Analise na Reta

Analise na Reta

(Parte 2 de 7)

Analise na Reta

Proposic ao 1.3 A multiplicac ao de numeros naturais satisfaz as seguintes propriedades:

Os numeros naturais

Definic ao 1.4 Seja X ⊂ N. Dizemos que p ∈ X e o menor elemento de X, ou o elemento mınimo de X, se p ≤ n para todo n ∈ X.

Existe X ⊂ N sem menor elemento?

Definic ao 1.5 Seja X ⊂ N. Dizemos que p ∈ X e o maior elemento de X, ou o elemento maximo de X, se p ≥ n para todo n ∈ X.

Instituto de Matematica - UFF 9

Analise na Reta

• Se existir o maior elemento de um conjunto X ⊂ N, ele e unico.

Teorema 1.1 (Princıpio da Boa Ordenacao) Todo subconjunto nao-vazio A ⊂ N possui um elemento mınimo.

Como A nao tem um menor elemento, temos que p 6∈ A. Logo, p < n para todo n ∈ A, ou seja, para todo n ∈ A existe qn ∈ N tal que n = p + qn.

Teorema 1.2 (Segundo Princıpio de Inducao)

Seja X ⊂ N um conjunto com a seguinte propriedade: dado n ∈ N, se X contem todos os numeros naturais m tais que m < n, entao n ∈ X. Nestas condicoes, X = N.

Os numeros naturais

Pelo Princıpio da Boa Ordenacao, existe p ∈ A tal que p ≤ n para todo n ∈ A.

Exemplo 1.2 Um numero natural p e chamado primo quando p 6= 1 e nao pode se escrever na forma p = m·n com m < p e n < p.

O Teorema Fundamental da Aritmetica diz que todo numero natural maior do que 1 se decompoe, de modo unico, como um produto de fatores primos.

Podemos provar a existencia desta decomposicao utilizando o Segundo Princıpio de Induc ao.

De fato, dado n ∈ N, suponhamos que todo numero natural m < n pode ser decomposto como um produto de fatores primos ou m = 1.

Se n e primo, nao ha nada a provar.

Instituto de Matematica - UFF 1

Analise na Reta

Se n nao e primo, existem p < n e q < n tais que n = pq.

Pela hipotese de induc ao, p e q sao produtos de fatores primos. Logo, n = pq e tambem um produto de fatores primos.

Pelo Segundo Princıpio de Inducao, obtemos que todo numero natural, n > 1, e produto de numeros primos.

Teorema 1.3 (Definicao por Inducao)

Seja X um conjunto qualquer. Suponhamos que nos seja dado o valor f(1) e seja dada tambem uma regra que nos permite obter f(n) a partir do conhecimento dos valores f(m), para todo m < n. Entao, existe uma, e somente uma funcao f : N −→ X que toma esses valores.

Para ver uma prova do Teorema de Definic ao por Induc ao, consulte Fundamentals of Abstract

Analysis de A.M. Gleason, p. 145.

Assim, f(n) = 1 · 2 ·· n = n! e o fatorial de n. 

Exemplo 1.5 Definir por inducao a soma de uma n−upla de numeros

de numeros naturais pode ser definida, tambem, por induc ao como fazemos para a adicao no exemplo ao lado. Solucao: Seja X o conjunto das funcoes tomando valores em N e seja

Conjuntos finitos e infinitos 2. Conjuntos finitos e infinitos

Um conjunto X chama-se finito quando e vazio ou quando existe uma bijecao ϕ : In −→ X, para algum n ∈ N.

No primeiro caso dizemos que X tem zero elementos, e no segundo caso, dizemos que X tem n elementos.

Para verificar que o numero de elementos de um conjunto esta bem

Prova. Provaremos o resultado por inducao em n.

Instituto de Matematica - UFF 13

Analise na Reta

Prova. Se n ≤ m, temos que In ⊂ Im.

Corolario 2.2 Nao existe uma bijecao f : X −→ Y de um conjunto finito X sobre uma parte propria Y ⊂ X.

Prova. Sendo X finito, existe uma bijecao ϕ : In −→ X para algum n ∈ N.

Entao, A e uma parte propria de In e a restricao de ϕ a A fornece uma bijec ao f′ : A −→ Y.

Conjuntos finitos e infinitos

Teorema 2.2 Se X e um conjunto finito entao todo subconjunto Y ⊂ X e finito. Alem disso, o numero de elementos de Y e menor do que ou igual a o numero de elementos de X e e igual se, e somente se, Y = X.

Designaremos por #(A) o numero de elementos de um conjunto A.

Prova.

Se provarmos que A e finito, que #(A) e menor do que ou igual a n e e

Suponhamos que o teorema seja valido para In e consideremos um subconjunto Y ⊂ In+1.

Corolario 2.3 Seja f : X −→ Y uma func ao injetiva. Se Y e finito, entao X tambem e finito, e o numero de elementos de X nao excede o de Y.

Instituto de Matematica - UFF 15

(Parte 2 de 7)

Comentários