Lista VI - Álgebra III

Lista VI - Álgebra III

MAT0313 Álgebra I

1. Emcadaumdositensabaixo, escrevaapermutaçãodadacomoprodutode ciclosdisjuntos

somente se {i1, i2,, ir} ∩ {j1, j2, . . . , js} = ∅.
4. (a) Seja σ ∈ Sn o r-ciclo (i1 i2ir) e seja α ∈ Sn. Mostre que
α(i1) α(i2)α(ir)

(b) Se σ, τ são dois r-ciclos, mostre que existe α ∈ Sn tal que ασα−1 = τ.

(c) Prove que duas permutações são conjugadas se e somente se elas têm a mesma estrutura cíclica.

5. Verifique se as permutações

são conjugadas em Sn. Elas são conjugadas em An ? Em caso afirmativo, encontre uma permutação α tal que α−1σα = τ.

6. Encontre um grupo G que contenha subgrupos H e K tais que K seja normal em H, H seja normal em G mas K não seja normal em G.

7. Seja H um subgrupo de Sn. Mostre que H ⊆ An ou [H : H ∩ An] = 2. 8. Demonstre que a ordem de um r-ciclo de Sn é r.

9. (a) Qual é a ordem de um produto de r ciclos disjuntos de ordens n1,n2,,nr?

(b) Para quais inteiros positivos m um m-ciclo é uma permutação par?

10. (a) Mostre que Sn é gerado por (1 2),(1 3),,(1 n − 1),(1 n). (Sugestão: Mostre que

toda transposição se escreve como um produto dos elementos da forma (1 i).)

(b) Mostre que Sn é gerado pelas n − 1 transposições (1 2),(2 3),,(n − 1 n).
(c) Mostre que Sn é gerado por (1 2) e (1 2n). (Sugestão: Use o item anterior.)

12. Seja G um grupo de ordem 2k com k ímpar. Mostre que G contém um subgrupo de índice 2. (Sugestão: Tome a ∈ G com o(a) = 2. Use a demonstração do Teorema de Cayley para provar que G contém um elemento que corresponde a uma permutação ímpar.)

13. Mostre que A4 não contém subgrupos de ordem 6 (e, portanto, não vale a recíproca do Teorema de Lagrange).

2n cujos elementos são expressões formais da forma xiyj, onde i = 0,1 e j = 0,,n − 1,

14. Seja n um inteiro tal que n ≥ 2. Defina o grupo diedral Dn como sendo o grupo de ordem com operação binária dada por justaposição sujeita às seguintes condições:

com a convenção x0 = y0 = e. (O grupo diedral Dn pode ser realizado como o grupo dos movimentos rígidos de um polígono regular de n lados que levam os vértices em vértices.)

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