Lista V - Álgebra III

Lista V - Álgebra III

(Parte 1 de 2)

MAT0313 Algebra I

1. (a) Se G e um grupo no qual (ab)i = aibi, para tres inteiros consecutivos i e para quaisquer a,b ∈ G, demonstre que G e abeliano.

(b) Vale o mesmo resultado se (ab)i = aibi, para apenas dois inteiros consecutivos i?

2. (a) Seja G um grupo tal que a2 = e, para todo a ∈ G. Prove que G e abeliano. (b) O mesmo resultado e valido se G for um grupo tal que a3 = e, para todo a ∈ G?

3. Mostre que todo grupo de ordem ≤ 5 e abeliano.

4. Seja G um grupo e sejam H1, H2 dois subgrupos de G. Mostre que a intersecao H1 ∩ H2 e um subgrupo de G. Mais geralmente, mostre que se {Hi|i ∈ I} e uma famılia de subgrupos de G, entao ∩i∈IHi e um subgrupo de G.

5. Seja G um grupo e sejam H e K subgrupos de G. Mostre que H ∪K e um subgrupo de G se e somente se H ⊆ K ou K ⊆ H.

6. Seja G um grupo e seja H um subconjunto finito de G tal que H = H. Prove que H e um subgrupo de G. E se H nao for finito?

7. (a) Seja S ⊂ G um subconjunto de um grupo G. O centralizador de S em G e definido como sendo o conjunto Z(S) = {x ∈ G | xa = ax∀a ∈ S}. Quando S = {a} escrevemos simplesmente Z(a). Prove que o centralizador de S em G e um subgrupo de G. (Se S = G entao Z(G) e o centro de G. Veja o proximo exercıcio.)

8. (a) O centro de um grupo G e definido como sendo o conjunto

Prove que Z(G) e um subgrupo de G.

10. Seja G um grupo. Define-se a ordem de a ∈ G como sendo o menor inteiro n tal que an = e, se esse numero existir (caso contrario, dizemos que a ordem de a e infinita). Mostre que se a ∈ G tem ordem finita, esse numero coincide com a ordem do subgrupo de G gerado por a.

1. Se G e um grupo de ordem par, mostre que G contem um elemento de ordem 2.

12. Mostre que se G e um grupo de ordem par entao existe um numero ımpar de elementos de ordem 2.

13. Seja a um elemento de um grupo tal que an = e. Mostre que o(a) divide n. 14. Seja G um grupo e sejam a,b ∈ G. Mostre que ab e ba tem a mesma ordem.

15. Seja G um grupo e seja a ∈ G um elemento de ordem n. Se n = km, mostre que ak tem ordem m.

16. Seja G um grupo e seja a ∈ G um elemento de ordem r. Seja m um inteiro positivo tal que mdc(m,r) = 1. Mostre que o(am) = r.

19. Mostre que o numero de geradores de um grupo cıclico de ordem n e φ(n), onde φ e a funcao de Euler (φ(n) e igual ao numero de inteiros positivos menores que n e que sao relativamente primos com n).

20. Mostre que todo subgrupo de um grupo cıclico e cıclico.

2. Seja G um grupo e sejam H e K subgrupos de G cujas ordens sejam relativamente primas. Mostre que H ∩K = {e}.

23. Seja G um grupo e sejam a,b ∈ G tais que ab = ba. Se a tem ordem m, b tem ordem n e mdc(m,n) = 1, mostre que a ordem de ab e mn.

24. Seja G um grupo abeliano que contem um elemento de ordem n e um de ordem m. Mostre que G contem um elemento de ordem mmc(n,m).

25. Seja G um grupo e sejam H e K dois subgrupos de ındice finito em G. Mostre que H ∩ K e um subgrupo de ındice finito em G.

26. Seja G um grupo, seja H um subgrupo de G e seja K um subgrupo de H. Mostre que K tem ındice finito em G se e somente se H tiver ındice finito em G e K tiver ındice finito em H. Neste caso, mostre que [G : K] = [G : H][H : K].

27. Demonstre que se G e um grupo abeliano entao todos os seus subgrupos sao normais. A recıproca e verdadeira?

28. Neste exercıcio vamos construir um grupo nao-abeliano, contendo 8 elementos, cujos subgrupos sao todos normais. Considere o seguinte subconjunto de M2(C):

onde

(d) Calcule as ordens de todos os elementos de Q8. (e) Liste todos os subgrupos de Q8. (Sao 6.) (f) Mostre que todos os subgrupos de Q8 sao normais. (g) Determine o centro Z(Q8) de Q8.

30. Seja N um subgrupo normal de um grupo G tal que [G : N] = m. Mostre que am ∈ N para todo a ∈ G.

31. Sejam N1, N2 subgruposnormaisdeumgrupo G. Mostreque N1∩N2 eumsubgruponormal de G. Mais geralmente, mostre que se {Ni|i ∈ I} e uma famılia de subgrupos normais de G, entao ∩i∈INi e um subgrupo normal de G.

32. Seja H um subgrupo de um grupo G tal que o produto de duas classes laterais a direita de H em G seja sempre uma classe lateral a direita de H em G. Mostre que H e normal em G.

3. Seja H um subgrupo de ındice 2 em um grupo G. Mostre que H e normal em G.

34. Seja N um subgrupo normal de um grupo G e seja H um subgrupo de G. Mostre que NH e um subgrupo de G.

35. Mostre que a intersecao de dois subgrupos normais de um grupo G e tambem normal em G. 36. Se N e M sao subgrupos normais de um grupo G, mostre que NM tambem e normal em G. 37. Seja G um grupo e seja H um subgrupo de G. O normalizador de H em G e definido por

(a) NG(H) e um subgrupo de G; (b) H e um subgrupo normal de NG(H); (c) se H e um subgrupo normal de um subgrupo K de G entao K ⊆ NG(H); (d) H e normal em G se e somente se NG(H) = G.

38. Seja G um grupo e seja N um subgrupo normal de G. Mostre que G/N e abeliano se e somente se aba−1b−1 ∈ N, para todos a,b ∈ G. (Em particular, se G for abeliano, entao o quociente G/N sera tambem abeliano.)

39. Seja G um grupo e seja G′ o subgrupo de G gerado pelo seguinte conjunto:

(a) Mostre que G′ e normal em G. (b) Mostre que G/G′ e abeliano. (c) Seja N um subgrupo normal de G. Mostre que se G/N for abeliano, entao N ⊇ G′. (d) Mostre que se H e um subgrupo de G tal que H ⊇ G′, entao H e normal em G.

O subgrupo G′ de G definido acima chama-se subgrupo dos comutatores (ou derivado) de G.

40. Seja H um subgrupo de um grupo finito G e suponha que H seja o unico subgrupo de G de ordem |H|. Mostre que H e normal em G.

41. Se N e M sao subgrupos normais de G tais que N ∩ M = {e}, demonstre que nm = mn, para quaisquer n ∈ N e m ∈ M.

42. Seja

e seja

Mostre que

(a) N e um subgrupo normal de G; (b) G/N e abeliano.

48. Seja G um grupo abeliano finito de ordem n, onde n e um inteiro positivo. Seja r um inteiro positivo tal que mdc(n,r) = 1. Mostre que todo elemento g ∈ G pode ser escrito na forma g = xr para algum x ∈ G. (Sugestao: Mostre que g 7−→ gr e um isomorfismo de G em G.)

49. Seja G um grupo. Por automorfismo de G entende-se um isomorfismo de G em G. Seja Aut(G) o conjunto de todos os automorfismos de G.

(a) Mostre que Aut(G) e um grupo com operacao binaria dada pela composicao de funcoes.

ϕg ∈ Aut(G) para todo g ∈ G. O automorfismo ϕg chama-se automorfismo interno definido por g.

(c) Seja Inn(G) o subconjunto de Aut(G) formado por todos os automorfismos internos de G. Mostre que Inn(G) e um subgrupo normal de Aut(G).

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