Lista 0 - Topologia

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Lista de exercícios 0

Exercício 1. Escreva explicitamente os conjuntos:

Exercício 2. Escreva, usando a notação de conjuntos,

(a) o conjunto dos subconjuntos de N que têm o 5 como elemento; (b) o conjunto dos subconjuntos de N que têm o 5 como elemento e não têm o 3 como elemento; (c) o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 3; (d) o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 3 e não são múltiplos de 5.

Exercício 3. Sejam A, B e C conjuntos. Mostre que valem as seguintes propriedades:

Exercício 4. Sejam A e B conjuntos. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:

Exercício 5. Sejam A, B e X conjuntos tais que

(i) A ⊆ X; (i) B ⊆ X; (i) se Y é um conjunto tal que A ⊆ Y e B ⊆ Y , então X ⊆ Y .

Prove que X = A ∪B.

Exercício 7. Sejam A, B e X conjuntos tais que A ⊆ X e B ⊆ X. Demonstre as seguintes afirmações:

Exercício 8. Sejam A e B conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo:

(a) Determine A ∪ B e A ∩ B.

(b) Seja {xi : i ∈ I} uma família de elementos de A com I 6= ∅. É verdade que ⋃ i∈I xi é um elemento

Exercício 10. Sejam X um conjunto e C uma família não-vazia de subconjuntos de X. Prove as leis de de Morgan:

Exercício 1. Determine os conjuntos ⋂

C e ⋃ C em cada um dos itens abaixo:

Exercício 12. Sejam X um conjunto e a,b ∈ X com a 6= b. Defina C = {A ⊆ X : a ∈ A} ∪ {B ⊆ X : b ∈ B}. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

(a) se D é uma coleção não-vazia de elementos de C, então ⋂ D ∈ C;

(b) se D é uma coleção não-vazia de elementos de C, então ⋃ D ∈ C.

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