Lista VIII - Álgebra III

Lista VIII - Álgebra III

MAT0313 Álgebra I

Lista 8 2008 CORPOSFINITOS

1. Seja K um corpo finito. Sabemos que o corpo primo de K é isomorfo a Zp para algum número primo p. Usando que K pode ser visto como um espaço vetorial sobre Zp, mostre que |K| = pn para algum inteiro n ≥ 1.

2. Vamos agora provar que para todo inteiro n = 1,2,e para todo número primo p

existe um corpo com pn elementos. Para isso, mostre que se K é um corpo de raízes

3. Seja agora K um corpo finito com |K| = pn onde p é um número primo e n > 0. Como

K um corpo finito, sabemos que o grupo multiplicativo (K∗,.) é um grupo cíclico de ordem pn − 1. Sendo assim, todo elemento não nulo de K é raiz do polinômio xpn−1 − 1. Prove todas essas afirmações. Conclua então que K tem que ser corpo de raízes do polinômio f(x) do exercício anterior. Conclua daí que dois corpos finitos com o mesmo número de elementos são isomorfos.

a ∈ L. Mostre que G =< σ > . Use o Teorema Fundamental da Teoria de Galois para concluir que InvG = K.

5. Para L e K como no exercício anterior, mostre que L/K é uma extensão simples, isto é, mostre que existe z ∈ L tal que L = K(z). (Sugestão: Use o fato de que o grupo multiplicativo de L é cíclico.) GRUPOSSOLÚVEIS

6. Mostre que o grupo diedral Dn é solúvel, para todo n.

7. Mostre que um grupo é simples e solúvel se e somente se ele for cíclico de ordem prima.

8. Sejam A e B dois subgrupos normais de G. Mostre que se A e B forem solúveis então AB também é solúvel.

9. Mostre que se G e H são grupos então G × H é solúvel se e somente se G e H forem solúveis.

10. Mostre que todo grupo de ordem pq, onde p e q são primos, é solúvel.

1. Mostre que todo grupo de ordem p2q, onde p e q são primos, é solúvel.

12. Mostre que, se p < q são primos, então todo grupo de ordem pqn é solúvel.

13. Mostre que todo grupo de ordem menor que 60 é solúvel. TEORIADEGALOIS

14. Suponha que f = x3 + ax2 + bx + c ∈ Q[x] é irredutível e tem apenas uma raiz real e seja L um corpo de raízes de f sobre Q. Mostre que Gal(L/Q) é isomorfo a S3.

15. Seja f = x4 + ax2 + b um polinômio irredutível sobre Q e seja L um corpo de raízes de f.

(a) Mostre que Gal(L/Q) é isomorfo a um dos seguintes grupos:

(b) Mostre que (i) ocorre se e somente se αβ − βα ∈ Q, onde ±α,±β são as raízes de f em L e que (i) ocorre se e somente se αβ ∈ Q.

(a) Mostre que Gal(L/Q) é isomorfo ao grupo de Klein.

(b) Mostre que todo subcorpo de L de grau 2 sobre Q é da forma Q(√ m), onde

19. Seja p um número primo e f ∈ Q[x] um polinômio irredutível de grau p. Se f tem exatamente duas raízes não reais em um corpo de raízes L mostre que Gal(L/Q) é isomorfo a Sp.

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