Lista VI - Topologia

Lista VI - Topologia

Lista de exercícios 6

Exercício 1. Seja (X,τ) um espaço compacto T2 tal que, para todo x ∈ X, existe Ux ⊆ τ enumerável satisfazendo ⋂ Ux = {x}. Prove que (X,τ) verifica o primeiro axioma de enumerabilidade.

Exercício 2. Seja (X,τ) um espaço compacto T2. Prove que, se X é enumerável, então {x ∈ X : {x} ∈ τ} é denso em (X,τ).

Exercício 3. Dizemos que um espaço topológico X é um espaço de Baire se, e somente se, a intersecção de qualquer família enumerável de abertos densos de X é um subconjunto denso de X.

(a) Mostre que, se X é um espaço de Baire e U ⊆ X é aberto em X, então U é um espaço de Baire.

(b) Mostre que, se X é um espaço de Baire e (Un)n∈N é uma família de abertos densos de X, então ⋂ n∈N Un é um espaço de Baire.

Exercício 4. Prove que Q não pode ser escrito como intersecção de uma família enumerável de abertos de R.

Exercício 5. Mostre que a reta de Sorgenfrey é um espaço de Baire que não é localmente compacto.

[Sugestão: Para a primeira parte, mostre que todo subconjunto de R que é aberto e denso na topologia da reta de Sorgenfrey contém um aberto denso na topologia euclidiana de R, e em seguida use o fato de que R é um espaço de Baire. Para a segunda parte, note que, para quaisquer a,b ∈ R com a < b, o conjunto [a,b[ é fechado na reta de Sorgenfrey mas não é compacto.]

Exercício 6. Seja X um espaço topológico não-compacto. Suponha que X admite uma compactificação de Alexandroff — ou seja, suponha que existe um espaço topológico Y tal que

(i) Y é compacto e T2; (i) X é um subespaço aberto de Y ; e

(i) Y \ X é unitário.

Prove que X é um espaço T2 localmente compacto. Exercício 7. Resolva o exercício 4.1 da apostila.

Exercício 8. Resolva o exercício 4.4 da apostila.

Exercício 9. Prove ou dê um contraexemplo:

(a) Se X é um espaço topológico discreto, então todas as componentes conexas em X são conjuntos unitários.

(b) Se X é um espaço topológico tal que todas as componentes conexas em X são conjuntos unitários, então X é discreto.

Exercício 10. Mostre que, se f : R → N é contínua, então f é constante.

Exercício 1. Sejam X um espaço topológico e A ⊆ X aberto e fechado em X. Prove que, se A é conexo e não-vazio, então A é uma componente conexa em X.

Exercício 12. Sejam X um espaço topológico, C ⊆ X conexo e Y ⊆ X. Prove que, se C ∩ Y 6= ∅ e C \ Y 6= ∅, então C ∩ Fr(Y ) 6= ∅.

Exercício 13. Sejam X um espaço topológico conexo, f : X → R contínua e a,b ∈ X distintos, e suponha que f(a) ≤ f(b). Prove que, dado c ∈ [f(a),f(b)], existe x ∈ X \ {a,b} tal que f(x) = c.

Exercício extra Exercício 14.

dq o menor inteiro positivo tal que q · dq ∈ Z. Prove que {x ∈ R : f é contínua em x} = R \ Q.

(b) Dada uma função g : R → R, prove que {x ∈ R : g é contínua em x} é a intersecção de uma família enumerável de abertos de R.

[Sugestão: Considere, para cada n ∈ N, o conjunto

e prove que tal conjunto é aberto em R. Em seguida, mostre que {x ∈

R : g é contínua em x} = ⋂ n∈N Un.]

(c) Conclua que não existe uma função g : R → R tal que {x ∈ R : g é contínua em x} = Q.

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