} é uma topologia sobre X; (b) f é uma função contínua entre (X,τ) e (Y,σ);

(c) se τ′ é uma topologia sobre X tal que f é uma função contínua entre (X,τ′) e (Y,σ), então τ′ ⊇ τ.

Exercício 13. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X → Y . Prove que, se f é uma função contínua, então, para todo x ∈ X e para toda sequência n→∞ −→ f(x). Prove ainda que a recíproca é verdadeira no caso em que X é um espaço que satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.

Mostre que τ é uma topologia sobre R que contém a topologia usual de R e que não verifica o segundo axioma de enumerabilidade. [Obs.: Este espaço recebe o nome de reta de Michael.]

Exercício 15. Sejam X e Y espaços topológicos, A ⊆ X e f : X → Y . Prove ou dê um contraexemplo:

(a) Se f ↾A : A → Y é uma função contínua, então f : X → Y é contínua em todo ponto de A.

(b) Se f : X → Y é contínua em todo ponto de A, então f ↾A : A → Y é uma função contínua.

Exercício 16. Sejam (X,τ) e (Y,τ′) espaços topológicos e f : X → Y .

(a) Seja U ⊆ τ tal que ⋃ U = X. Prove que, se f ↾U : U → Y é contínua para todo U ∈ U, então f é contínua.

(b) Sejam A,B ⊆ X fechados em (X,τ) tais que X = A ∪ B. Prove que, se f ↾A e f ↾B são contínuas, então f é contínua.

(c) Conclua que, se F é uma coleção finita de fechados de (X,τ) tal que ⋃

F = X e f ↾F é contínua para todo F ∈ F, então f é contínua.

(d) Mostre, através de um contraexemplo, que a palavra “finita” não pode ser omitida no enunciado do item anterior.

(e) Mostre, através de um contraexemplo, que a palavra “fechados” não pode ser omitida no enunciado do item (b).

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